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高中数学(北师大版必修2)2.2.2直线与圆的位置关系


2.2.2 一、基础过关 直线与圆的位置关系 1. 直线 3x+4y+12=0 与圆(x+1)2+(y+1)2=9 的位置关系是________. 2.直线 l 将圆 x2+y2-2x-4y=0 平分, 且与直线 x+2y=0 垂直, 则直线 l 的方程为________. 3. 若圆 C 半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准 方程是______________. 4. 直线 x+ 3y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度等于________. 5. 过原点 O 作圆 x2+y2-6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,则线段 PQ 的长为________. 6. 已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被该圆所截得的弦长 为 2 2,则圆 C 的标准方程为____________. 7. 已知圆 C 和 y 轴相切,圆心 C 在直线 x-3y=0 上,且被直线 y=x 截得的弦长为 2 7, 求圆 C 的方程. 8. 已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0.问是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 AB 满足:以 AB 为直径的圆经过原点. 二、能力提升 9. 由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的最小值为________. 10.圆 x2+y2+2x+4y-3=0 上到直线 l:x+y+1=0 的距离为 2的点有________个. 11.由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,且∠APB=60° ,则动 点 P 的轨迹方程为____________________. 12.已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 C:x2+y2-2x-2y+1=0 的两条 切线,A、B 是切点. (1)求四边形 PACB 面积的最小值; (2)直线上是否存在点 P,使∠BPA=60° ,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,说明 理由. 三、探究与拓展 13.圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:不论 m 取什么数,直线 l 与圆 C 恒交于两点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度,并求此时 m 的值. 答案 1.相交 2.y=2x 3.(x-2)2+(y-1)2=1 4.2 3 5.4 6.(x-3)2+y2=4 7.解 设圆心坐标为(3m,m), ∵圆 C 和 y 轴相切,得圆的半径为 3|m|, |2m| ∴圆心到直线 y=x 的距离为 = 2|m|. 2 由半径、弦心距的关系得 9m2=7+2m2, ∴m=± 1.∴所求圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. 8.解 假设存在且设 l 为:y=x+m,圆 C 化为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心 C(1,-2).解方 ? ?y=x+m 程组? ?y+2=-?x-1? ? m+1 m-1 得 AB 的中点 N 的坐标 N(- , ), 2 2 由于以 AB 为直径的圆过原点, 所以 AN=ON. 又 AN= CA2-CN2= ON= ?- 9- ?m+3?2 , 2 m+1 2 m-1 2 ? +? ?. 2 2 ?3+m?2 ? m+1?2 ?m-1?2 所以 9- = - + , 2

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