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2013-2014学年高中数学必修二第一章 1.2.3直线与平面的位置关系(二)

第二课时
一、基础过关 1. 如图所示,定点 A 和 B 都在平面 α 内,定点 P?α,PB⊥α,C 是平面 α 内异于 A 和 B 的动点,且 PC⊥AC,则 △ABC 的形状为________三角 形. 2. 如图①所示,在正方形 SG1G2G3 中,E、F 分别是边 G1G2、G2G3 的中点,D 是 EF 的中 点,现沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体(如图②使 G1、G2、G3 三点重合 于一点 G),则下列结论中成立的有________(填序号).
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①SG⊥面 EFG;②SD⊥面 EFG;③GF⊥面 SEF; ④GD⊥面 SEF. 3. △ABC 的三条边长分别是 5、12、13,点 P 到三点的距离都等于 7,那么 P 到平面 ABC 的距离为______. 4. 如图所示,PA⊥平面 ABC,△ABC 中 BC⊥AC,则图中直角三角形的 个数为________. 5. 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BC=CC1,当底面 A1B1C1 满足条件 ________时,有 AB1⊥BC1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不 必考虑所有可能的情况). 6. P 为△ABC 所在平面外一点,O 为 P 在平面 ABC 内的射影. (1)若 P 到△ABC 三边距离相等,且 O 在△ABC 的内部,则 O 是△ABC 的________心;
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(2)若 PA⊥BC,PB⊥AC,则 O 是△ABC 的______心; (3)若 PA,PB,PC 与底面所成的角相等 ,则 O 是△ABC 的________心. 7. 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 B1C1、 B1B 的中点. 求证:CF⊥平面 EAB.

8. 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别是 AB、PC 的中点,PA=AD. 求证:(1)CD⊥PD; (2)EF⊥平面 PCD. 二、能 力提升 9. 线段 AB 在平面 α 的同侧,A、B 到 α 的距离分别为 3 和 5,则 AB 的中点到 α 的距离为 ________. 10.直线 a 和 b 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的两个不同平面内,使 a∥b 成立的条件是 ________.(只填序号) ①a 和 b 垂直于正方体的同一个面; ②a 和 b 在正方体两个相对的面内,且共面; ③a 和 b 平行于同一条棱; ④a 和 b 在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直. 11.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角是________; (2)直线 A1B 与平面 ABC1D1 所成的角是________; (3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角是________. 12.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是 AB 上一点,N 是 A1C 的中点,MN⊥平面 A1DC. 求证:(1)MN∥AD1; (2)M 是 AB 的中点. 三、探究与拓展 13. 如图所示, 在直三棱柱 A BC-A1B1C1 中, AC⊥BC, AC=BC=CC1, M、N 分别是 A1B、B1C1 的中点. (1)求证:MN⊥平面 A1BC; (2)求直线 BC1 和平面 A1BC 所成的角的大小.

答案
1.直角 2.① 3 3. 3 2 4.4 5.A1C1⊥B1C1(或∠A1C1B1=90° ) 6.(1)内 (2)垂 (3)外 7.证明 在平 面 B1BCC1 中, ∵E、F 分别是 B1C1、B 1B 的中点, ∴△BB1E≌△CBF, ∴∠B1BE=∠BCF, ∴∠BCF+∠EBC=90° ,∴CF⊥BE, 又 AB⊥平面 B1BCC1,CF?平面 B1BCC1, ∴AB⊥CF,AB∩BE=B, ∴CF⊥平面 EAB. 8.证明 (1)∵PA⊥底面 ABCD,
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∴CD⊥PA. 又矩形 ABCD 中,CD⊥AD,且 AD∩PA=A,∴CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PD. (2)取 PD 的中点 G,连结 AG,FG.又∵G、F 分别是 PD、PC 的中 点, 1 ∴GF 綊 CD, 2 ∴GF 綊 AE, ∴四边形 AEFG 是平行四边形,∴AG∥EF. ∵PA=AD,G 是 PD 的中点, ∴AG⊥PD,∴EF⊥PD, ∵CD⊥平面 PAD,AG?平面 PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.
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∵PD∩CD=D,∴EF⊥平面 PCD. 9.4 10.①②③ 11.(1)45° (2)30° (3)90° 12.证明
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(1)∵ADD1A1 为正方形,

∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1,∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD=D,∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC,∴MN∥AD1. (2)连结 ON, 在△A1DC 中, A1O=OD,A1N=NC. 1 1 ∴ON 綊 CD 綊 AB, 2 2 ∴ON∥AM. 又∵MN∥OA, ∴四边形 AMNO 为平行四边形, ∴ON=AM. 1 1 ∵ON= AB,∴AM= AB, 2 2 ∴M 是 AB 的中点. 13.(1)证明 如图所示,由已知 BC⊥AC,BC⊥CC1, 得 BC⊥平面 ACC1A1. 连结 AC1, 则 BC⊥AC1. 由已知,可知侧面 ACC1A1 是正方形,所以 A1C⊥AC1.又 BC∩A1C =C, 所以 AC1⊥平面 A1BC. 因为侧面 AB B1A1 是正方形,M 是 A1B 的中点,连结 AB1,则点 M 是 AB1 的中点. 又点 N 是 B1C1 的中点,则 MN 是△AB1C1 的中位线,所以 MN∥AC1. 故 MN⊥平面 A1BC. (2)解 如图所示,因为 AC1⊥平面 A1BC,设 AC1 与 A1C 相交于点 D,

连结 BD,则∠C1BD 为直线 BC1 和平面 A1BC 所成的角. 设 AC=BC=CC1=a,则 C1D= 2 a,BC1= 2a. 2

C1D 1 在 Rt△BDC1 中,sin ∠C1BD= = , BC1 2 所以∠C1BD=30° , 故直线 BC1 和平面 A1BC 所成的角为 30° .


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