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专题:对数函数知识点总结及类型题归纳


专题:对数函数知识点总结
1.对数函数的定义: 一般地,函数 y ? loga x ( 2. 对数函数的性质为 a>1
3

)叫做对数函数 .定义域是

0<a<1
3

2.5

2.5

2

2


-1

1.5

1.5

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8



-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: (0,+∞) 值域:R 过点(1,0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0

性 质

x ? (0,1) 时 y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

x ? (0,1) 时

y?0

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1,??) 时 y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1,??) 时 y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

在(0,+∞)上是增函数

王新敞
奎屯

新疆

在(0,+∞)上是减函数

王新敞
奎屯

新疆

x 思考:函数 y ? log a x 与函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的定义域、值域之间有什么关系?

___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数 y=ax 与 y=logax (a>0 且 a≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称 如:f(x)=2x,则 f-1(x)=log2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线

y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作 y=f-1(x) y=x 对称

函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线 y=x 对称

专题应用练习
一、求下列函数的定义域
(1) y ? log0.2 (4 ? x); ; (3) y ? log(2 x?1) (?x2 ? 2x ? 3) (5) y=lg (2) y ? loga (4) y ?

x ?1 (a ? 0, a ? 1). ;

log 2 (4 x ? 3)

1 x ?1

(6) y= log 3 x

1.y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ 2.y=

lg(8 ? x 2 ) 的定义域是_______________

3.求函数 y ? log 2 (2 x ? 1) 的定义域___________ 4.函数 y= log 1 (2 x ?1) 的定义域是
3

5.函数 y=log 2(32-4x)的定义域是

,值域是

.

6.函数 y ? log5? x (2 x ? 3) 的定义域____________ 7.求函数 y ? loga ( x ? x2 )(a ? 0, a ? 1) 的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域:
2 (1) y ? log2 ( x ? 3) ; (2) y ? log 2 (3 ? x ) ; (3) y ? loga ( x2 ? 4x ? 7) ( a ? 0 且 a ? 1 ) .

9.函数 f(x)= 10.设 f(x)=lg

1 ln( x

x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 )定义域

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为 2? x 2 x
| x ? 2 | ?1 的定义域为 log 2 ( x ? 1)
2

11.函数 f(x)=

12.函数 f(x)= 1g ( x
13.函数 f(x)=

? 2 x)

9 ? x2

的定义域为


?

1 ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 )的定义域为 x
2 2

14

y ? log

2

log log x 的定义域是

1. 设 f (x)=lg(ax2-2x+a), (1) 如果 f (x)的定义域是(-∞, +∞),求 a 的取值范围;

(2) 如果 f (x)的值域是(-∞, +∞),求 a 的取值范围. 15.已知函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 2ax ? 3)
2

(1)若函数的定义域为 R,求实数 a 的取值范围 (2)若函数的值域为 R,求实数 a 的取值范围 (3)若函数的定义域为 (?? ,1) ? (3,?? ) ,求实数 a 的值; (4)若函数的值域为 (?? ,?1] ,求实数 a 的值.
x 16.若函数 y ? f 2 的定义域为 ? ?1,0? ,则函数 y ? f ? log2 x ? 的定义域为

? ?

17.已知函数 f(2x)的定义域是[-1,1] ,求 f(log2x)的定义域. 18 若函数 y=lg(4-a·2x)的定义域为 R,则实数 a 的取值范围为 19 已知 x 满足不等式 (log2 x) 2 ? 7 log2 x ? 6 ? 0 ,函数 f ( x) ? (log2 4 x) ? (log4 2 x) 的值域是 20 求函数 y ? (log1 x) 2 ? log1 x ? 1 (1 ? x ? 4) 的值域。
2 2

21 已知函数 f(x)=log2 x ? 1 +log2(x-1)+log2(p-x).?(1)求 f(x)的定义域;?(2)求 f(x)的值域.
x ?1

? x ?1 ? x ?1 ? 0 ? ? 解:f(x)有意义时,有 ? x ? 1 ? 0 ?p ? x ? 0 ? ? ?

