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广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高考模拟考试理科数学试卷(8)

广东省汕头市澄海凤翔中学 2015 届高考模拟考试(8)

理科数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、已知集合 ? ? ? x 2 x ? 3 ? 1? ,集合 ? ? x ? x ? 1?? x ? 3? ? 0 ,则 ? ? ? ? ( A.? B.? C. ? x ?1 ? x ? 2? ) C . ?1 ? i

?

?



D. ? x x ? 3?

2、已知 z 是复数, i 是虚数单位,若 z ? i ? 1 ? i ,则 z ? ( A . 1? i D. ?1 ? i B . 1? i

3、随机变量 ? 服从正态分布 ? ?3, 4? ,若 ? ?? ? 2a ? 3? ? ? ?? ? a ? 2? ,则 a 的值是 (
7 A. 3

) B.
4 3

C.3

D.4

4、一个几何体的三视图如图,正视图和侧视图都是由一个半圆 和一个边长为 2 的正方形组成, 俯视图是一个圆, 则这个几何体 的表面积是(
5? A.


6? B. 7? C. 9? D.

5、在右图所示的程序框图中,输出的 i 和 s 的值分别是( A. 3 , 21 C. 4 , 21 B. 3 , 22 D. 4 , 22



6、设 f ? x ? 是定义在 R 上的周期为 3 的周期 函数,如图表示该函数在区间 ? ?2,1? 上的图 象,则 f ? 2014? ? f ? 2015? ? (
3 A.
2 B.


1 C.

0 D.

? ? ? ? 7、若平面向量 a ? ? ?1, 2? 与 b 的夹角是 180? ,且 b ? 3 5 ,则 b 的坐

标是( A.? ?3,6?

) B.? 3, ?6? C.? ?6,3? D.? 6, ?3?

8、对于任意正整数 n ,定义“ n !! ”如下: 当 n 是偶数时, n!! ? n ? ? n ? 2? ? ? n ? 4? ??????6 ? 4 ? 2 ,

当 n 是奇数时, n!! ? n ? ? n ? 2? ? ? n ? 4? ??????5 ? 3?1 , 且有 n! ? n ? ? n ?1? ? ? n ? 2? ??????3? 2 ?1. 则如下四个命题: ① ? 2015!!? ? ? 2016!!? ? 2016!;② 2016!! ? 21008 ?1008! ; ③ 2015!! 的个位数是 5 ;④ 2014!!的个位数是 0 . 其中正确的命题有( A. 1 个 ) B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

二、填空题(本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题(9~13 题) 9、曲线 y ? x ? sin x 在点 ? 0, 0 ? 处的切线方程是 10、双曲线 C :
2

. .

x2 y 2 ? ? 1 的离心率是 9 16

11、 ? x ? 1 dx ?
0



?2 x ? y ? 5 ? 12、 某所学校计划招聘男教师 x 名, 女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件 ? x ? y ? 2 , ?x ? 6 ?

则该校招聘的教师最多是

名.

13、已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? ,在 U 中任取四个元素组成的集合记为

? ? ?a1, a2 , a3 , a4? ,余下的四个元素组成的集合记为 ?U ? ? ?b1, b2 , b3 , b4 ? ,
a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ,则集合 ? 的取法共有
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)
? ? x ? 3t 14、 (坐标系与参数方程选做题)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,则直 y ? t ? 1 ? ?

种.

线 l 的倾斜角是



?D//?C , 15、 (几何证明选讲选做题) 如图, 在梯形 ?? CD 中,
?D ? 2 , ? C ? 5 ,点 ? 、 F 分别在 ?? 、 CD 上,且 ?F//?D ,



?? 3 ? ,则 ? F 的长是 ?? 4



三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤. ) 16、 (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? cos x ? 3 sin x ( x ? R ) .

?1? 求函数 f ? x ? 在区间 ? ?0,
?

??
2? ?

上的值域;

? 若 f ??? ? 2 ? 记 ???C 内角 ? ,? ,C 的对边分别为 a ,b ,c , ?

??

3 且a ? b, ? ? 1, 2 3?

求 sin ? 的值.

17、 (本小题满分 12 分)甲,乙,丙三人参加某次招聘会,假设甲能被聘用的概 2 6 率是 ,甲,丙两人同时不能被聘用的概率是 ,乙,丙两人同时能被聘用的概 5 25 3 率是 ,且三人各自能否被聘用相互独立. 10 ?1? 求乙,丙两人各自能被聘用的概率;

? 2 ? 设 ? 表示甲,乙,丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值,
求 ? 的分布列与均值(数学期望) .

