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选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)

《推理与证明》单元测试题
考试时间 120 分钟 一.选择题(共 50 分) 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) 总分 150 分

1 1 A.在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+ )(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 2 an-1 B.某校高三(1)班有 55 人,高三(2)班有 54 人,高三(3)班有 52 人,由此得出高三所有班人数 超过 50 人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 D.两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠A,∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的 同旁内角,则∠A+∠B=180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y| =2 的不同整数解(x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12,?, 则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为( A.76
2 3

) D.92 )

B.80
4

C.86
2012

3. 观察下列各式:7 =49,7 =343,7 =2401,…,则 7 的末两位数字为( A.01 B.43 C.07 D.49 a ? b ? 0 4. 以下不等式(其中 )正确的个数是( ) .. ① 7 ?1 ? 11 ? 5 A.0 B.1 ②

a ?b ? a ? b
C. 2

③ lg

a? b a ?b ? lg 2 2
D.3
y B A x

5. 如 图 , 椭 圆 的 中 心 在 坐 标 原 点 , F 为 左 焦 点 , 当 AB ? FB 时 , 有

?c

2

? b2 ? ? ? b2 ? a 2 ? ? ? c ? a ? , 从而得其离心率为
2

5 ?1 , 此类椭圆称 2
) D.

F O

为 “黄金椭圆” , 类比 “黄金椭圆” , 可推出 “黄金双曲线” 的离心率为 ( A.

5 ?1 2

B.

1? 5 2

C. 2

2 5 ?1

6.如图,在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰 是由 6 颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由 15 颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由 28 颗珠宝构成的正六边形,以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 , 按 照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠 宝 , 依 此 推 断 第 8 件 首饰上应有( )颗珠宝。

第1件

第2件

第3件

第4件

第5件

A.100

B.110

C.120

D.130

7.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4), (2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个数对是( A.(7,5) C.(2,10) )

B.(5,7) D.(10,1)

8.把正数排列成如图甲的三角形数阵, 然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数, 得到如图乙 的三角形数阵, 现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列, 得到一个数列{an}, 若 an=1625, 则 n=( )

A.833

B.820

C.832

D.53

9.如图所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai ?i ? 1,2,3,4? ,此四边形内任 一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi ? i ? 1, 2,3, 4? , 若
4 a1 a2 a3 a4 2S ? ? ? ?k, 则 ? ? ihi ? ? 1 2 3 4 k i ?1

4 ? ? 注: ? ? (ihi ) ? 1? h1 ? 2 ? h2 ? 3 ? h3 ? 4 ? h4 ? ,类比以上性质,体积为 V 的三 i ?1 ? ? 棱锥的第 i 个面的面积记为 Si ?i ? 1,2,3,4? , 此三棱锥内任一点 Q 到第 i S1 S 2 S3 S 4 ? ? ? ?K Hi ?i ? 1, 2,3, 4? 2 3 4 个面的距离记为 ,若 1 , 则

? ? iH ? ?
i ?1 i

4

(

)

4V A. K

3V B. K

2V C. K

V D. K

10. 函数 f(x)的定义域为 A,若存在非零实数 t,使得对于任意 x∈C(C? A)有 x+t∈A,使 得 f(x+t)≤f(x)恒成立,则称 f(x)为 C 上的 t 度低调函数.已知定义域为[0,+∞) 的函数 f(x)= ?(mx ? 3) ,且 f(x)为[0,+∞)上的 6 度低调函数,那么实数 m 的取值
2

范围是( A.?0,1?

) B。?1, ?? ? C.? ??,0? D.? ??,0?

?1, ???

二.填空题(共 25 分) 11.用反证法证明命题“存在 a、b∈R,a +b <2(a﹣b﹣1)”,正确的反设为 12. 观察下列等式:
2 2

__________.

1=1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 ?
3 3 3 3

1 =1 1 +2 =9 1 +2 +3 =36 1 +2 +3 +4 =100 1 +2 +3 +4 +5 =225 ? (n∈N ,用含 n 的代数式表示)
* 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3

可以推测:1 +2 +3 +?+n =______________

13. 若定义在区间 D 上的函数 f(x)对 D 上的任意 n 个值 x1,x2,…,xn,总满足 [f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤f( ) ,则称 f(x)为 D 上的凸函数.已

知函数 y=sinx 在区间(0,π)上是“凸函数”,则在△ ABC 中,sinA+sinB+sinC 的最大值 是 ______. 14. 在面积为 S 的正三角形 ABC 中,E 是边 AB 上的动点,过点 E 作 EF∥ BC, 交 AC 于点 F, 当点 E 运动到离边 BC 的距离为△ ABC 高的 时,△ EFB 的面积取得最大值为 .类比上面的结论,可得,在各

棱长相等的体积为 V 的四面体 ABCD 中,E 是棱 AB 上的动点,过 点 E 作平面 EFG∥ 平面 BCD,分别交 AC、AD 于点 F、G,则四面 体 EFGB 的体积的最大值等于 ______V.