①, ②, ? ③,

由①、②得 x>1,由③得 x<p,因为函数的定义域为非空数集,故 p>1,f(x)的定义域是(1,p).? (2)f(x)=log2[(x+1)(p-x)]?=log2[-(x①当 1<
p ?1 ( p ? 1) 2 )2+ ] (1<x<p),? 2 4

p ?1 p ? 1 2 ( p ? 1) 2 ( p ? 1) 2 ) ? ? <p,即 p>3 时,? 0<-(x,? 2 4 4 2

p ? 1 2 ( p ? 1)2 ? ? ) ? ∴log2 ?? ( x ? ≤2log2(p+1)-2.? 2 4 ? ? ?
②当

p ? 1 2 ( p ? 1) ? ? p ?1 p ? 1 2 ( p ? 1)2 ) ? ) ? ? 2( p ? 1), ∴log2 ?? ( x ? ≤1,即 1<p≤3 时,?∵0<-(x<1+log2(p-1).? 2 4 2 2 4 ? ? ?
2

综合①②可知:?当 p>3 时,f(x)的值域是(-∞,2log2(p+1)-2];? 当 1<p≤3 时,函数 f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).

二、利用对数函数的性质,比较大小 例 1、比较下列各组数中两个数的大小:

(1) log 2 3.4 , log 2 3.8 ; (3) log7 5 , log6 7 ;
0.9

(2) log 0.5 1.8 , log 0.5 2.1 ; (4) log2 3 , log4 5 ,

3 2

1. 1.1 , log1.1 0.9 , log 0.7 0.8 的大小关系是____________ 2.已知 a2>b>a>1,则 m=logab,n=logba,p= logb 3.已知 logm5>logn5,试确定 m 和 n 的大小关系 4.已知 0<a<1,b>1,ab>1,则 loga 1 , log b, log 1 的大小关系是
b
a b

b 的大小关系是____________ a

b

5.已知 log b<log a<log c,比较 2 ,2 ,2 的大小关系.
1 2 1 2 1 2

b

a

c

6.设 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ,则 7. 8.

已知x ? ?1, d ? , 试比较a ? ? log d x ? ,b ? log d x 2 c ? log d ? log d x ?的大小。
2

已知x ? 1, d ? 1试比较a ? ? log d x ? ,b ? log d x 2的大小。
2

9.设 0 <x <1,a >0,且 a≠1,试比较| loga(1-x) |与| loga(1+x) |的大小。 10.已知函数 f ( x) ? lg x ,则 f ?

?1? ?, ?4?

?1? f ? ? , f (2) 的大小关系是______ ? 3?

三、解指、对数方程:
(1) 3
3 x ?5

? 27

(2) 2

2x

? 12 (3) log5 (3x) ? log5 (2 x ? 1) (4) lg x ?1 ? lg( x ?1)

1.已知 3a=5b=A,且 1 ? 1 =2,则 A 的值是
a b

2.已知 log7[log3(log2x)]=0,那么 x 2 等于
3.已知 log7[log3(log2x)]=0,那么 x 等于 4..若 x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则 5.若 f 10x ? x ,那么 f ?3? 等于
5 6. 已知 f ( x ) ? lg x ,则 f (2) ?
? 1 2

?

1

? ?

7. 已知 loga ( x2 ? 4) ? loga ( y 2 ?1) ? loga 5 ? loga (2xy ?1)(a ? 0,且a ? 1) ,求 log 8

y 的值. x

四、解不等式:
1. log5 (3x) ? log5 (2 x ? 1)

2. lg( x ? 1) ? 1 3.设 a , b 满足 0 ? a ? b ? 1 ,给出下列四个不等式: ① a ? a ,② b ? b ,③ a ? b ,④ b ? a ,其中正确 的不等式有 ..
a b a b a a b b

4.已知:(1) f ( x) ? loga x 在 [3, ??) 上恒有 | f ( x) |? 1 ,求实数 a 的取值范围。 5.已知函数 f ( x) ? x2 ? 3, g ( x) ? a(1 ? x) ,当 ?2 ? x ? 2 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。 6.求 m 的取值范围,使关于 x 的方程 (lg x) ? 2m lg x ? (m ? ) ? 0 有两个大于 1 的根.
2

1 4

(2008·全国)若 x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则
1 1 7.已知 0<a<1,b>1,ab>1,则 loga , log a b, log b 的大小关系是 b b

