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求函数定义域和值域方法和典型题归纳


求函数定义域、值域方法和典型例题 一、基础知识整合 1.函数的定义:设集合 A 和 B 是非空数集,按照某一确定的对应关系 f,使 得集合 A 中任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应。 则称 f:为 A 到 B 的一个函数。 2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f),②集 合 A 的取值范围。 由这两个条件就决定了 f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的 是: (1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。 (2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一 个个的数时用“列举法” ;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间” 来表示。 4.值域:是由定义域和对应关系(f)共同作用的结果,是个被动变量, 所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 (1) 明白值域是在定义域 A 内求出函数值构成的集合: {y|y=f(x),x∈A}。 (2)明白定义中集合 B 是包括值域,但是值域不一定为集合 B。 二、求函数定义域 (一)求函数定义域的情形和方法总结 1 已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 (1)常见要是满足有意义的情况简总: ①表达式中出现分式时:分母一定满足不为 0; ②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次 方时,根号下满足大于或等于 0(非负数) 。 ③表达式中出现指数时:当指数为 0 时,底数一定不能为 0. ④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于 0. ⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有 x, 必须满足指数底 数大于 0 且不等于 1.(0<底数<1;底数>1) ⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足 真数上所有式子大于 0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和 真 数 上 时 , 要 同 时 满 足 真 数 大 于 0 , 底 数 要 大 于 0 且 不 等 于 1. ( f ( x) ? log x ( x2 ?1) ) 注: (1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的 是所有式子解集的交集。 (2) 求定义域时, 尽量不要对函数解析式进行变形, 以免发生变化。 (形
1

2 如: f ( x) ? x )

x

2.抽象函数(没有解析式的函数) 解题的方法精髓是“换元法” ,根据换元的思想,我们进行将括号为整 体的换元思路解题,所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为: (1)给出了定义域就是给出了所给式子中 x 的取值范围; (2)在同一个题中 x 不是同一个 x; (3)只要对应关系 f 不变,括号的取值范围不变。 (4)求抽象函数的定义域个关键在于求 f(x)的取值范围,及括号的取值范 围。 例 1:已知 f(x+1)的定义域为[-1,1],求 f(2x-1)的定义域。 解:∵f(x+1)的定义域为[-1,1]; (及其中 x 的取值范围是[-1,1]) ∴ 0 ? x ?1 ? 2 ; (x+1 的取值范围就是括号的取值范围) ∴f(x)的定义域为[0,2]; (f 不变,括号的取值范围不变) ∴f(2x-1)中

0 ? 2x ?1 ? 2 1 3 ∴? ? x ? 2 2
∴f(2x-1)的定义域为 ? x | ? 3.复合函数定义域 复合函数形如:y ? f ( g ( x)) ,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟 悉的函数组成的函数,或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。 例 2:

? ?

1 3? ?x? ? 2 2?

若函数f ( x)的定义域为(?2,3), g ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), 求g(x)的定义域。

分析: 由题目可以看出 g(x)是由 y=x+1、 y=x-2 和 y=f(x)三个函数复合起来 的新函数。此时做加运算,所以只要求出 f(x+1)和 f(x-2)的定义域,再根 据求函数定义域要所有式子同时满足,即只要求出 f(x+1)和 f(x-2)的定义 域的交集即可。 解:由 f(x)的定义域为(-2,3) ,则 f(x+1)的定义域为(-3,2) ,f(x-2)的定义域为(0,4) ;

??3 ? x ? 2 ,解得 0<x<2 ?? ? 0? x?4
所以,g(x)的定义域为(0,2).
2

(二)求定义域的典型题 1.已知函数解析式 (1)求下列函数的定义域

(1) f ( x) ? x ? 4 ?