18、 (本小题满分 14 分) 如图, 三棱锥 C ? ??D 中,?? ? ?D ? ?D ? ?C ? CD ? 2 , ?? ?Q ? 为 ? D 的中点, ???C ? 120? , Q 为 ?? 上一点, ? ? 2. 且 ? 为 ? C 上一点, ?C Q? ?1? 求证: ?Q// 平面 ? CD ;

? 2 ? 求证: ?? ? 平面 ?? D ; ? 3? 求 ?? 与平面 ? CD 所成角的正弦值.
19、 (本小题满分 14 分)数列 ?an ? 、 ?bn ? 的每一项 都是正数, a1 ? 8 , b1 ? 16 ,且 an 、 bn 、 an ?1 成等差数列, bn 、 an ?1 、 bn ?1 成等比数 列, n ? 1 , 2 , 3 , ??? . ?1? 求 a2 、 b2 的值;

? 2 ? 求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式;
? 3? 证明:对一切正整数 n ,有
1 1 1 1 2 ? ? ? ??? ? ? . a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7

20、 (本小题满分 14 分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 ? :

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

? 1 3? 3, ( a ? b ? 0 )过点 ? ? ,离心率为 ,过直线 l : x ? 4 上一点 ? 引椭圆 ? 的 ? ? ? 2 2 ? ? 两条切线,切点分别是 ? 、 ? . ?1? 求椭圆 ? 的方程;

? 2 ? 若在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上的任一点 ? ? x0 , y0 ? 处的切线方程是 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1 .求证:直线 ?? 恒过定点 C ,并求出定点 C 的坐标; a2 b ? 3? 是否存在实数 ? ,使得 ?C ? ?C ? ? ?C ? ?C 恒成立?(点 C 为直线 ?? 恒过

的定点)若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由. 21、 (本小题满分14分)已知函数 f ? x ? ? ln x , g ? x ? ? ? 2 ? a ?? x ?1? ? 2 f ? x ? .

?1? 当 a ? 1 时,求函数 g ? x ? 的单调区间; ? 2 ? 设 ?? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? 是函数 y ? f ? x? 图象上任意不同的两点,线段 ?? 的中 点为 C ? x0 , y0 ? ,直线 ?? 的斜率为 k ,证明: k ? f ? ? x0 ? ;
,对任意 x1 , x2 ? ? 0, 2? , x1 ? x2 ,都有 ? 3? 设 F ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 ( b ? 0 )
b

F ? x1 ? ? F ? x2 ? ? ?1 ,求实数 b 的取值范围. x1 ? x2

参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. ) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 D 6 A 7 B 8 D

二、填空题(本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题(9~13 题) 9、 2 x ? y ? 0 10、
5 3 23 7

11、 1

12、 10

13、 31

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,两题都做记第一题的得分) 14、 30? 15、

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤. )
?1 ? 3 ?? ? 16、解: ?1? f ? x ? ? 2 ? x ? ? ???????2 分 ? 2 cos x ? 2 sin x ? ? ? 2 cos ? 3? ? ? ?
? ?? ? x ? ?0, ? ? 2?

? ? x? ?? , ? ? 3 ?3 6 ?

?

? 5?

??

3 ?? 1 ? ? cos ? x ? ? ? 2 3? 2 ?

?? ? ?函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上的值域是 ? ? ? ? 3,1? ???????5 分 ? 2?

? 2 ? 由 ?1? 知: f ? ???
?
1 2

??

? ? 2 cos ? ? 1 3?

? cos ? ? ???????????????7 分
?0? ???

? sin ? ?

3 ???????????????9 分 2 a b 由正弦定理得: ???????????????10 分 ? sin ? sin ?

? sin ? ?

b sin ? ? a

b?

3 2 ? 1 ????????12 分 3 b 2

17、解: ?1? 记甲,乙,丙各自能被聘用的事件分别为 A1 , A2 , A3 ?????1 分

2 ? ? P ? A1 ? ? 5 ? 6 ? 由已知 A1 , A2 , A3 相互独立,且满足 ? ? ?1 ? P ? A1 ? ? ?? ?1 ? P ? A3 ? ? ? ? 25 ?????3 分 ? 3 ? ? P ? A2 ? P ? A3 ? ? 10 ?
1 3 , P ? A3 ? ? ????????5 分 2 5 1 3 所以乙,丙各自能被聘用的概率分别为 , ????????6 分 2 5

解得 P ? A2 ? ?

? 2 ? ? 的可能取值为 1,3????????7 分
因为 P ?? ? 3? ? P ? A1 A2 A3 ? ? P A1 A2 A3

?

?