8.已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意 x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1 成立,试求 a 的取值范围 9.已知函数 f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞,? 1- 3 ]上是单调递减函数.求实数 a 的取值范围.? 10.若函数 y ? ? log2 ( x2 ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数, a 的取值范围 11.已知函数 f ( x) ? log2 ( x 2 ? ax ? 3a) 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是

12.若函数 f(x)= ?log (? x), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 1

?log 2 x, x ? 0, ? ? ?
2

? 2 x ?1 ? 1 , x ?1 , 13..设 函数 f ( x ) ? ? 若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是( x ≥1 , ?lg x,
14.设 a>0 且 a≠1,若函数 f (x)= a lg
( x 2 ?2 x ?3)



有最大值,试解不等式 log a ( x 2 ? 5x ? 7) >0

五、定点问题
1.若函数 y=loga(x+b) (a>0,且 a≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1) ,则
2.若函数 y=loga(x+b) (a>0,且 a≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1) ,则 3.函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? 1(a ? 0且a ? 1) 恒过定点 .

六、求对数的底数范围问题
1.(1)若 log a

4 ? 1 (a ? 0 且 a ? 1) ,求 a 的取值范围 5

2. (2)若 log(2a?3) (1 ? 4a) ? 2 ,求 a 的取值范围 3..若 log a

2 ? 1 (a ? 0 且 a ? 1) ,则 a 的取值范围________ 3
.

4.函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) 的定义域和值域都是 [0,1] ,则 a 的值为 5.若函数 f ( x) ? loga (a ? x) 在 [2,3] 上单调递减,则 a 的取值范围是 6.函数 y=log0.5(ax+a-1)在 x≥2 上单调减,求实数 a 的范围 7..已知 y= log a (2- a )在[0,1]上是 x 的减函数,求 a 的取值范围.
x

8.已知函数 y=log a (x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数,求 a 的取值范围.
2

9.已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意 x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1 成立, 试求 a 的取值范围.? 10.若函数 y ? loga (1 ? x) 在 [0,1) 上是增函数, a 的取值范围是 11.使 log a

1 ? 1 成立的 a 的取值范围是 2

12.若定义在(-1,0)内的函数 f (x)=log2a(x+1)满足 f (x)>0,则 a 的取值范围是

七、最值问题
1.函数 y=log ax 在[2, 10]上的最大值与最小值的差为 1,则常数 a= 2.求函数 y ? log 1 x ? log 1 x ? 5
4 4 2

. .。

x ?[2, 4] 的最小值

,最大值

3.设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 1 ,则 a=
2

4.函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a=
5.已知 0 ? x ? 2 ,则函数 y ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 4 的最大值是
2

,最小值是
2

.

6.已知 f ( x) ? 1 ? log2 x,(1 ? x ? 4) ,求函数 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的最大值与最小值 7.已知 x 满足 2(log0.5 x)2 ? 7log0.5 x ? 3 ? 0 ,求函数 f ( x) ? (log 2 8.
2

x x )(log 2 ) 的最值。 2 4

设x ? 0, y ? 0, 且x ? 2 y ? 1, 求函数u ? log 1 (8 xy ? 4 y 2 ? 1)的值域.
(x+1)

9.函数 f (x)=ax+log a
x

在[0, 1]上的最大值与最小值之和为 a,则 a=
x

10.求函数 y ? log1 (1 ? 3 ) ? log2 (3 ? ) 的最小值
2

1 3

11.函数

在区间

上的最大值比最小值大 2,则实数

=___.

八、单调性
1.讨论函数 y ? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) 的奇偶性与单调性 2.函数 y ? lg(2 x ? x2 ) 的定义域是 3.函数 f ( x) ? ln( x2 ? 4x ? 3) 的递减区间是 4.函数 y=log1/3(x2-3x)的增区间是________ 5.证明函数 f ( x) ? log2 ( x 2 ? 1) 在 (0,??) 上是增函数
王新敞
奎屯 新疆

,值域是 .

,单调增区间是

6.函数 f ( x) ? log2 ( x 2 ? 1) 在 (??,0) 上是减函数还是增函数? 7.求函数 y ? log1 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的单调区间,并用单调定义给予证明
2
2

.8.求 y= log 0.3 ( x -2x)的单调递减区间 9..求函数 y= log 2 ( x -4x)的单调递增区间 10.函数 y=log 1 (x2-3x+2)的递增区间是
2

2

王新敞
奎屯

新疆

?