15.以下是拉面师一个工作环节的数学模型:在数轴上截取与闭区间 [ 0, 1] 对应的线段,对 折后(坐标 1 所对应的点与原点重合)再均匀地拉成 1 个单位长度的线段,这一过程称 为一次操作 (例如在第一次操作完成后, 原来的坐标

1 3 1 1 和 都变成 , 原来的坐标 变 4 4 2 2

成 1,等等).那么原闭区间 [ 0, 1] 上(除两个端点外)的点,在第二次操作完成后,恰好 被拉到与 1 重合的点所对应的原坐标是 ; 原闭区间 [ 0, 1] 上 (除两个端点外) 的点, 在第 n 次操作完成后( n ? 1 ) ,恰好被拉到与 1 重合的点所对应的原坐标 为 .(用含 n 的式子表示) 0

1 2

1

三.解答题(共 75 分) 16. 用数学归纳法证明: + + +…+ > (n>1,且 n∈N ) .
*

17. 用分析法证明:若 a>0,则 18. 已知 a,b,c,d∈R,且 a+b=c+d=1,ac+bd>1, 求证:a,b,c,d 中至少有一个是负数. 19. 如果一个数列的各项均为实数,且从第二项起开始,每一项的平方与它前一项的平方的 差都是同一个常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差. (1)证明:一个非常数数列的等差数列不可能同时也是等方差数列; (2)若正项数列{an}是首项为 2 、公方差为 2 的等方差数列,且存在实数 m, 使得等式

a14 +a2 4 +

? an 4 =

2n(n ? m)(2n ? 1) 对任意n ? N ? 成立,求 m的值 ,并证明等式成立。 3
2

20. 如图 1 所示为抛物线的一个几何性质: 过抛物线 y =4x 的焦点 F 任作直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,则在 x 轴上存在定点 M(﹣1,0) ,使直线 MF 始终是∠ AMB 的平分线; 如图 2 所示,对于椭圆 ,设它的左焦点为 F;请写出一个类似地性质;并证明.

21.如图, P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x 2 , y 2 ) 、?、 P n ( xn , y n ) (0 ? y1 ? y 2 ? ? ? y n ) 是曲线 C : 点 Ai (ai ,0) ( i ? 1,2,3? n ) 在 x 轴的正半轴上, 且 ?Ai ?1 Ai Pi y 2 ? 3x( y ? 0) 上的 n 个点, 是 正三角形( A0 是坐标原点). (1)尝试用 a1 表示 P1 点坐标; (2)求出 a1 的值,继而写出 a2 、 a3 的值; (3)猜想 an 的表达式并用数学归纳法证明.

参考答案
一.选择题(共 50 分)

1.下面几种推理过程是演绎推理的是

( D

)

1 1 A.在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+ )(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 2 an-1 B.某校高三(1)班有 55 人,高三(2)班有 54 人,高三(3)班有 52 人,由此得出高三所有 班人数超过 50 人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 D.两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠A,∠B 是两条平行直线被第三条直线所 截得的同旁内角,则∠A+∠B=180°

2.(2012·江西高考)观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+ |y|=2 的不同整数解(x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12,?,则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为( A.76 C.86
2 3 4

B

)