? P ? A1 ? P ? A2 ? P ? A3 ? ? ? ?1 ? P ? A1 ? ? ?? ?1 ? P ? A2 ? ? ?? ?1 ? P ? A3 ? ? ?

2 1 3 3 1 2 6 ????????9 分 ? ? ? ? ? ? ? 5 2 5 5 2 5 25

所以 P ?? ? 1? ? 1 ? P ?? ? 3? ? 1 ? 所以 ? 的分布列为

6 19 ????????10 分 ? 25 25

?
P

1

3
6 25

19 25

????????11 分 所以 E? ? 1?
19 6 37 ? 3 ? ? ????????12 分 25 25 25

18、 ?1? 证明:?

AP AQ ? PC QO

? PQ //CO ?????1 分

又? PQ ? 平面 BCD , CO ? 平面 BCD ?????2 分
? PQ // 平面 BCD

?????3 分

? 2 ? 证明:由等边 ?ABD ,等边 ?BCD , O 为 BD 的中点得: BD ? AO, BD ? OC
? AO ? OC ? O ? BD ? 平面 AOC ?????4 分 又? PO ? 平面 AOC ? BD ? PO ?????5 分

在 ?AOC 中, ?AOC ? 120? , AO ? OC ? 3 ,
? ?OAC ? 30? , AC ? OA2 ? OC 2 ? 2 ? OA ? OC ? cos120? ? 3 ?????6 分

AP ?2 PC ? AP ? 2 在 ?APO 中,由余弦定理得: PO ? 1

又?

?????7 分

? PO 2 ? AO 2 ? AP 2 ? PO ? AO

?????8 分

又 AO ? BD ? O
? PO ⊥平面 ABD

?????9 分

? 3? 方法一:过 P 作 PH ? OC 于 H ,连结 BH
由 ? 2 ? 知 BD ? 平面 AOC , BD ? 平面 BCD
? 平面 BCD ? 平面 AOC , ?????10 分 ? PH ? 平面 BCD

??PBH 为 BP 与平面 BCD 所成角

?????11 分

在 Rt ?CPH 中, CP ? 1, ?PCH ? 30? , ?PHC ? 90?
? PH ? 1 2

?????12 分

在 Rt ?PBO 中, BO ? PO ? 1, ?POB ? 90?

? PB ? 2

?????13 分

1 PH 2 在 Rt ?PBH 中, sin ?PBH ? ? 2 ? PB 4 2
? BP 与平面 BCD 所成角的正弦值为

2 ?????14 分 4 3 3 , ), P(0, 0,1) 2 2

方法二:建立如图的空间直角坐标系,则 B(1, 0, 0), D(?1, 0, 0), C (0, ???10 分
??? ? ??? ? ? 3 3 ??? ? BP ? (?1, 0,1), CB ? (1, ? , ? ), BD ? (?2, 0, 0) 2 2

??11 分
? 设平面 BCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

? ??? ? ? 3 3 ? y? z ?0 ?n ? CB ? 0 ?x ? 则 ? ? ??? ? ? ? 2 2 ?n ? BD ? 0 ??2 x ? 0 ? ? ? 取 n ? (0, ? 3,1) ?12 分
??? ? ? ??? ? ? | BP ? n | 2 ? ? ? 设 BP 与平面 BCD 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? BP, n ?|? ??? 4 | BP | ? | n |
? BP 与平面 BCD 所成角的正弦值为

2 ?????14 分 4

19、 ?1? 解:由 2b1 ? a1 ? a2 ,可得 a2 ? 2b1 ? a1 ? 24 ?????????????1 分
2 ? b1b2 ,可得 b2 ? 由 a2
2 a2 ? 36 ??????????????????2 分 b1

? 2 ? 解:因为 a

n

、 bn 、 an ?1 成等差数列

所以 2bn ? an ? an ?1 ?①???????3 分

因为 bn 、 an ?1 、 bn ?1 成等比数列
2 所以 an ?1 ? bn bn ?1

因为数列 ?an ? 、 ?bn ? 的每一项都是正数 所以 an ?1 ? bn bn ?1 ?②?????????????4 分 于是当 n ? 2 时, an ? bn ?1bn ?③ ??????????????????5 分 将②、③代入①式,可得 2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 因此数列

? b ? 是首项为 4,公差为 2 的等差数列
n
2

所以 bn ? b1 ? ? n ? 1? d ? 2n ? 2 于是 bn ? 4 ? n ? 1? ???????????????????6 分 由③式,可得当 n ? 2 时, an ? bn ?1bn ? 4n 2 ? 4 ? n ? 1? ? 4n ? n ? 1? ???????7 分
2

