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湖北省荆州中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题 理


湖北省荆州中学 2015-2016 学年高一数学上学期期中试题 理
一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.设 A ? x x ? 2n ? 1, n ? Z ,则下列正确的是( A. ? ? A B. 2 ?? C. 3 ? A

?

?

) D. ?2? ? A

2.设 A ? ?x | 2 ? x ? 6?, B ? ?x | 2a ? x ? a ? 3?,若 B ? A,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. 1,3

? ?

B. [3,?? )

C. [1, ?? )

D. ?1,3? )

3.已知函数 f (x) ? ? A. 0

?2 x ? 1, x ? 1 ? 2 ,若 f ? f (0)? ? a ? 4 ,则实数 a ? ( 2 ? ? x ? ax, x ? 1
B.2 C. ?2 D.0 或 2

4. 设f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且f ( x ? 3) ? ? f ( x) , f ?1? ? ?2 , 则

f ( 2 0 1? 4()
A. 0.5

) B. 0 C. 2 D. -1

5 .已知 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 1 ,则函数 f ( x) ? a 与函数 g ( x) ? ? logb x 的图像可能是
x

(

)

6.函数 f ? x ? ?

1 ? x 的图象关于( x

) B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称 )
1

A.y 轴对称 C.坐标原点对称

7.偶函数 y ? f ( x) 在区间上单调递减,则有(

A. f (?1) ? f ( ) ? f (?? )

?

3

B. f ( ) ? f (?1) ? f (?? )

?

C. f (?? ) ? f (?1) ? f ( )

?

3

3

D. f (?1) ? f (?? ) ? f ( )

?

3

8. 已知 f ( x ) 是偶函数,g ( x) 是奇函数, 且 f ( x) ? g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? 1 , 则 f (? 1 ) ?( A. 3 B. ?3 C. 2 D. ? 2



9.集合 A ? {x | x ? 2k , k ? z},B ? {x | x ? 2k ? 1, k ? z} , C ? {x | x ? 4k ? 1, k ? z} ,又

a ? A , b ? B ,则有(
A. a ? b ? A C. a ? b ? C 10.若 x ?

) B. a ? b ? B D. a ? b ? A、B、C 中的任何一个 )

?e

?1

1 ln x ln x , 1 , a ? ln x , b ? ( ) , c ? e ,则( 2
B. b ? a ? c C. a ? b ? c

?

A. c ? b ? a

D. b ? c ? a

11.若函数 f ( x) ? log a ( x ? ax ? 1) 有最小值,则 a 的取值范围是(
2



A. (0,1)

B. (0,1) ? (1, 2)

C. (1, 2)

D. [2, ??)

12. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ?x ?满足f ?0? ? 0, f ?x ? ? f ?1 ? x ? ? 1, f ? ? ?

? x? ?5?

1 f ?x ?, 且 当 2

? 1 ? 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, f ?x1 ? ? f ?x2 ? .则 f ? ? 等于( ? 2015?
A.



1 2

B.

1 16

C.

1 32

D.

1 64

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置。 13.若函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 ? c 的最小值为 2,则函数 f ( x ? 2015) 的最小值为
2

14. 设 全 集 U ? {( x, y) | x ? R, y ? R}, 集 合 M ? {( x, y ) |

y ?3 ? 1}, P ? {( x, y ) | y ? x ? 1}, 则 x?2

CU (M U P) ?

2

2 15.若 函 数 f ( x) ? l og 在 区 间 ?1 , 2? 内 单 调 递 减 , 则 a 的 取 值 范 围 是 (x ? 2 ax ? 3) 2 ?

____________

5 ? a ? 1? x ? ,x ? 1 ? ? ? 2 16. 函 数 f ? x ? ? ? , 在 定 义 域 R 上 满 足 对 任 意 实 数 x1 ? x2 都 有 ? 2a ? 1 , x ? 1 ? ? x

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? 0 ,则 a 的取值范围是

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题 10 分)

? 27 ? (1) ? ? ? 8 ?
(2)

?

2 3

? 49 ? ?? ? ? 9 ?