B.80 D.92
2012

3. 观察下列各式:7 =49,7 =343,7 =2401,…,则 7 的末两位数字为( A ) A.01 B.43 C.07 D.49 分析:通过观察前几项,发现末两位数字分别为 49、43、01、07、…,以 4 为周期出现重 复,由此不难求出 7 的末两位数字. 2 3 4 5 6 7 8 解: 根据题意, 得 7 =49, 7 =343, 7 =2401, 7 =16807, 7 =117649, 7 =823543, 7 =5764801, 9 7 =40353607…, 4k﹣2 4k﹣1 4k 发现:7 的末两位数字是 49,7 的末两位数字是 43,7 的末两位数字是 01, 4k+1 7 的末两位数字是 49, (k=1、2、3、4、…) , 2012 ∵ 2012=503×4,∴ 7 的末两位数字为 01. 故选 A. 4. 以下不等式(其中 a ? b ? 0 )正确的个数是( ① 7 ?1 ? 11 ? 5 A.0 C.2 ② C ) ③ lg
2012

a ?b ? a ? b
B.1 D.3

a? b a ?b ? lg 2 2

5. 如图,椭圆的中心在坐标原点, F 为左焦点,当 AB ? FB 时,有

y

B A x

? c2 ? b2 ? ? ? b2 ? a 2 ? ? ? c ? a ? ,从而得离心率为
2

5 ?1 ,此类椭圆称 2

F O

为“黄金椭圆” ,类比“黄金椭圆” ,可推出“黄金双曲线”的离心率为

( B A.



5 ?1 2

B.

1? 5 2

C. 2

D.

2 5 ?1
时,|BF| +|AB| =|AF| ,由此可知
2 2 2

分析:类比“黄金椭圆”,在黄金双曲线中,当
2 2 2 2 2 2 2 2

b +c +c =a +c +2ac,整理得 c =a +ac,即 e ﹣e﹣1=0,解这个方程就能求出黄金双曲线的 离心率 e. 解:类比“黄金椭圆”,在黄金双曲线中,|OA|=a,|OB|=b,|OF|=c, 当
2 2 2

时,|BF| +|AB| =|AF| ,
2 2

2

2

2

∴ b +c +c =a +c +2ac, 2 2 2 2 2 ∵ b =c ﹣a ,整理得 c =a +ac, ∴ e ﹣e﹣1=0,解得 故黄金双曲线的离心率
2

,或 .

(舍去) .

6.如图,在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件 首饰是由 6 颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由 15 颗珠宝正六边形, 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 ,按 照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠 宝 ,使 它 构 成 更 大 的 正 六 边 形 , 依 此 推 断 第 8 件 首饰上应有(C )颗珠宝。

第1件

第2件

第3件

第4件 B.110 D.130

第5件

A.100 C.120

7.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个数对是( A.(7,5) C.(2,10) B.(5,7) D.(10,1) B )

解析:选 B 依题意,就每组整数对的和相同的分为一组,不难得知第 n 组整数对的和

为 n+1,且有 n 个整数对,这样的前 n 组一共有 <60< + 2

n n+
2

个整数对,注意到

+ 2

, 因此第 60 个整数对处于第 11 组(每对整数对的和为 12 的组)的第 5 个位

置,结合题意可知每对整数对的和为 12 的组中的各对数依次为:(1,11),(2,10),(3,9), (4,8),(5,7),?,因此第 60 个整数对是(5,7).

8.把正数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数,得到如 图乙的三角形数阵,现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列{an},若 an=1625,则 n=( A )

A.833 C.832

B.820 D.53

9.如图所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai ?i ? 1,2,3,4? ,此四边形内 任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi ? i ? 1, 2,3, 4? ,若

a1 a2 a3 a4 ? ? ? ? k ,则 1 2 3 4

? ? ihi ? ?
i ?1

4

2S k

4 ? ? 注: ? ? (ihi ) ? 1? h1 ? 2 ? h2 ? 3 ? h3 ? 4 ? h4 ? ,类比以上性质,体积为 V 的三 i ?1 ? ?

棱锥的第 i 个面的面积记为 Si ?i ? 1,2,3,4? , 此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为

Hi ?i ? 1, 2,3, 4? ,若
( B A. )

4 S1 S 2 S3 S 4 ? ? ? ? K , 则 ? ? iH i ? ? 1 2 3 4 i ?1

4V K

B.

3V K

C.

2V K

D.

V K

10. 函数 f(x)的定义域为 A,若存在非零实数 t,使得对于任意 x∈C(C?A)有 x+t∈A, 使得 f(x+t)≤f(x)恒成立,则称 f(x)为 C 上的 t 度低调函数.已知定义域为[0,+∞) 的函数 f(x)= ?(mx ? 3)2 ,且 f(x)为[0,+∞)上的 6 度低调函数,那么实数 m 的取 值范围是( D ) A.?0,1? B。?1, ?? ? C.? ??,0? D.? ??,0?

?1, ???