11.函数 y ? lg(2 x ? x 2 ) 的值域是

,单调增区间是



12.若函数 y ? log2 ( x2 ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是减函数,求实数 a 的取值范围 1.证明函数 y= log 1 ( x +1)在(0,+∞)上是减函数;
2
2

2.已知函数 f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞,? 1- 3 ]上是单调递减函数.,求实数 a 的取值范围.? 3.已知函数 f ( x) ? lg(4 ? k ? 2 ) , (其中 k 实数)
x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若 f ( x) 在 ? ??,2? 上有意义,试求实数 k 的取值范围 小结:复合函数的单调性

f ( x), g ( x) 的单调相同, y ? f ( g ( x)) 为增函数,否则为减函数

王新敞
奎屯

新疆

九、奇偶性

1.函数 f ? x ? ? ln

?

1 ? x2 ? x 的奇偶性是

?



2.若函数 f ? x ? 是奇函数,且 x ? 0 时, f ? x ? ? lg ? x ?1? ,则当 x ? 0 时, f ? x ? ? 3.偶函数 f ? x ? 在 ? 0, 2? 内单调递减, a ? f ? ?1? , b ? f ? log 0.5

? ?

1? ? , c ? f ? lg 0.5? ,则 a, b, c 之间的大小关系 4?
1 3

4.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 [0,??) 上为增函数, f ( ) ? 0 ,则不等式 f (log1 x) ? 0 的解集为
8

5.已知函数 f ( x) ? lg

1? x 1 , 若 f ( a ) ? , 则 f ( ?a ) ? 1? x 2
,当

.

6.已知奇函数

满足

时,函数

,则

=____.

7.

已知f ( x) ? lg( x ? x 2 ? 1)(1)判断f(x)奇偶性(2)判断f ( x)的单调性

8.知函数 f(x)=loga x ? b (a>0,且 a≠1,b>0)(1)求 f(x)定义域; (2)讨论 f(x)奇偶性; (3)讨论 f(x)
x ?b

单调性 9.a,b∈R,且 a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)= lg 1 ? ax 是奇函数
1 ? 2x

1)求 b 取值范围 2)讨论函数 f(x)单调性.? 10.设 a,b∈R,且 a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)= lg 1 ? ax 是奇函数.?
1 ? 2x

(1) 求 b 的取值范围;?(2)讨论函数 f(x)的单调性.?

11.已知函数 f ( x) ? loga (1 ? x), g ( x) ? loga (1 ? x) 其中 (a ? 0 且a ? 1 ) ,设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . (1)求函数 h( x) 的定义域,判断 h( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)若 f (3) ? 2 ,求使 h( x) ? 0 成立的 x 的集合.

十、对称问题与解析式

1. 已 知 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 是 ? 0, ??? , 且 对 任 意 的 x1 , x2 ? 0 满 足 f ?

? x1 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 当 x ? 1 时 有 x ? 2?


f ? x ? ? 0 ,请你写出一个满足上述条件的函数 f ? x ? ?
2.已知函数 f ? x ? 满足 f x ? 3 ? log a
2

?

?

x2 ? a ? 0, a ? 1? 6 ? x2

(1)求 f ? x ? 的解析式; (2)判断 f ? x ? 的奇偶性; (3)讨论 f ? x ? 的单调性; (4)解不等式 f ? x ? ? loga ? 2x ? 3. 已 知 定 义 域 为 (??,0) ? (0, ??) 的 函 数 y ? f ( x) 满 足 条 件 : 对 于 定 义 域 内 任 意 x1 , x2 都 有

f( x 1 x 2 )?

f( 1x ?)

f( 2 x )

1 .(1)求证: f ( ) ? ? f ( x) ,且 f ( x) 是偶函数;(2)请写出一个满足上述条件的函数. x

5.已知函数 f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数 y=g(x)图象上任意一点 P 关于原点对称点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象. (1)写出函数 g(x)的解析式;?(2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立,求 m 的取值范围. ?
解 (1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点,?则 Q(-x,-y)是点 P 关于原点的对称点,?
1? x

