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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第八章 第七节空间坐标系、空间向量的概念及运算 理


第七节 空间坐标系、空间向量的概念及运算 1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. 2.会推导空间两点间的距离公式. 3.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及 其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 5. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示, 能运用向量的数量积判断向量 的共线与垂直. 知识梳理 1.空间直角坐标系及有关概念. (1)空间直角坐标系:以空间一点 O 为原点,建立三条两两垂直的数轴:x 轴、y 轴、z 轴.这时建立了空间直角坐标系 Oxyz,其中点 O 叫做________.x 轴,y 轴,z 轴叫做 ________.通过每两个坐标轴的平面叫做________. (2)右手直角坐标系的含义是:一般是将 x 轴和 y 轴放置在水平面上,那么 z 轴就垂直 于水平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四 指先指向________正方向,然后让四指沿握拳方向旋转 90°指向 y 轴正方向,此时大拇指 的指向即为________正向,也称这样的坐标系为右手系. (3)空间一点 M 的坐标为有序实数组(x,y,z),记作 M(x,y,z),其中 x 叫做点 M 的 ________,y 叫做点 M 的________,z 叫做点 M 的________. 答案:1.(1)原点 坐标轴 坐标平面 (2)x 轴 z 轴 (3)横坐标 纵坐标 竖坐标 2.空间两点间的距离公式. 设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=________________. 答案: (x1-x2) +(y1-y2)+(z1-z2) 2 2 3.空间向量的概念及运算. 空间向量的概念及运算同平面向量基本相同.加减运算遵循______________________, 数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算________; 坐标运算与平面向量 的坐标运算类似,仅多出了一个竖坐标. 答案: 三角形法则和平行四边形法则 相同 4.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理. (1)共线向量定理. 对 空 间 任意 两 个向 量 a , b(b≠0), a∥b 的充要 条 件 是存 在 唯一 的 实数 λ ,使 ____________________. → → 推论 如图所示,点 P 在直线 l 上的充要条件是:OP=OA+ta, (*) 第 1 页 共 5 页 → → 其中 a 叫直线 l 的方向向量, t∈R, 在 l 上取AB=a, 则 (*) 可化为OP=________________ → → → 或OP=(1-t)OA+tOB. (2)共面向量定理的向量表达式为: p=________________________,其中 x,y∈R,a,b 为不共线的向量.推论的表达式 → → → → → → → 为MP=xMA+yMB或对空间任意一点 O 有, OP=________________________或OP=xOM+yOA+ → zOB,其中 x+y+z=______. (3)空间向量基本定理. 如果向量 e1,e2,e3 是不共面的向量,a 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数 λ 1, λ 2,λ 3,使得 a=________________, 把 e1,e2,e3 叫做空间的一个基底. → → 答案: (1)a=λ b OA+tOB → → → (2)xa+yb OM+xMA+yMB 1 5.空间向

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