二.填空题(共 25 分) 11.用反证法证明命题“存在 a、b∈R,a +b <2(a﹣b﹣1)”,正确的反设为 任意 a,b∈R, 2 2 a +b ≥2(a﹣b﹣1) .
2 2

12. 观察下列等式: 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 ? 1 =1 1 +2 =9 1 +2 +3 =36 1 +2 +3 +4 =100 1 +2 +3 +4 +5 =225 ?
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 2 3 3 3 3 2 * 可以推测:1 +2 +3 +?+n =________ n (n+1) (n∈N ,用含 n 的代数式表示) 4 解析:第二列等式右边分别是 1×1,3×3,6×6,10×10,15×15,与第一列等式右边比 1 2 3 3 3 3 2 2 较即可得,1 +2 +3 +?+n =(1+2+3+?+n) = n (n+1) . 4 1 2 2 答案: n (n+1) 4

13. 若定义在区间 D 上的函数 f(x)对 D 上的任意 n 个值 x1,x2,…,xn,总满足

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤f(

) ,则称 f(x)为 D 上的凸函数.已

知函数 y=sinx 在区间(0,π)上是“凸函数”,则在△ ABC 中,sinA+sinB+sinC 的最大值 是 .

14. 在面积为 S 的正三角形 ABC 中,E 是边 AB 上的动点,过点 E 作 EF∥ BC, 交 AC 于点 F, 当点 E 运动到离边 BC 的距离为△ ABC 高的 时,△ EFB 的面积取得最大值为 .类比上面的结论,可

得,在各棱条相等的体积为 V 的四面体 ABCD 中,E 是棱 AB 上 的动点, 过点 E 作平面 EFG∥ 平面 BCD, 分别交 AC、 AD 于点 F、 G,则四面体 EFGB 的体积的最大值等于 V.

解答: 解:根据几何体和平面图形的类比关系, 三角形的边应与四面体中的各个面进行类比,而面积与体积进行类比,中位线与中截 面进行类比: 在面积为 S 的正三角形 ABC 中, 当点 E 运动到离边 BC 的距离为△ ABC 高的 时, △ EFB 的面积取得最大值为 .

类比上面的结论,可得,在各棱条相等的体积为 V 的四面体 ABCD 中,E 是棱 AB 上的动点,过点 E 作平面 EFG∥ 平面 BCD,分别交 AC、AD 于点 F、G,设 AE=xAB (0<x<1) ,则四面体 EFGB 的体积 V1=x (1﹣x)V= x?x(2﹣2x)
2

V≤ 故答案为: .

V=

,最大值等于 V 四面体 EFGB=V 四面体 AEFG=



点评: 本题考察了立体几何和平面几何的类比推理,一般平面图形的边、面积分别于几何体 中的面和体积进行类比,从而得到结论.

15.以下是面点师一个工作环节的数学模型:在数轴上截取与闭区间 [ 0, 1] 对应的线段,对 折后(坐标 1 所对应的点与原点重合)再均匀地拉成 1 个单位长度的线段,这一过程称为

一次操作(例如在第一次操作完成后,原来的坐标

1 3 1 1 和 都变成 ,原来的坐标 变成 4 4 2 2

1,等等).那么原闭区间 [ 0, 1] 上(除两个端点外)的点,在第二次操作完成后,恰好被拉 到与 1 重合的点所对应的坐标是 ;原闭区间 [ 0, 1] 上(除两个端点外)的点, 在 第 n 次 操 作 完 成 后 ( n ?1 ) ,恰好被拉到与 1 重合的点所对应的坐标 为 .(用含 n 的式子表示)

0

1 2

1

答案: ,

j 1 3 ; n , j 为 1, 2 n 中的所有奇数. 4 4 2

?

?

三.解答题(共 75 分) 16. 用数学归纳法证明: 证明: (1)n=2 时,左边=
*

+

+

+…+ >



(n>1,且 n∈N ) .

*

,不等式成立; + +… + >

(2)假设 n=k(k>1,且 k∈N )时结论成立,即 则 n=k+1 时,左边 = + 即 n=k+1 时结论成立 综上, + + +…+ > + +…+ + ﹣ = = +

+…+

+

﹣ >



(n>1,且 n∈N ) .

*

17. 用分析法证明:若 a>0,则

证明:∵ a>0,要证



只要证

+4

+4≥

+2



)+4,

即证 2





) .

只要证 4( 由基本不等式可得

)≥2(

+2) ,即证

≥2.

