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2.2.2对数函数及其性质(2二)


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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

§2.2.2 对数函数及其性质(二)

复习:对数函数 y ? log a x 的图象与性质
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a>1
3
3 2.5

0<a<1
2.5 2 1.5

2

1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: x∈(0,+∞)

函 数 性 质

值域 : y ? (??, ??)
过点(1,0),即当x=1时,y=0 x ? (0,1) ? y ? 0 x ? (0,1) ? y ? 0 x ? (1,??) ? y ? 0 x ? (1,??) ? y ? 0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数

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例1. 比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 25 和 log 27 (2) log 0.35 和 log 0.37 (3) log a5 和 log a7 (a>0且a≠1)

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(1)log 25 与log 27
解:考察对数函数 y = log 2x,
底数2>1,所以在(0,+∞)上是增函数, 由图象观察:
y log 27 log 25 0 1 5 7 x
y ? log2 x

得到:log 25<log 27

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(2)log 0.35 与 log 0.37
解:考察对数函数 y = log
y

x, 底数为0.3, 即0<0.3<1,所以在(0,+∞)上是减函数, 由图 象观察:
0.3

y = log 0.3 x 0 log 0.35 log 0.37 1 5 7 x

得到:log 0.35>log 0.37

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(3)log a5 与log a7 ( a>0 且 a≠1 )
对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还 是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大? 因此需要对底数a进行讨论:
y y x

0

1

0

1

x

当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,故 log a5<log a7 当0<a<1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,故 log a5>log a7

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总 结
1.当底数相同时,利用对数函数的增减性比较大小.

2.当底数不确定时,要对底数a与1的大小进行分类 讨论.

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例2:比较下列各组数中两个值的大小: log 6 7 > log 6 6 = 1 log 7 6 < log 7 7 = 1 log 6 7 > log 7 6 log 3 2 > log 3 1 = 0 log 2 0.8 < log 2 1 = 0 log 3 2 > log 2 0.8

总 结

当底数不相同,真数也不相同时,利用“介值法”

常需引入中间值0或1(各种变形式).

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例3:比较下列各组数中两个值的大小:

log 2 7 与 log 5 7
解:∵ 1> log 7 5 > log 7 2 >0

log 2 7 log 5 7

y

y ? log2 x y ? log5 x

1 1 ? ? log 7 2 log 7 5

o

1

7

x

总 结

∴ log 2 7 > log 5 7

1.利用换底公式的运算,取倒数后转化为同底 问题. 2.当底数不相同,真数相同时,利用图象判断大小.

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小结:两个对数比较大小
(一)同底数比较大小 1.当底数确定时,则可由函数的 单调性直接进行判断; 2.当底数不确定时,应对底数进 行分类讨论。 (二)同真数比较大小 1.通过换底公式; 2.利用函数图象。 (三)若底数、真数都不相同, 则常借 助1、0等中间量进行比较。

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例1:解方程

(1)log2(2-x)=log2(x-1)+1 X=4/3
利用对数的性质,注意函数的定义域

(2)32x+1-13×3x-10=0

X=log35

利用指数的性质换元转化为二次方程来求

化归思想:转化为熟悉的方程来解

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例 2:解不等式
(1) 0 ? log 1

利用函数的单调性,

结合函数的图象考虑

x ?1? x?

(1/2,1)

2 先将数字用对数形式表示,再利用函数的单调性求解

1 ? 1 ,则求 a 的范围。 (2) log a 3
1/3<a<1
(1)1<a<b (3)0<b<1<a

(3)若 log a 5 ? logb 5 则比较 a , b 的大小
要注意数形结合
(2)0<a<b<1

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在指数函数 y ? 2 中, x 为自变量, y 为因 变量。如果把 y 当成自变量,x 当成因变量,那
x

探 究:

么 x 是 y 的函数吗?如果是,那么对应关系是
什么?如果不是,请说明理由。 y=2x ? x ? log2 y y ?? 0, ???
x?R

指数函数y=2x(x ∈R)与对数函数y=log2x (x∈(0,+∞)) 互为反函数. 一般地,指数函数y=ax(x ∈R)与对数函数 y=logax (x∈(0,+∞)) 互为反函数.

? y ? log 2 x x ??0, ???

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y?( )

1 x 2

Y
5

Y=2x
Y=X ● ●

4
3 2 ● ● 1●




Y=log2x

-1 O -1

● ● ● 1 2

3

4

5

6

7 X

-2

y ? log 1 x

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同底指数函数与对数函数的关系
y ? loga x 与 y ? a x 的图象关于 直线 y ? x 对称。
4

f?x? = g?x? =
3

0.5 x log ?x? log ?0.5 ?

y ? ax (0 ? a ? 1)

4

3

2
2

y ? a x (a ? 1)
-2

1

1

-6

y ? log a x
2

-4

4-2

6

2

4

-1

-1

(a ? 1)
-2 -3

y ? log a x (0 ? a ? 1)

-2

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函数与其反函数的关系?
(1)函数与其反函数的对应法则是互逆即互反的。 (2)函数与其反函数的定义域,值域互换。 (3) 函数与其反函数的图象关于y=x轴对称。 (4)反函数也是函数,因为它是符合函数定义的, 不是任意函数都有反函数 的.

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课堂回顾:
1.如何利用对数函数的单调性比较大小?

2.如何构建对数函数模型,解决生活中的实 际问题? 3.怎样理解同底的指数函数与对数函数互为 反函数?

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例5:已知函数 f ( x) ? log 2 (3x ? 1), 若 f ( x) ? 0, 求 x 的取值范围.

总结点评:注意对数函数定义中定义域限制 (3x-1>0)
变式1:已知函数 y ? log 2 (2x ? 1), 求满足 f ( x) ? 1 的 x 的取值范围.
变式2:已知 log a (3a ? 1) 恒为正数, 求 a 的取值范围.

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练习1 . 比较下列各组数中两个值的大小
(1) log0.41.8 (2) log32.4 (3) log0.62.5 log0.42 log32.7 log0.63 log33.4 log0.60.7 (n>0)

(4) log2n与log2(n+1)

(5) log0.2(n2+1)与log0.2 n2 (n≠0)
(6) loga x2与 loga (x2+1) (x≠0)

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练习

1995年我国人口总数是12亿,如果人口的自然增长率 控制在1.25%,问哪一年我国人口总数将大约等于14亿? 解: 设 X年后人口总数超过14亿,依题意得 12.(1+0.0125)X=14 即 1.0125X=14/12,两边取常用对数, 得:X.lg1.0125=lg14-lg12 即:X= (lg14-lg12)/ lg1.0125≈12.4

答:12年后,即2007年我国人口总数将大约等于14亿。

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例6 溶液酸碱度的测量
溶液酸碱度是通过pH刻画的。 pH的计算公式 pH= - lg[H+],

其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升。

(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度
与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系? (2)已知纯净水中氢离子的浓度[H+]=10-7为摩尔/升,计算纯净水 的pH值.

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解:
(1)根据对数函数的运算性质,有 pH= - lg[H+] =

lg[H+] –1 = lg
在(0,+ ∞)上,随着[H+]的增大, lg 小。 减小,相应地,

也减小,即pH减小。所以,随着[H+]的增大,

pH减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的碱性越

(2)当[H+] =10-7时,pH=-lg10-7=7,所以,
纯净水的pH是7。


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