0.5

? ?0.2? ?
?2

2 0 ? ?0.081? 25

1 32 4 lg ? lg 8 ? lg 245 2 49 3

18.( 本小题满分 12 分) 已知 A ? {x |

1 ? 3x ? 9} , B ? {x log2 x ? 0} . 3

(1)求 A ? B 和 A ? B ; (2)定义 A ? B ? {x x ? A 且 x ? B} ,求 A ? B 和 B ? A .

19. (本小题满分 12 分)
x 已知函数 f (3 ? 2) ? x ?1 ( x ? [0, 2]) ,将函数 y ? f ( x) 的图像向右平移 2 个单位,再向

上平移 3 个单位可得函数 y ? g ( x) 的图像。 (1)求函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的解析式; (2)设 h( x) ? [ g ( x)] ? g ( x ) ,试求函数 y ? h( x) 的最值。
2 2

3

20.(本小题满分 12 分) 某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P (元)与时间 t (天) 组成有序数对 ? t , P ? ,点 ? t , P ? 落在图中的两条线段上;该股票 在 30 天内的日交易量 Q (万股)与时间 t (天)的部分数据如 下表所示 第t 天 4 36 10 30 16 24 22 18

Q (万股)

(1) 根据提供的图像, 写出该种股票每股交易价格 P(元) 与时间 t (天)所满足的函数关系式; (2)根据表中数据,写出日交易量 Q (万股)与时间 t (天)的一次函数关系式; (3)用 y (万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求在这 30 天内 第几天日交易额最大,最大值为多少? 21、 (本小题 12 分) 已知定义在 ?0,??? 上的函数 f ( x) 对任意正数 p, q 都有 f ( pq) ? f ( p) ? f ( q)?

1 ,当 2

x ? 4 时, f ( x) ?

1 3 ,且 f ( ) ? 0 . 2 2

(1) 求 f (2) 的值; (2)证明:函数 f ( x) 在 ?0,??? 上是增函数; (3)解关于 x 的不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2

22、 (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? a ? 3,g ( x) ? mx ? 5 ? 2m
2

(1)当 a ? ?3,m ? 0 时,求方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 的解; (2)若方程 f ( x) ? 0 在 ? ?11 , ? 上有实数根,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? 0 时,若对任意的 x1 ? ?1 , 4? ,总存在 x2 ? ?1, 4? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 求实数 m 的取值范围.

4

荆州中学 2015~2016 学年度上学期期中卷 参考答案 年级:高一 科目:数学(理科) 命题人:马玮 审题人:余书胜

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 C 5 B 6 C 7 A 8 A 9 B 10 D 11 C 12 C

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.2 14.

3?? ?? 2,

15. ? , 1?

?1 ? ?4 ?

16. (? , ]

1 1 2 2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

17.(10 分) (1) -

8 9

………5 分

(2)

1 2

………5 分

18.(12 分)解: A ? {x |

1 ? 3x ? 9} ? (?1, 2) ; B ? {x log2 x ? 0} ? (1, ??) ……2 分 3
A ? B ? (?1, ??) B ? A ? [2, ??)
…………7 分 …………12 分

(1) A ? B ? (1, 2) , (2) A ? B ? (?1,1] ,

2 t ?[-1,7],则 x ? log3 (t ? 2) , 19.(12 分)解: (1)设 t ? 3 ? (
x

于是有 f (t ) ? log3 (t ? 2) ?1 , t ? [ ?1, 7] ∴ f ( x) ? log3 ( x ? 2) ? 1( x ? [?1, 7] ),………4 分 根据题意得 g ( x) ? f ( x ? 2) ? 3 ? log3 x ? 2 ( x ? [1,9] )………6 分 (2)∵ g ( x) ? log 3 x ? 2, x ?[1,9] ∴ h( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x2 ) ? (log3 x ? 2)2 ? 2 ? log3 x2 ? (log3 x)2 ? 6log3 x ? 6

5

? (log3 x ? 3)2 ? 3 ………8 分
∵函数 f(x)的定义域为 [1, 9] , ∴要使函数 h( x) ? [ g ( x)] ? g ( x ) 有意义,必须 ?
2 2

?1 ? x 2 ? 9 ?1 ? x ? 9

∴ 1 ? x ? 3 ,……10 分∴

x 0 ? log 3 ? 1 ,∴ 6 ? (log3 x ? 3)2 ? 3 ? 13

∴函数 y ? h( x) 的最大值为 13,最小值为 6. ………12 分

20.(12 分)解:(1)当 0 ? t ? 20 时,设 P ? at ? b

?b ? 2 ?b ? 2 1 ? (20,6) 由图像可知此图像过点 ? 0, 2 ? 和 ,故 ? ?? 1 , ?P ? t ? 2 5 ?6 ? 20a ? 2 ?a ? 5 ?
同理可求当 20 ? t ? 30 时,? P ? ?