∵Q(-x,-y)在 f(x)的图象上,?∴-y=loga(-x+1) ,即 y=g(x)=-loga(1-x).?(2)f(x)+g(x)≥m,即 loga x ? 1 ≥m. ? 设 F(x)=loga 1 ? x ,x∈[0,1) ,?由题意知,只要 F(x)min≥m 即可.?
1? x

∵F(x)在[0,1)上是增函数,?∴F(x)min=F(0)=0.故 m≤0 即为所求

1)证明 设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,? 由题设知 x1>1,x2>1,则点 A、B 的纵坐标分别为 log8x1、log8x2.? 因为 A、B 在过点 O 的直线上,所以 由于 log2x1=
log 8 x1 log 8 x2 点 C、D 的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),? ? x1 x2

3log 8 x2 log x 3 log8 x1 log x log 8 x1 =3log8x1,log2x2=3log8x2,? OC 的斜率为 k1= 2 1 ? ,? OD 的斜率为 k2 ? 2 2 ? , 由此可知 x2 x2 x1 x1 log 8 2

k1=k2,即 O、C、D 在同一直线上.? (2)解 由于 BC 平行于 x 轴,知 log2x1=log8x2,即得 log2x1= log2x2,x2=x31,?
1 3

代入 x2log8x1=x1log8x2,得 x31log8x1=3x1log8x1,由于 x1>1,知 log8x1≠0,故 x31=3x1,?又因 x1>1,解得 x1= 3 ,于是点 A 的 坐标为( 3 ,log8 3 ).

6.已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、 B 两点, 分别过 A、 B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2 的图象交于 C、D 两点.? (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上;?(2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. 7.设函数 ① 求 且 的解析式,定义域;② 讨论 . 的单调性,并求 的值域.

十一、对数函数图象
1.函数 y ? log3 ( x ? 2) 的图象是由函数 y ? log3 x 的图象 2. 函数 y ? log3 ( x ? 2) ? 3 的图象是由函数 y ? log3 x 的图象 3. 函数 y ? log a ( x ? b) ? c ( a ? 0, a ? 1 )的图象是由函数 y ? log a x 的图象 当 b ? 0, c ? 0 时向 当 b ? 0, c ? 0 时向 当 b ? 0, c ? 0 时向 当 b ? 0, c ? 0 时向 __ __ __ __ 单位得到; 单位得到; 单位得到; 单位得到。 得到。 得到。

尝试总结:平移变换 y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) ? b 的法则___________________________ ____________________________________________________________________
1.将函数 y=2x 的图象向左平移 1 个单位得到 C1,将 C1 向上平移 1 个单位得到 C2,而 C3 与 C2 关于直线 y=x 对称, 则 C3 对应的函数解析式是 2.函数的图像与对数函数 y ? log3 x 的图像的关系,并画出它们的示意图,由图像写出它的单调区间: (1) y ? log3 | x | ; (2) y ?| log3 x | ; (3) y ? log3 (? x) ;(4) y ? ? log3 x 1.已知 x1 是方程 x+lgx=3 的根,x2 是方程 x+10x=3 的根求函数 f (x)= log 2 | x 2 ? x ? 12 | 的单调区间

2.如图,曲线是对数函数 则相应于曲线 的

的图象,已知 值依次为( ).

的取值



3.方程 loga x ? a x (a ? 1) 的解的个数为
2 4.已知关于 的方程 ..x . ...lg x ? 2a lg x ? 2 ? a ? 0 的两根均大于 1,则实数 a 的取值范围是

5.方程 log2 | x |? ? x2 的实根个数是

个.则 x1+x2=

6.已知 f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,比较 f(x)与 g(x)的大小 7.设 a>0 且 a≠1,求证:方程 a ? a
x ?x

-x=2a 的根不在区间[-1,1]内

8.若

,且

,则

满足的关系式是 (



9.若

是偶函数,则

的图象是

(

).

