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湖北省八校2011届高三第二次联考理数


湖北省八校 2011 届高三第二次联考

数 学 试 题(理)
全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 ) 1.若集合 A = {x | A.2

x = x 2 ? 2, x ∈ R}, B = (1, m), 若A ? B ,则 m 的值为
B.-1 C.-1 或 2 D.2 或 2





2.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若a4 = 9, a6 = 11 ,则 S9 等于





A.180 B.90 C.72 D.10 3.在样本的频率分布直方图中,共有 5 个长方形,若中间一个小长方形的面积等于其它 4 个小长方形的 面积和的 A.80

1 ,且样本容量为 100,则正中间的一组的频数为 ( 4
B.0.8 C.20 D.0.2



4.若满足条件 C = 60°, AB = 3, BC = a 的 ?ABC 有两个,那么 a 的取值范围是( A. (1, 2 ) 5.复数 2 + i与复数 A. B. 2, 3 ) ( C. ( 3, 2) D. (1,2) (



π
6

1 在复平面上的对应点分别是 A、B,则 ∠AOB 等于 3+ i
B.



π

4

C.

π

3

D.

π

2
( )

?x ≥ 0 ? 2 2 6.已知 x,y 满足约束条件 ?3 x + 4 y ≥ 4, 则x + y 的最小值是 ?y ≥ 0 ?
A.

4 5

B.

16 25

C.

4 3

D. 1

7.2011 年某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,后四位数从“0000”到“9999” 共 10000 个号码。公司规定:凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡” ,享受一定 优惠政策,则这组号码中“金兔卡”的个数为 ( ) A.2000 B.4096 C.5904 D.8320 8.有三个命题①函数 f ( x ) = ln x + x ? 2 的图像与 x 轴有 2 个交点;②函数 y =

x ? 1( x ≥ 0) 的反函数

是 y = ( x ? 1) 2 ( x ≥ ?1) ; ③ 函 数 y =

9 ? x2 的图象关于 y 轴对称。其中真命题是 | x + 4| + | x ?3|

( ) A.①③ B.② C.③ D.②③ 9.若长度为定值的线段 AB 的两端点分别在 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上移动,O 为坐标原点,则 ?OAB 的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是 ( ) A.点 B.线段 C.圆弧 D.抛物线的一部分 10.已知点 G 是 ?ABC 的重心,点 P 是 ?GBC 内一点,若 AP = λ AB + ? AC ,则 λ + ? 的取值范围 是( )

A. ( ,1)

1 2

B. ( ,1)

2 3

C. (1, )

3 2

D. (1,2)

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡中相应的横线上。 ) 11.二项式 ( ? 2 x ) 展开式中,除常数项外,各项系数的和为
2 9

1 x



12.边长是 2 2 的正三角形 ABC 内接于体积是 4 3π 的球 O,则球面上的点到平面 ABC 的最大距离 为 。

13 . 函 数 f ( x ) = cos( + ? )(0 < ? < 2π ) , 在 区 间 ( ?π , π ) 上 单 调 递 增 , 则 实 数 ? 的 取 值 范 围 为 14. 已知过椭圆 。

x 3

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 斜率是 1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 AF = 2 FB , a2 b2

则椭圆的离心率是 。 “存在”一词,叫做存在量词,用符 15.在数学中“所有”一词,叫做全称量词,用符号“ ? ”表示; 号 “ ? ” 表 示 。 设 f ( x) =

x2 ? 3x + 3 ( x > 2), g ( x) = a x (a > 1, x > 2). ① 若 ?x0 ∈ (2, +∞) , 使 2
;②若 ?x1 ∈ (2, +∞) , 。

f ( x0 ) = m 成立,则实数 m 的取值范围为

?x2 ∈ (2, +∞)使得f ( x1 ) = g ( x2 ) ,则实数 a 的取值范围为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 16. (本小题满分 12 分) 已知 a = (cos x + sin x, sin x ), b = (cos x ? sin x, 2 cos x ). (I)求证:向量 a 与向量 b 不可能平行; (II)若 a·b=1,且 x ∈ [ ?π , 0] ,求 x 的值。

17. (本小题满分 12 分) 已知某高中某班共有学生 50 人,其中男生 30 人,女生 20 人,班主任决定用分层抽样的方法在自己

班上的学生中抽取 5 人进行高考前心理调查。 (I)若要从这 5 人中选取 2 人作为重点调查对象,求至少选取 1 个男生的概率; (II)若男生学生考前心理状态好的概率为 0.6,女学生考前心理状态好的概率为 0.5,ξ 表示抽取的 5 名学生中考前心理状态好的人数,求 P (ξ = 1)及Eξ .

