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【精选】高中数学北师大版选修2-2第3章《导数的实际应用》(第3课时)word教案-数学

数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 第三课时 一、教学目标: 导数的实际应用(三) 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题 中的作用; 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。 二、教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称 为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工 具.这一节,我们利用导数,解决一些生活中的优化问题. (二)、新课探究 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题, 主要有以下几个方面: 1、与几何有关的最值问题; 2、与物理学有关的最值问题; 3、与利润及其成本有关的最值问题; 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适 当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即 核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使 问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路: 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 建立数学模型 优化问题 用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题 (三)、典例分析 例 1、磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将 其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角 分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可 分别记录数据 0 或 1,这个基本单元通常被称为比特(bit)。 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁道 长度不得小于 n 。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比 特数。 问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形 区域. (1)是不是 r 越小,磁盘的存储量越大?(2) r 为多少时,磁盘具有最大存 储量(最外面的磁道不存储任何信息)? 解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于 r 与 R 之间,由于磁道之间的宽度必需大于 m ,且最外 面的磁道不存储任何信息,故磁道数最多可达 R?r 。由于每条磁道上的比特数相 m 同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达 2? r 。所以,磁盘总存储量 n f (r ) ? R ? r 2? r 2? ? r(R ? r) × m n mn (1)它是一个关于 r 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 r 越小, 磁盘的存储量越大. 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 (2)为求 f (r ) 的最大值,计算 f ?(r ) ? 0 . f ?(r ) ? 令 f ?(r ) ? 0 ,解得 r ? 因此 r ? 2? ? R ? 2r ? mn R R R 当 r ? 时, f ?(r ) ? 0 ;当 r ? 时, f ?(r ) ? 0 . 2 2 2 R 2? R 2 时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 2 mn 4 例 2、汽油的使用效率何时最高 我们知道,汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h)之间 有一定的关系,汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数.根据你的生活经验,思考下 面两个问题: (1)是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大? (2)“汽油的使用率最高”的含义是什么? 分析:研究汽油的使用效率(单位:L/m)就是研究秋游消耗量与汽车行驶路 程的比值.如果用 G 表示每千米平均的汽油消耗量,那么 G ? w ,其中, w 表示汽 s 油消耗量(单位:L), s 表示汽油行驶的路程(单位:km).这样,求“每千米路 程的汽油消耗量最少”,就是求 G 的最小值的问题. 通过大量的统计数据,并对数据进行分析、研究,人们发现,汽车在行驶过 程中,汽油平均消耗率 g (即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平 均速度 v (单位:km/h)之间有如图所示的函数关系 g ? f ? v ? . 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题.因此,我们首先需要将问题 转化为汽油平均消耗率 g (即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平 均速度 v (单位:km/h)之间关系的问题,然后利用图像中的数据信息,解决汽油 使用效率最高的问题. 解:因为 w w g G? ? t ? s s v t g g 的最小值.从图象上看, 表示经过原点与曲线上 v v 这样,问题就转化为求 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 点的直线的斜率.进一步发现,当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速 度约为 90 km / h . 因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率最高,即每千米的汽油 消耗量最小,此时的车速约为 90 km / h .