当 n ? 1 时, a1 ? 8 ,满足该式子 所以对一切正整数 n ,都有 an ? 4n ? n ? 1? ?????8 分
1 1 ? ? ?L ? 3? 证明:由 ? 2 ? 可知,所证明的不等式为 1 7 23 47 ? 1 2 ? ???9 4n ? 4n ? 1 7
2

分 方法一:首先证明 因为
1 2? 1 1 ? ? ? ? ?(n ? 2 ) 4n ? 4n ? 1 7 ? n n ? 1 ?
2

1 2? 1 1 ? 1 2 ? ? ? ? 2 ? 7 n 2 ? 7 n ? 8n 2 ? 8n ? 2 ?? 2 4n ? 4n ? 1 7 ? n n ? 1 ? 4n ? 4n ? 1 7 n ? 7 n
2

? n 2 ? n ? 2 ? 0 ? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 0

所以当 n ? 2 时,
1 1 1 1 2 ?? 1 1 ? 1 ?? 1 2 1 2 ?1 ? ?L ? 2 ? ? ?? ? ? ? L ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 分 7 23 4 n ? 4 n ? 1 7 7 ?? 2 3 ? ? n n ? 1 ?? 7 7 2 7

当 n ? 1 时, ? ?????????????????13 分 综上所述,对一切正整数 n ,有 方法二:
1 1 1 1 2 ? ? ? ... ? ? ???14 分 a1 ? 1 a 2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7

1 7

2 7

1 1 1 1? 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? 4n ? 4n ? 1 4n ? 4n ? 3 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 4 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?
2

当 n ? 3 时, ?

1 7

1 1 ?L ? 2 23 4n ? 4n ? 1
? 1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L ? ? ? ? ??? ? 7 23 4 ? 5 9 7 11 2 n ? 3 2 n ? 1 2 n ? 1 2 n ? 3 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?

?

1 1 1?1 1? 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????12 分 7 23 4 ? 5 7 ? 7 14 14 7

当 n ? 1 时, ? ;当 n ? 2 时, ? 综上所述,对一切正整数 n ,有 方法三:

1 7

2 7

1 7

1 1 1 2 ? ? ? ???????????13 分 23 7 7 7

1 1 1 1 2 ? ? ? ... ? ? ???14 分 a1 ? 1 a 2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7

1 1 1 1? 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ?. 4n ? 4n ? 1 4n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
2

当 n ? 4 时, ?
?

1 7

1 1 ?L ? 2 23 4n ? 4n ? 1

1 1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ??? ?? 7 23 47 2 ?? 7 9 ? ? 9 11 ? ? 2n ? 3 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ?????????????????12 分 7 23 47 14 7

当 n ? 1 时, ? ;当 n ? 2 时, ?

1 2 7 7 1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? 7 23 47 7 14 14 7

1 7

1 1 1 2 ? ? ? ;当 n ? 3 时, 23 7 7 7

??13 分 综上所述,对一切正整数 n ,有
1 1 1 1 2 ? ? ? ... ? ? ???14 分 a1 ? 1 a 2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7

3 ( )2 2 ( 3) 3 20、 ?1? 解:由椭圆 E 过点 P( 3, ) ,可得 2 ? 22 ? 1 ???????1 分 a b 2
又 分 解得: a ? 2, b ? 3 ?????????????????????????3 分
c 1 ? , b 2 ? c 2 ? a 2 ????????????????????????? 2 a 2

x2 y2 ? 1 ????????????????????? 4 所以椭圆 E 方程为 ? 4 3


? 2 ? 证明:设切点坐标为 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? ,直线上一点 M 的坐标 ?4, t ?
x1 x y1 y xx y y ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ?????????????5 分 4 3 4 3 t t 又因为两切线均过点 M ,则 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 ????????????6 3 3 分

则切线方程分别为

即点 A, B 的坐标都适合方程 x ? 故直线 AB 的方程是 x ?
t y ?1 3

t y ? 1 ,而两点确定唯一的一条直线 3

?????????????????7 分

显然对任意实数,点(1,0)都适合这个方程,故直线 AB 恒过定点 C ?1,0 ? ?8 分

? 3? 解:将直线 AB 的方程 x ? ?
2

t y ? 1 ,代入椭圆方程,得 3

? t2 ? 2 ? t ? ? 4? 3? ? y ? 1? ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 ? ? ? y ? 2ty ? 9 ? 0 ??????????9 分 ? 3 ? ?3 ?

所以 y1 ? y2 ? 分

6t ? 27 ??????????????????? 10 , y1 y2 ? 2 t ? 12 t ? 12
2

不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0 , 因为 AC ?