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=a,E 为棱 A1D1 中点。 (I)求二面角 E—AC—B 的正切值; (II)求直线 A1C1 到平面 EAC 的距离。 19. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是正数组成的数列,其前 n 项和 2 S n = an + an ( n ∈ N ), 数列{bn } 满足 b1 =
2 *

3 , 2

bn +1 = bn + 3an (n ∈ N * ).
(I)求数列 {an },{bn } 的通项公式; (II)若 cn = anbn (n ∈ N ) ,数列 {cn } 的前 n 项和 Tn , 求 lim
*

n →∞

Tn . cn

20. (本小题满分 13 分) 若圆 C 过点 M(0,1)且与直线 l : y = ?1 相切,设圆心 C 的轨迹为曲线 E,A、B 为曲线 E 上的两 点,点 P(0,t),且满足 AB = λ PB (λ > 1) (I)求曲线 E 的方程; (II)若 t=6,直线 AB 的斜率为 程; (III) 分别过 A、 作曲线 E 的切线, B 两条切线交于点 Q, 若点 Q 恰好在直线 l 上, 求证: 与 OA ? OB t 均为定值。

1 ,过 A、B 两点的圆 N 与抛物线在点 A 处共同的切线,求圆 N 的方 2

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ax + ln x, a ∈ R. (I)当 a=-1 时,求 f(x)的最大值; (II)对 f ( x ) 图象上的任意不同两点 P ( x1 , x2 ), P ( x2 , y2 )(0 < x1 < x2 ) ,证明 f ( x ) 图象上存在点 1

P0 ( x0 , y0 ), 满足x1 < x0 < x2 ,且 f ( x) 图象上以 P0 为切点的切线与直线 P1P2 平等;

(III)当 a =

3 * 时,设正项数列 {an } 满足: an +1 = f '( an )( n ∈ N ), 若数列 {a2 n } 是递减数列,求 a1 的 2

取值范围。

参考答案(数学理)
1-5 ACAAD 11. 3 6-10 CCBCB 12. 4 13 .

9π 2

14.200.

15. 1,1

16.(1) f ( x ) =

3 3 π 3 sin 2ω x ? (1 + cos 2ω x) + 1 ? cos 2(ω x ? ) + 2 2 12 2

3 3 π = sin 2ω x ? cos ω x ? cos(2ω x ? ) + 1 2 2 6
= 3 sin(2ω x ? ) ? cos(2ω x ? ) + 1 6 6 = 2sin(2ω x ? ) + 1 3 Q T = π , ω > 0,∴T =

π

π

π

(3 分)

∴ f ( x) = 2 sin(2 x ? ) + 1 3
故递 增区间为 [ kπ ? (2) f ( A) = 2sin(2 A ?

π

2π = π ,ω = 1 2ω
(4 分)

π

) + 1 = 1    sin(2 A ? ) = 0 ∴ 3 3 π π 5π Q? < 2A ? < 3 3 3
∴2A ? 即A =

π

12

, kπ +

5π ]   k ∈ Z 12

(6 分)

π

π

π

3

= 0   或2A ?

π

6

   或A =

2π 3

3



又a < b    A < B,    故A = ∴


2π π  舍 去,∴ A = 6 3

(9 分)

a b 2 π 3π = 得 sin B = ,    B = 或B = ∴ , sin A sin B 2 4 4

若 B=

π

4 3π π 若B= ,则 C = . 4 12

,则 C =

7π . 12
(12 分)

17.(1)设 A 通过体能、射击、反应分别 记为事件 M、N、P 则 A 能够入选包含以下几个互斥事件:

MNP , MNP, MNP, MNP. ∴ P( A) = P( MNP ) + P( MNP) + P( MNP) + P( MNP)
2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 12 2 = × × + × × + × × + × × = = 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 18 3
(2)记 ξ 表示该训练基地得到的训练经费 (6 分)

ξ
P

0 1 81

3000 8 81

6000 24 81

9000 12000 32 81 16 81
(12 分)

Eξ = 3000 ×

8 24 32 16 + 6000 × + 9000 × + 12000 × = 8000 (元) 81 81 81 81

18 解: (1) AD 、 BC 是异面直线, 法一(反证法)假设 AD 、 BC 共面为 α . Q EF ⊥ BC , ∠ABC = 90° ,∴ EF AB , EF ? α , AB ? α .
∴ EF α ,又 EFCD I α = CD ∴ EF CD,∴ CD AB .

