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不等式和绝对值不等式二绝对值不等式绝对值函数的问题解决素材新人教A版选修4-5


绝对值函数的问题解决 有一道某地高三模拟考试题, 涉及到绝对值函数, 用来说明数学中的分类讨论思想非常 有代表性。 试题 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1 , g ( x) ? a | x ? 1 | . (1) 若关于 x 的方程 | f ( x) |? g ( x) 只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2) 若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒函数成立,求实数 a 的取值范围; (3) 求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间[-2,2]上的最大值(直接写出结果 ,不需给出演 ...... ..... 算步骤 ). ... 解答 (1) 方程 | f ( x) |? g ( x) , 即 | x2 ?1| ? a | x? 1| , 变形得 | x ? 1| (| x ? 1| ?a) ? 0 , 显然,x ? 1 已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程 | x ? 1|? a ,有且仅有一个等于 1 的 解或无解 ,结合图形得 a ? 0 . (2)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x2 ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立, ①当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ; ②当 x ? 1 时, (*)可变形为 a ? x2 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), ,令 ? ( x) ? ?? | x ? 1| | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1). 1 因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 , 所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 . ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥1), ? (3)因为 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?| x2 ? 1| ?a | x ? 1| = ?? x 2 ? ax ? a ? 1, (?1≤ x ? 1), ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). ? ① 当 a ? 1, 即a ? 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 ,经比较,此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 . ② 当 0 ≤ ≤1, 即0 ≤ a ≤ 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上递减, a a 2 2 a a2 a ? a ?1, 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h( ? ) ? 2 4 2 经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 . ③ 当 ?1≤ ? 0,即- 2 ≤ a ? 0 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上递减, a a 2 2 a a2 a ? a ?1, 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h( ? ) ? 2 4 2 经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ?

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