1 t ?8 10

?1 t ? 2, 0 ? t ? 20, t ? N ? ?5 ?P ? ? ?? 1 t ? 8, 20 ? t ? 30, t ? N ? ? 10

?????4 分

注:少写一个或写错一个扣 2 分,区间写错或没写 t ? N 扣 1 分 (2)设 Q ? ct ? d ,把所给表中任意两组数据代入可求得 c ? ?1, d ? 40 ,

?Q ? ?t ? 40, 0 ? t ? 30, t ? N ?????6 分
(3)首先日交易额 y (万元)=日交易量 Q (万股) ? 每股交易价格 P (元)

? 1 ? (t ? 15)2 ? 125 0 ? t ? 20, t ? N ? ? 5 ?????8 分 ?y ? ? ? 1 ? t ? 60 ?2 ? 40 20 ? t ? 30, t ? N ? ?10
当 0 ? t ? 20 时,当 t ? 15 时, ymax ? 125 万元 ?????9 分 当 20 ? t ? 30 时, y 随 t 的增大而减小 ?????10 分 故在 30 天中的第 15 天,日交易额最大为 125 万元. ?????12 分 21.(12 分)解: (1) f (1) ? f (1) ? f (1) ? 解得 f (2) ? 1 …………………4 分

1 1 1 1 1 f (2 ? ) ? f (2) ? f ( ) ? ,所以 f (1) ? 2 2 2 2 2

(2)证明:任取 x1 , x2 ? ?0,??? ,且 x1 , x2 ,

6

则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (

x2 1 4x 1 1 4x 1 ) ? ? f ( 2 ? ) ? ? f ( 2 ) ? f ( ) ?1 x1 2 x1 4 2 x1 4
1 2 1 1 4x 3 ? ? ,且 2 ? 4 时 f ( x) ? 2 2 x1 2

因为 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ?

1 4

1 2

3 1 ? ? 1 ? 0 所以 f ( x) 在 ?0,??? 上是增函数 …8 分 2 2 1 3 1 2 (3)因为 f (4) ? f (2) ? f (2) ? ? 所以 f ( x) ? f ( x ? 3) ? f ( x ? 3x) ? ? 2 2 2 2
所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

3 即 f ( x ? 3 x ) ? ? f ( 4) 2
2

? x?0 ? 所以 ? x ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1,??? ? x 2 ? 3x ? 4 ?

? ? ? ..................12 分 ? 原不等式的解集为 ?1,

22.(12 分)解: (1) : x ? ?1或x ? 5 …………………4 分 (2)因为函数 f ( x) =x -4x+a+3 的对称轴是 x=2, 所以 f ( x) 在区间上是减函数, 因为函数在区间上存在零点,则必有:
?a≤0 ? f (1)≤0 即? ,解得 -8≤a≤0 , ? f ( ? 1) ≥ 0 ?a ? 8≥0 ?
2

故所求实数 a 的取值范围为 .

…7 分

(3)若对任意的 x1∈,总存在 x2∈,使 f(x1)=g(x2)成立,只需函数 y=f(x)的值域为函数 y=g(x)的值域的子集.
f ( x) =x -4x+3,x∈的值域为,下求 g(x)=mx+5-2m 的值域.
2

①当 m=0 时,g(x)=5-2m 为常数,不符合题意舍去; ②当 m>0 时,g(x)的值域为,要使 ? , 需? ?
?

5-m≤-1 ,解得 m≥6; ?5 ? 2m ≥3 ?
?5 ? 2m≤-1 ? ?5-m≥3

③当 m<0 时,g(x)的值域为,要使 ? , 需? ? ,解得 m≤-3;

综上,m 的取值范围为 (??, ?3] ?[6, ??) .

…………………12 分

7


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