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2014-2015学年上海市卢湾高中高二上学期期中数学试卷与解析

2014-2015 学年上海市卢湾高中高二(上)期中数学试卷 一、填空题(每小题 3 分,总分 36 分) 1. (3 分)计算: 2. (3 分)已知 = . ,若 ,则 t= . . 3. (3 分)已知等差数列{an}中,a1=﹣4,a5=﹣12,则 a3= 4. (3 分)化简: = . 5 .( 3 分 ) 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an} 中 , 若 a5a6=9 , 则 log3a1+log3a2+…+log3a10= 6. (3 分)若 . . ,则与 同向的单位向量是 7. (3 分)设 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和,且 S9=18,Sn=240,若 an﹣4=30(n >9) ,则 n= 8. (3 分)若 . , , 与 的夹角为 120°,则 = . 9. (3 分)在数列{an}中,a1= ,an+an+1= Sn 的公式为 . (n=1,2,3…) ,此数列前 n 项和 10 . ( 3 分)在△ ABC 中,已知 为 . , 的值 11. (3 分)如图,相交于点 O 的两条直线 OA,OB,在 OA 上取一点 A,作 A1B1 ⊥OB,作 B1A2⊥OA,作 A2B2⊥OB…一直无限地作下去,若已知 A1B1=7,B1A2=6, 则所有垂线长度的和等于 . 第 1 页(共 14 页) 12. (3 分)已知数列{an}的通项公式是 an=2n﹣1,数列{bn}的通项公式是 bn=3n, 令集合 A={a1,a2,…,an,…},B={b1,b2,…,bn,…},n∈N*.将集合 A∪B 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{cn}. 则数列{cn}的前 28 项的和 S28= . 二、选择题(每小题 3 分,总分 12 分) 13. (3 分)点 P 的坐标为(1,2) , ,则( ) D. A.点 P 与点 A 重合 B.点 P 与点 B 重合 C.点 P 就表示 14. (3 分)我们把 1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的 点 子 可 以 排 成 一 个 正 三 角 形 ( 如 图 ) 则第七个三角形数是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 15. (3 分)若两个非零向量 、 ,互相垂直,则下列一定成立的是( A. B. C. D. ) 16. (3 分)设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai 是边长为 ai,ai+1 的矩形的面积 (i=1,2,…) ,则{An}为等比数列的充要条件是( A.{an}是等比数列 B.a1,a3,…,a2n﹣1,…或 a2,a4,…,a2n,…是等比数列 C.a1,a3,…,a2n﹣1,…和 a2,a4,…,a2n,…均是等比数列 D.a1,a3,…,a2n﹣1,…和 a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同 ) 三、解答题(本大题共 5 题,共 52 分,姐答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 17. (8 分)如图.已知向量 、 ,求作向量 . 第 2 页(共 14 页) 18. (10 分)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并 以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减 少 .本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作 用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . (1) 设 n 年内 (本年度为第一年) 总投入为 an 万元, 旅游业总收入为 bn 万元. 写 出 an,bn 的表达式; (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 19. (10 分)若 (1)向量 (2) , 的夹角 θ; . ,且 ,求 20. (12 分)在数列{an}中,a1=3,an=﹣an﹣1﹣4n(n≥2,n∈N*) ,数列{an}的 前 n 项和 Sn. (1)证明:数列{an+2n+1}是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)求 Sn. 21. (12 分)已知 、 分别是与 x 轴、y 轴正方向相同的单位向量, (a∈R) ,对任意正整数 n, (1)若 (2)求向量 (3)设向量 xn<yn 成立. ; ,求最大整数 a 的值,使对任意正整数 n,都有 ,求 a 的值; . 第 3 页(共 14 页) 2014-2015 学年上海市卢湾高中高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题(每小题 3 分,总分 36 分) 1. (3 分)计算: = 1 . 【解答】解: = = =1. 故答案为:1. 2. (3 分)已知 【解答】解:知 若 , ,若 , ,则 t= 5 . 则:1﹣t=﹣2×2, 解得 t=5. 故答案为:5. 3. (3 分)已知等差数列{an}中,a1=﹣4,a5=﹣12,则 a3= 【解答】解:设等差数列{an}的公差是 d, 因为 a1=﹣4,a5=﹣12,所以 d= 则 a3=a1+2d=﹣8, 故答案为:﹣8. =﹣2, ﹣8 . 4. (3 分)化简: 【解答】解:∵ =( + )+ = =( ﹣ . )+( + ) 第 4 页(共 14 页) = ﹣ = . 故答案为: . 5. (3 分) 在各项均为正数的等比数列{an}中, 若 a5a6=9, 则 log3a1+log3a2+…+log3a10= 10 . 【解答】 解: log3a1+log3a2+…+log3a10=log3 (a1a10) +log3 (a2a9) +…log3 (a5a6) =5log3 (a5a6)=10 故答案为:10 6. (3 分)若 【解答】解:∵ ,则与 同向的单位向量是 , ﹣ . ∴与 同向的单位向量是 = 故答案为: ﹣ = ﹣ . . 7. (3 分)设 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和,且 S

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