(1 分)

这与 ABCD 为梯形矛盾.故假设不成立.即 AD 、 BC 是异面直线. (5 分) 法二:在 FC上 取一点 M,使 FM = ED ,又 FM ED , ∴ EFMD 是平行四边形. ∴ DM EF , 又EF AB,∴ DM AB ,则 DM , AB 确定平面 α , B ∈ α , C ? α , AD ? α ,∴ BC 与 AD 是异面直线. 相交于 N, AE=2, AD=4, BC=6, ∴ ED = 2, CF = 4, 设 AB = x, 则△NDE 中,NE = x , (2) 法一:延长 CD, EF ,
Q AE ⊥ EF ,平面 ABFE ⊥ 平面 EFCD ,∴ AE ⊥ 平面 EFCD . 过 E 作 EH ⊥ DN 于 H,连结 AH,则 AH ⊥ DN . ∴∠AHE 是二面角 A ? DC ? E 的平面角,则 ∠AHE = 60° .

(8 分)
x2 + 4 = 3,∴ x 2 = 2, x = 2 , x

Q NE = x, DE = 2,∴ HE =

2x x2 + 4

, AE = 2 ,∴ tan ∠AHE =

AE = EH

此时在△EFC 中, EF = 2, FC = 4,∴ EC = 3 2 . 又 AE ⊥ 平面 EFCD ,∴∠ACE 是直线 AC 与平面 EFCD 所成的角,
∴ tan ∠ACE = AE 2 2 = = . EC 3 2 3

(10 分)

(12 分)

即当直线 AC 与平面 EFCD 所成角为 arctan

2 时,二面角 A ? DE ? E 的大小为 60° 。 3 法二:Q AE ⊥ EF ,面 ABFE ⊥ 面 EFCD,∴ AE ⊥ 平面 EFCD .又 ∠DEF = 90° .

故可以以 E 为原点, ED 为 x 轴, EF 为 y 轴, EA 为 Z 轴建立空间直角坐标系,可求 ED = 2, EA = 2, 设
EF = h, FC = 4 .
uuur uuu r

则 D(2,0, 0), C (4, h, 0), A(0, 0, 2), DC = (2, h, 0) , DA = (?2,0, 2) , 得 平 面 ADC 的 法 向 量 n = ( x, y, z ) , 则 有

uuur uuu r 2 DC n = 2 x + hy = 0, DA n = ?2 x + 2 z = 0 ,可取 n = (1, ? ,1) . n

平面 EFCD 的法向量 m = (0,0,1) . | cos(m n) |=|

mn |=| | m || n |

1 |= cos 60° = ,∴ h = 2 .(8 分) 2 4 2+ 2 n

1

uuu r uuu r uuu r CA m 2 22 r = = . 此 时, CA = (?4, ? 2, 2),cos < CA, m >= uuu 11 | CA | | m | 16 + 2 + 4

设 CA 与平面 EFCD 所成角为 α ,则 cos α = 即当直线 AC 与平面 EFCD 所成角的大小为 arcsin (12 分)

22 22 ,∴α = arcsin . 11 11 22 时,二面角 A ? DC ? E 的大小为 60° . 11

19 题解: (1)当 n = 1 时, b1 =

1 1 ;当 n = 2 时, b2 = . 38 39

(2 分)

(2)当 1 ≤ n ≤ 25 时, a1 = a2 = L = an ?1 = an = 1 .

∴ bn =

an 1 1 = = . 38 + a1 + a2 + L + an ?1 38 + n ? 1 37 + n

(4 分)

n an 2n 25 = = 当 26 ≤ n ≤ 60 . bn = , (n ? 26)(n + 25) n 2 ? n + 2500 38 + a1 + L + a25 + a26 + L + an ?1 63 + 50
? 1 1 ≤ n ≤ 25 (n ∈ N * ) ? 37 + n , ? ∴ 第 n 天的利润率 bn = ? 2n ?   ≤ n ≤ 60 (n ∈ N * ) 26 ? n 2 ? n + 2500 ?

(8 分)

(3)当 1 ≤ n ≤ 25 时, bn = 当 26 ≤ n ≤ 60 时, bn =

1 1 是递减数列,此 时 bn 的最大值为 b1 = ; 37 + n 38

2n 2 2 2 = ≤ = n ? n + 2500 n + 2500 ? 1 2 2500 ? 1 99 n
2

(当且仅当 n = 又Q

2500 ,即 n = 50 时,“=”成立). n

(10 分)

1 2 1 ,∴ n = 1 时, (bn ) max = . > 38 99 38 1 . 38

∴ 该商店经销此纪念品期间,第 1 天的利润率最大,且该天的利润率为

(12 分)

20.(1)设 A( x1 ,0), B(0, y1 ), M ( x, y )

x1 ? ?x = 1+ 2 ? 则? ? y = 2 y1 ? ? 1+ 2
2

? x = 3x ? 1 ∴? 3 ? y1 = 2 y ?