?x1 ? 1?2 ? y12

? t2 ? 2 t2 ? 9 t2 ? 9 ? BC ? ? y2 ??11 分 ? ? ? 1 y ? y , 同理 1 ?9 ? 1 3 3 ? ?

?1 1 ? y ?y 1 1 3 3 3 ? ? ?? ? ? ? ? 2 1 ?? 所以 ? 2 2 2 AC BC t ? 9 ? y1 y2 ? t ? 9 y1 y2 t ?9 分
108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 3 1 144t 2 ? 9 ?144 4 ? t ? 12 ? t ? 12 ?? ? ? ? ? ? 27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 2 t ? 12
2

? y2 ? y1 ?
y1 y2

2

? 12

4 AC ? BC ??????????????????????13 分 3 4 故存在实数 ? ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 恒成立?????????? 14 3 分

即 AC ? BC ?

21、 ?1? 解:当 a ? 1 时, g ? x ? ? x ? 1 ? 2 ln x ,定义域为 ?0,?? ? 2 x?2 ??????????????????????2 分 g? ? x? ? 1? ? x x 当 x ? ? 0, 2 ? 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递减 当 x ? ? 2, ?? ? 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递增 综上, g ? x ? 的单调递增区间为 ? 2, ?? ? ,单调递减区间为 ? 0, 2 ? ?????? 4 分

? 2 ? 证明: k ?
又 x0 ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 ???????????????????5 分 ? x2 ? x1 x2 ? x1

x1 ? x2 1 2 ,所以 f ? ? x0 ? ? ? ln x ?? ???????????6 分 ? ? 2 x0 x1 ? x2 x ? x0

要证 k ? f ? ( x0 ) ,即证

ln x2 ? ln x1 2 ? x2 ? x1 x1 ? x2

?x ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? x2 ? x1 ? x x 不妨设 0 ? x1 ? x2 ,即证 ln x2 ? ln x1 ? ,即证 ln 2 ? ? 1 ? x2 x1 x1 ? x2 ?1 x1
设t ?

2 ? t ? 1? 4 x2 ???????????????7 分 ? 2? ? 1 ,即证: ln t ? t ?1 t ?1 x1

4 ? 2 ? 0 ,其中 t ? ?1, ?? ? t ?1 4 事实上:设 k ? t ? ? ln t ? ? 2 ? t ? ?1, ?? ? ? , t ?1

也就是要证: ln t ?

? t ? 1? ? 4t ? ? t ? 1? ? 0 1 4 则 k ? ?t ? ? ? ? 2 2 2 t ? t ? 1? t ? t ? 1? t ? t ? 1?
2 2

所以 k ? t ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,因此 k ? t ? ? k ?1? ? 0 ,即结论成立??????9 分

? 3? 解:由题意得

F ? x1 ? ? x1 ? ? F ? x2 ? ? x2 ? F ? x1 ? ? F ? x2 ? ?0 ? 1 ? 0 ,即 x1 ? x2 x1 ? x2

若设 G ? x ? ? F ? x ? ? x ,则 G ? x ? 在 ? 0, 2? 上单调递减???????????? 10 分 ①当 x ? ?1, 2? 时, G ? x ? ? ln x ?
G? ? x ? ? 1 b ? ?1 ? 0 x ? x ? 1?2
2

b ?x x ?1

? x ? 1? b?
x

? ? x ? 1? ? x 2 ? 3x ?
2

1 ? 3 在 ?1, 2? 恒成立 x

设 G1 ? x ? ? x 2 ? 3x ?

1 1 ? 3 ,则 G1? ? x ? ? 2 x ? 3 ? 2 x x

当 x ? ?1, 2? 时, G1? ? x ? ? 0

? G1 ? x ? 在 ?1, 2? 上单调递增, G1 ? x ? ? G1 ? 2 ? ?
?b?

27 2

27 ????????????????????????????12 分 2 b ②当 x ? ? 0,1? 时, G ? x ? ? ? ln x ? ?x x ?1

1 b G? ? x ? ? ? ? ?1 ? 0 x ? x ? 1?2

? x ? 1? b??
x

2

1 2 ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? ? 1 在 ? 0,1? 恒成立 x

1 1 设 G2 ? x ? ? x 2 ? x ? ? 1 , G2? ? x ? ? 2 x ? 1 ? 2 ? 0 x x

即 G2 ? x ? 在 ? 0,1? 单调递增,故 G2 ? x ? ? G2 ?1? ? 0

?b ? 0
综上所述: b ? 分
27 ?????????????????????????? 14 2


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