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2015版《红对勾45分钟作业与单元评估》高中数学新课标版必修5同步课件第一章数列1-3-8

第一章

数列

§3

等比数列

3.1

等比数列

第8课时 等比数列的性质
限时:45分钟 总分:100分

作 业 目 标

作 业 设 计

基础训练 作 业目标

1.掌握等比中项的定义,能够应用等比中项的定义解决问 题. 2.掌握等比数列的性质,利用性质解题可简化解题过程.

基础训练 作 业设计

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1 1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=4,则公比 q=( 1 A.-2 C.2 B.-2 1 D. 2 )

a5 1 解析:由已知得 q = = , a2 8
3

1 解得 q= . 2

答案:D

2. 在等比数列{an}中, a1=1, 公比|q|≠1, 若 am=a1a2a3a4a5, 则 m=( A.9 C.11 ) B.10 D.12

解析:在等比数列{an}中,
5 10 ∵a1=1,∴am=a1a2a3a4a5=a1 q =q10.

又∵am=qm 1,∴m-1=10,即 m=11.


答案:C

3.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9 =10,则 a4a5a6=( A.5 2 C.6 ) B.7 D.4 2

3 解析: 由等比数列的性质知 a1a2a3=(a1a3)a2=a2 =5, a7a8a9 3 =(a7a9)· a8=a8 =10,所以

a2a8=50 ,所以 a4a5a6=(a4a6)a5=a3 5

1 3

=( a2a8) =(50 )3=5 2.

3

1 6

答案:A

4.等比数列{an}的各项均为正数,公比为 q,若 q2=4,则 a3+a4 的值为( a4+a5 1 A. 2 C.2 ) 1 B.± 2 D.± 2

解析:由 q2=4 得 q=± 2, 因为数列{an}各项均为正数,所以 q=2, 又因为 a4=a3q,a5=a4q, ∴a4+a5=a3q+a4q=(a3+a4)q, a3+a4 1 1 ∴ = = . a4+a5 q 2

答案:A

5.(2012· 新课标全国卷)已知{an}为等比数列,a4+a7=2, a5a6=-8,则 a1+a10=( A.7 C.-5 B.5 D.-7 )

解析: 设数列 {an} 的公比为
? ?a4=4, ? ? ?a7=-2 ? ?a4=-2, 或? ? ?a7=4,

? ?a4+a7=2, q ,由 ? ? a6=a4· a7=-8 ?a5·



a =-8, ? ? ? 1 ?a1=1, 所以? 3 或? 3 所以 1 ? q =- ?q =-2, ? 2 ? 所以 a1+a10=-7.

? ?a1=-8, ? ? ?a10=1

? ?a1=1, 或? ? ?a10=-8,

答案:D

6 . 设 {an} 是 由 正 数组 成 的 等 比 数 列 , 公比 q = 2 , 且 a1· a2· a3· …· a30=230,则 a3· a6· a9· …· a30=( A.210 C.216 B.220 D.215 )

3 解析:∵a1a2a3=a3 , a a a = a 2 4 5 6 5, 3 a7a8a9=a3 , … , a a a = a 8 28 29 30 29,

∴a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30=(a2a5a8…a29)3=230. ∴a2a5a8…a29=210. 则 a3a6a9…a30=(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q) =(a2a5a8…a29)q10=210×210=220.

答案:B

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.等比数列{an}中,若 a2,a9 是方程 3x2-11x+6=0 的两 根,则 log2(a1a2…a10)=________.

解析:由根与系数的关系,得 a2a9=2, 又 a2a9=a1a10=a3a8=a4a7=a5a6, 所以 log2(a1a2…a10)=log225=5.

答案:5

8.设等比数列{an}的公比 q≠1,若{an+c}也是等比数列, 则 c=________.

解析:因为{an+c}是等比数列, an+1+c 所以 为常数.又{an}的公比为 q, an+c an+1+c anq+c q?an+c?-cq+c c?1-q? 所以 = = =q+ . an+c an+c an+c an+c c?1-q? 因为 q+ 为常数, an+c 所以必有 c(1-q)=0. 又 q≠1,所以 c=0.
答案:0

9.在等差数列{an}中,当 ar=as(r≠s)时,{an}必定是常数 数列.然而在等比数列{an}中,对某些正整数 r,s(r≠s),当 ar =as 时,非常数数列{an}的一个例子是________.

解析:由于等比数列 an=a1qn

-1

是特殊的指数型函数,当

a1>0,q>1,或 a1<0,0<q<1 时,为递增数列;当 a1>0,0<q<1, 或 a1<0,q>1 时,为递减数列;当 q=1 时,为常数列,不具有 单调性;当 q<0 时,为摆动数列,也不具有单调性.依题意, 选取首项不为 0,公比为-1 的等比数列都符合题意.

答案:a,-a,a,-a,…(a≠0)

三、解答题(共 46 分,写出必要的文字说明、计算过程或 演算步骤.) 10. (本小题 15 分)等比数列的前三项和为 168, a2-a5=42, 求 a5,a7 的等比中项.

解:设该等比数列的公比为 q,首项为 a1,由题意得
2 ? ?a1+a1q+a1q =168, ? 4 ? a q - a q ? 1 1 =42, 2 ? ?a1?1+q+q ?=168, 化简为? 3 ? a q ? 1 - q ?=42. ② ? 1



因为 1-q3=(1-q)(1+q+q2), 1 1 则①②两式相除 q(1-q)=4?q=2. 42 所以 a1= =96. 1 14 -? ? 2 2

若 G 是 a5,a7 的等比中项,则 G =a5a7=a1q · a1q
2 4 6 2 10 2 1 10 =a1q =96 · ( ) =9,则

2

G=± 3.

所以 a5,a7 的等比中项是± 3.

11.(本小题 15 分)已知{an}是各项都为正数的等比数列, 且 a1a3+2a2a4+a3a5=100,4 是 a2,a4 的一个等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若{an}的公比 q∈(0,1),设 bn=an· log2an,求数列{bn}的 通项公式.

解:(1)∵{an}是各项都为正数的等比数列,且 a1a3+2a2a4 +a3a5=100,
2 2 ∴a2 + 2 a a + a = 100 , ( a + a ) 2 2 4 4 2 4 =100,即 a2+a4=10.

? ?a2+a4=10, 由? 2 ? ?a2a4=4 =16, ? ?a2=2, 当? ? ?a4=8
2

? ?a2=2, ?? ? ?a4=8

? ?a2=8, 或? ? ?a4=2.

a4 - 时,q =a =4?q=2(-2 舍去),an=a2qn 2= 2

2n-1.

? ?a2=8, 当? ? ?a4=2

a4 1 1 1 - 时,q2=a =4?q=2(-2舍去),an=a2qn 2=
2

25 n.


(2)若 0<q<1,则 an=25-n, log2an=5-n, bn=anlog2an=(5-n)· 25-n.

12.(本小题 16 分)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1 =a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值.

解:(1)设数列{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq =2+q,b3=3+aq2=3+q2, 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2). 即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2. 所以数列{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n
-1 -1

或 an=(2- 2)n

.

(2)设数列{an}的公比为 q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2), 得 aq2-4aq+3a-1=0(*), 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根. 1 由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 a=3.

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