3 AB = 3 = (3 x) + ( y ) 2 2
(2)存在满足条件的 D 点.

y2 即: + x 2 = 1 4

(6 分)

设满足条件的点 D(0,m) ,则 0 ≤ m ≤

(

3

)
2 2

设 l 的方程为: y = kx + 3, ( k ≠ 0) ,代入椭圆方程,得 ( k + 4) x + 2 3kx ? 1 = 0 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 则x1 + x2 = ?

2 3k , k2 + 4
(8 分)

∴ y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) + 2 3 =

8 3 . k2 + 4

Q 以 DA、DB 为邻边的平行四边形为菱形, uuu uuu v v uuu v ∴ ( DA + DB) ⊥ AB.
uuu uuu v v Q DA + DB = ( x1 , y1 ? m) + ( x2 , y2 ? m) = ( x1 + x2 y1 + y2 ? 2m) = (? 2 3k 8 3 , ? 2m), k2 + 4 k2 + 4

uuu v uuu uuu uuu v v v AB 的方向向量为(1,k) Q ( DA + DB ) ? AB = 0, ,
∴? 2 3k 8 3k + ? 2mk = 0 k2 + 4 k2 + 4 ∴m =

即m =

3 3 k2 + 4 ∴0 < m < 3

(11 分)

Q k 2 > 0,

3 3 3 3 < < 3, k2 + 4 4

∴ 存在满足条件的点 D.
21.(1) a = 1, f ( x ) = x ? 1 ? ln x

(13 分)

当x ≥ 1时, f ( x) = x ? 1 ? ln x, f ′( x) = 1 ? ∴ f ( x)在区间[1, +∞ ) 上是递增的.

1 x ?1 = ≥ 0. x x
(2 分)

当0 < x < 1, f ( x) = 1 ? x ? ln x, f ′( x) = ?1 ?

1 <0 x

∴ f ( x )在区间(0,1)上是递减的.
, 故a=1 时, f ( x ) 的增区间为[1, +∞) ,减区间为(0,1) f ( x) min = f (1) = 0. (4 分)

(2)若a ≥ 1, 当x ≥ a时,f ( x ) = x ? a ? ln x, f ′( x ) = 1 ? 则 f ( x ) 在区间[ a, +∞ ] 上是递增的; 当 0 < x < a时, f ( x ) = a ? x ? ln x, f ′( x ) = ?1 ?

1 x ?1 = ≥ 0. x x

1 <0 x
(6 分)

∴ f ( x) 在区间 (0, a ) 上是递减的.
若 0 < a < 1, 当x ≥ a时, f ( x ) = x ? a ? ln x,

f ′( x) = 1 ?

1 x ?1 = , x > 1, f ′( x) > 0, a < x < 1, f ′( x) < 0 x x

则 f ( x ) 在区间 [1, +∞) 上是递增的, f ( x ) 在区间 [ a,1) 上是递减的; 当 0 < x < a时, f ( x ) = a ? x ? ln x, f ′( x ) = ?1 ?

1 < 0, x

f ( x) 在区间(0,a)上是递减的,而 f ( x) 在 x = a 处连续;
则 f ( x ) 在区间 [1, +∞) 上是递增的,在区间(0,1)上是递减的 综上:当 a ≥ 1时, f ( x ) 的递增区间是 [ a, +∞ ) ,递减区间是(0,a) ; 当 0 < a < 1 时, f ( x) 的递增区间是 [1, +∞) ,递减区间是(0,1) (9 分) (3)由(1)可知,当 a = 1 , x > 1 时,有 x ? 1 ? ln x > 0 ,即


(8 分)

ln x 1 < 1? x x

1 1 1 1 1 1 ln 22 ln 32 ln n 2 + 2 +L + 2 < 1? 2 +1? 2 +L +1? 2 = n ?1? ( 2 + 2 +L + 2 ) 2 2 3 n 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) + +L + ) = n ?1 ? ( ? + ? + L + ? 2 × 3 3× 4 n(n + 1) 2 3 3 4 n n +1

< n ?1? (

1 1 (n ? 1)(2n + 1) = n ?1 ? ( ? )= 2 n +1 2(n + 1)

(14 分)


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