创新设计2011第五章__平面向量5-21

第五章
第21课时

平面向量

平面向量的概念和运算

理解向量的概念,掌握向量的几何表示/掌握向量的加法、减法、

实数与向量的积和向量的数量积及其几何意义

1.向量的概念 ①向量:既有大小又有 方向 的量叫做向量; ②零向量:长度为0的向量; ③单位向量:模为1个单位长度的向量; ④相等向量:长度相等且 方向相同 的向量.

2.向量的加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法.

3.向量的减法 (1)相反向量:与a长度相等、方向 相反 的向量,叫做a的相反向量. 记作:-a.零向量的相反向量仍是零向量. (2)向量减法:向量a加上b的相反向量叫做a与b的差. 记作:a-b=a+(-b).求两个向量差的运算,叫做向量的减法.

4.实数与向量的积

实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下:
(1)|λa|=|λ|·|a|;

(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向
当λ=0时,λa=0,方向是任意的. 5.两个向量的数量积

相同

;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;

(1)已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|·cos θ叫做a与b的

数量积(或内积).规定0·a=0.
(2)向量的投影:︱b︱cos θ= ∈R,称为向量b在a 方向 上的投影.

(3)数量积的几何意义:a·b等于a的长度与b在a方向上的 投影 的乘积.

1.若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是(

)

答案:B

2.若a,b,c为任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的是( A.(a+b)+c=a+(b+c) C.m(a+b)=ma+mb 解析:∵(a·b)c=|a||b|cos 向不一定相同,∴选D. 答案:D 3.|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为( A.30° B.60° C.120° D.150° a,b B.(a+b)·c=a·c+b·c D.(a·b)c=a(b·c) c,a(b·c)=|b||c|cos b,c

)

a,c与a的方

)

解析:∵c⊥a,则c·a=0,a2+a·b=0.∴a·b=-a2. cos〈a,b〉= =120°. 答案:C ,又0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉

4.点O是△ABC所在平面内的一点,满足
则点O是 △ABC( ) B.三条边的垂直平分线的交点 D.三条高的交点 ,即 ,同理 =0.∴ ,因此,O是△ABC的垂心.



A.三个内角平分线的交点 C.三条中线的交点 解析:由 则

=0.

答案:D

向量的运算是指向量的加法、减法、实数与向量的积和向量的数量积等,向 量的运算类似于实数的运算,要注意二者之间的联系和区别,有些问题从运

算律到运算结果都非常类似,例如a2-b2=(a-b)·(a+b)等,同时要注意:
①数形结合思想方法的运用;②向量加法、减法和数乘向量的结果是向量, 而向量数量积的运算结果是实数.

【例1】 (1)证明:(a-b)2=a2-2a·b+b2; (2)设a、b是夹角为60°的单位向量,求①|2a+b|、|3a-2b|; ②〈2a+b,3a-2b〉. 解答:(1)证明:(a-b)2=(a-b)·(a-b)=(a-b)·a-(a-b)·b=a2-b·a -(a·b-b2)=a2-2a·b+b2. (2)①∵|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4+4|a||b| ·cos 60°+1=7,

∴|2a+b|=

.同理可求|3a-2b|=

.

又0°≤〈2a+b,3a-2b〉≤180°,∴〈2a+b,3a-2b〉=60°.

平面向量是代数方法在几何问题上的完美“嫁接”,可以通过代数运算解决 平面几何中的有关平行、垂直、夹角和距离等问题,利用向量解决几何问题

的关键在于将几何问题转化为向量运算和证明问题,同时回避了平面几何中
作辅助线的难点.

【例2】 利用向量证明:半圆上的圆周角是直角. 证明:如图,设 b), =b-a, ,即|a+b|=|b-a|,因 ,则 = (a+

由已知条件

此(a+b)2=(b-a)2,整理化简得:a·b=0,即 a⊥b,所以∠ACB为直角. 变式2. 试证对角线长度相等的平行四边形为矩形. 证明:如图,设 ,由AC=BD,即|a+b|=|a-b|,

则a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,整理得a·b=0,

即a⊥b,因此AB⊥AD,所以四边形ABCD为矩形.

通过向量的表示和运算,可将平面向量问题转化为代数问题,进而解 决函数
的最值、方程和不等式等问题. 【例3】 如图,在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则 的最小值是________.

解析:∵ =

,0≤λ≤1,∴ =2λ(λ-1) =-8λ(1-λ)≥- 的

=-2.当且仅当λ=1-λ,即λ= 时等号成立,因此

最小值为-2.
答案:-2

变式3. 如右图,在四边形ABCD中, + ( A.2 C.4 解析:设 根据已知条件: ) B.2 D.4 , ,解得:y=2. = 4, =0,则

=4, 的值为


+ 答案:C =x2+z2+2xz=(x+z)2=4.



【方法规律】
本节主要复习向量的有关概念和运算,了解通过向量的表示和计算解决平面几 何问题的方法,同时要注意向量与其他知识的综合运用,主要体现了数形结合 和转化等重要的数学思想方法.

(本题满分5分)(2009·全国Ⅰ)设a、b、c是单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c) 的最小值为( )

A.-2

B.

-2

C.-1

D.1-

【答题模板 】
解析:解法一:由a·b=0如图建立直角坐标系xOy,则a=(1,0),b=(0,1)设c= (cos θ,sin θ)(a-c)·(b-c)=(1-cos θ,-sin θ)·(-cos θ,1-sin θ)= cos2θ-cos θ+sin2θ-sin θ=1-sin θ-cos θ=1- sin≥1-

解法二:(a-c)·(b-c)=c2-c·(a+b)≥1-|c||a+b|=1-
答案:D

.

【分析点评】
1. 本题灵活全面地考查向量的运算如解法二.

2.可通过建立坐标系,利用向量的坐标运算将问题转化为求三角函数的最

小值.

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