≥2 成立,故原不等式成立.

18. 已知 a,b,c,d∈R,且 a+b=c+d=1,ac+bd>1, 求证:a,b,c,d 中至少有一个是负数. 证明 假设 a,b,c,d 都是非负数, 因为 a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1, 又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd>1,这与上式相矛盾,所以 a,b,c,d 中至少有 一个是负数. 19. 如果一个数列的各项均为实数,且从第二项起开始,每一项的平方与它前一项的平方的 差都是同一个常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差. (1)证明:一个非常数数列的等差数列不可能同时也是等方差数列; (2)若正项数列{an}是首项为 2 、公方差为 2 的等方差数列,且存在实数 m, 使得等式

a14 +a2 4 +
解:

? an 4 =

2n(n ? m)(2n ? 1) 对任意n ? N ? 都成立, 求 m的值 , 并证明等式成立。 3

2

(1)若数列{an}是等差数列,设 an=an+b(a,b∈R) ,则 要使{an}也是等方差数列,应有

(k 为与 n 无关的常数) ,得 a =0,即 a=0,这时 an=b

必为一常数数列,因此不存在一个非常数数列的等差数列,同时也是等方差数列.﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) (2)由于{an}是首项为 2 ,公方差为 2 的等方差数列,∴ , an ? 2n

2 ?4 ? ∴
2 2

? 2n ? ? 2n ?

2

?

2 ?4 ? ∴
2 2

2

2n(n ? m)(2n ? 1) , 取 n=1,得 m=1 3 2n(n ? 1)(2n ? 1) ? , 用数学归纳法证明之。 3

20. 如图 1 所示为抛物线的一个几何性质: 过抛物线 y =4x 的焦点 F 任作直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,则在 x 轴上存在定点 M(﹣1,0) ,使直线 MF 始终是∠ AMB 的平分线; 如图 2 所示,对于椭圆 ,设它的左焦点为 F;请写出一个类似地性质;并证明.

2

解 过椭圆 答:

的左焦点 F(﹣2,0)任作直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,则在 x 轴上存在定点 ,使直线 MF 始终是∠ AMB 的平分线;

证明如下:设直线 l 的方程为 y=k(x+2) , (k 不存在时,显然成立) ;



,得(1+5k )x +20k x+20k ﹣5=0;∴

2

2

2

2

,设 M(t,0) ,则



将根与系数的关系式代入,得 4t+10=0,即得点



21.如图, P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x 2 , y 2 ) 、?、 P n ( xn , y n ) (0 ? y1 ? y 2 ? ? ? y n ) 是曲线 C :

y 2 ? 3x( y ? 0) 上的 n 个点,点 Ai (ai ,0)( i ? 1,2,3?n )在 x 轴的正半轴上,且 ?Ai ?1 Ai Pi
是正三角形( A0 是坐标原点). (1)尝试用 a1 表示 P1 点坐标;

(2)求出 a1 的值,继而写出 a2 、 a3 的值; (3)猜想 an 的表达式并用数学归纳法证明 解: ?

? a1 3 ? ? 2 , 2 a1 ? ? ? ?

(2) a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 12; ??????.6 分 (3)依题意,得 x n ?

a n ?1 ? a n a ? a n ?1 2 , yn ? 3 ? n ,由此及 yn ? 3 ? xn 得 2 2

( 3?

a n ? a n ?1 2 3 ) ? (a n ? a n ?1 ) , 2 2

即 (an ? an?1 ) 2 ? 2(an?1 ? an ) . 由(Ⅰ)可猜想: an ? n(n ? 1), (n ? N ? ) . 下面用数学归纳法予以证明: (1)当 n ? 1 时,命题显然成立; (2)假定当 n ? k 时命题成立,即有 an ? k (k ? 1) ,则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设及

(ak ?1 ? ak )2 ? 2(ak ? ak ?1 )
得 [ak ?1 ? k (k ? 1)]2 ? 2[k (k ? 1) ? ak ?1 ] ,即

(ak ?1 )2 ? 2(k 2 ? k ? 1)ak ?1 ? [k (k ? 1)] ? [(k ? 1)(k ? 2)] ? 0 ,
解之得 , ak ?1 ? (k ? 1)(k ? 2) ( ak ?1 ? k (k ? 1) ? ak 不合题意,舍去) 即当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1) 、 (2)知:命题成立.??????.10 分


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