(A)关于

轴对称(B)关于

轴对称(C)关于原点对称

(D)关于直线

对称

10 方程

实数解所在的区间是 ( ). (A)

(B)

(C)

(D)

11.已知 x、y 为实数,满足(log4y)2= log 1 x ,试求
2

x 的最大值及相应的 x、y 的值. y

十二、附加内容(补充)
本节主要介绍以下几个问题

从y ? f ( x)中解出x ? 定义域) ?求原函数值域(反函数 二、反函数的求法 ? x与y互换,加注定义域 ?
一、反函数的定义 ?

等价条件: x, y一一对应 ? ? 三、反函数存在的条件 ?在定义域内单调一定存 在反函数

原函数与反函数定义域 与值域对调 ? ? ?1 ?1 f [ f ( y )] ? y, f [ f ( x)] ? x ? 四、反函数的性质 ? 原函数与反函数的图象 关于直线y ? x对称 ? ? ,反函数与之具有相同 的单调性 ?原函数在定义域内单调

y ? 2x

用y表示x x、y互换 x ? log 2 y y ? log 2 x ?? ???

x ? R, y ? ? 0, ???
y=ax 及 y=logax 互为反函数 ,反函数的定义

y ? R, x ? ? 0, ???

一般的,如果 y 是 x 的一个函数(y=f(x)),另一方面,x 也是 y 的函数(x=g(y)),将此函数称作函数 y=f(x)的反函数。一
-1 -1 般仍用 x 表示自变量,y 表示函数值,这样 y=f(x)的反函数记作 y=f (x),y=f (x)与 y=f(x)互为反函数

y=ax 与 y=logax 互为反函数 注意:f-1(x)与[f(x)]-1 不同,前者表示反函数,后者表示 f(x)的倒数

求函数 y=3x+6 的反函数 解:由已知:x=y/3-2,这样 y=3x+6 的反函数为 y=x/3-2 Y=ax 与 y=logax ({x|x>0})互为反函数(由 y=ax 中解出 x,求出原函数的值域,为反函数的定义域 二,反函数的求法步骤 1、从 y=f(x)中解出 x; 2、求出原函数的值域即为反函数的定义域; 3,x、y 互换并加注定义域即为所求

反函数存在的条件 y 是 x 的函数,要求每个 x 对应惟一一个 y; 的等价条件是该函数的 x 与 y 一一对应 y=ax 在定义域内单调,它存在反函数;一般的,定义域内单调一定有 x,y 一一对应,故:一个函数在定义域内 单调,则它一定存在反函数 思考:存在反函数,是否一定在定义域内单调?(不一定,如 y=1/x) x 是 y 的函数,要求每个 y 对应惟一一个 x; 所以:反函数存在

反函数的简单性质 1、原函数与反函数的定义域与值域对调 2、f[f-1(y)]=y,f-1[f(x)]=x (由于 x 与 y 一一对应)

3、原函数与反函数的图象关于直线 y=x 对称。从而,原函数在定义域内单调,反函数也单调,而且与原函数具有 相同的单调性

1.求出函数 y=log2 1 ? x (-1<x<1)的反函数

1? x
y

2 ?1 y 1? x (y∈R) 解:2 = ,x= y
1? x

2 ?1

反函数为:y=

2x ?1 2x ?1

(X∈R)

x 2 ? 25 (x≤-5)的反函数(答:f-1(x)= x 2 ? 2x ? 26 (x≥1) x?a ? x?5 f ?1 ( x) ? 3..若函数 f(x)= 的反函数为 bx ? c 2 x ? 1 求常数 a,b,c 的值(答:a=5,b=2,c=1)
2.求函数 y=1+ 4.已知 y=x2-2ax+3 在 ?1,??? 上存在反函数 ⑵a=1 时,y=x2-2x+3≥2,x=

⑴求实数 a 的范围;⑵求 a 取得最值时相应的反函数解:⑴a≤1

1?

y?2

故反函数为 f-1(x)=1+ x ? 2 (x≥2)

5.已知函数 y=-

-1 -1 x 的反函数是 f (x) 求 f (-1)

-1 6.若函数 f(x)的图象过点(1,2) ,则 f (x)的图象一定经过点_________

7.若点(1,2)既在函数 y=

a +b,又在其反函数的图象上,求实数 a,b 的值 x

8.已知 f ( x) ? log (a x ? 1)(a ? 0,且a ? 1) , (1)求其定义域; (2)解方程 f (2 x) ? f ?1 ( x) a


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