1 1 x2 ?1 ;(2) f ( x) ? ( x ? 1)0 ? ;(3) f ( x) ? ; x?3 x ?1 x ? 2 ?3

1 1 (4) f ( x) ? ( x ? 1) x? 2 ;(5) f ( x) ? log (2 x ?3) ( x 2 ? );(6) f ( x) ? ? x 2 ? 1. 4 2? x
(2)求下列函数的定义域

lg( x ? 2) 1 ? 2x ;(2) f ( x) ? ; 1 x ?1 x? 2 x ?1 1 (3) f ( x) ? ;(4) f ( x) ? 1 ? log 1 x 6 ? x ? x2 (1) f ( x) ?
2

(3)与函数定义域有关的问题题 ①若函数 f ( x) ?

x?4 的定义域为 R, 求实数 m 的取值范围。 x ? (2m ? 1) x ? m 2
2

②函数 y ? kx2 ? 2kx ? k ? 6 的定义域为 R,求 k 的取值范围。 ③函数 f ( x) ? mx 2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R,求 m 的取值范围。 2.求抽象数定义域 ①若函数 f(x)的定义域为(-2,6) ,求 f ( x ? 1) 的定义域。 ②若数 f ( x)的定义域为[0,2],求函数 g ( x ) ?

1 2

f (2 x ) 的定义域。 x ?1
1 的 3x ? 7

的定义域为[-1,2],求函数 g ( x ) ? f (x ? 2)? ③若数 f ( x ? 1)
定义域。

④若函数 f ( x)的定义域为[0,1], g ( x) ? f ( x ? a ) ? f ( x ? a ), ( a ? ) , 求函数 g(x)的定义域。
3

1 2

⑤若 f ( x) ? loga ( x ? 1), g ( x) ? loga (1 ? x) , (a ? 0, 且a ? 1) ,令 F(x)=f(x)-g(x),求 F(x)的定义域。 二、求函数值域 (一)求函数值域方法和情形总结 1.直接观察法(利用函数图象) 一般用于给出图象或是常见的函数的情形, 根据图象来看出 y 值的取值 范围。 2.配方法 适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数, 此时注意对称轴 的位置,在定义域范围内(以 a<0 为例) ,此时对称轴的地方为最大值,定 义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值; 对称轴在定义域的两边则根 据单调性来求值域。总结为三个要点: (1)含参数的二次型函数,首先判断 是否为二次型,即讨论 a; (2)a 不为 0 时,讨论开口方向; (3)注意区间, 即讨论对称轴。 例 1:求 f ( x) ? x2 ? 4 x ? 6在[1,5]上的值域. 解:配方: f ( x) ? ( x ? 2) ? 2
2

f(x)的对称轴为 x=2 在[1,5]中间

ymin ? f (2) ? 2
(端点 5 离 x=2 距离较远,此时为最大值)

ymax ? f (5) ? 11
所以,f(x)的值域为[2,11]. 3.分式型 (1)分离常量法:应用于分式型的函数,并且是自变量 x 的次数为 1,或 是可以看作整体为 1 的函数。具体操作:先将分母搬到分子的位子上去,观 察与原分子的区别,不够什么就给什么,化为 y ? a ? 例 2: 求f ( x) ?

d 。 bx ? c

5x ? 1 的值域. 4x ? 2

5 10 (4 x ? 2) ? 1 ? 5x ? 1 4 7 4 ?5? ? 解: f ( x) ? 4x ? 2 4x ? 2 4 2(4 x ? 2)
4

由于分母不可能为 0,则意思就是函数值不可能取到 即:函数 f(x)的值域为 { y | y ? } .

5 , 4

5 4

跟踪练习: 已知 f ( x) ? ax 2 ? 4(a ?1) x ? 3( x ? ?0,2 ? ) 在 x=2 处有最大值, 求 a 的取值范围. ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

(2)利用 x 2 ? 0 来求函数值域:适用于函数表达式为分式形式,并且只 出现 x 2 形式,此时由于为平方形式大多时候 x 可以取到任意实数,显然用 分离常量法是行不通,只有另想它法(有界变量法) 。 例 3:求函数 f ( x) ?

3x 2 ? 1 的值域. x2 ? 2

2 解:由于 x ? 2 不等于 0,可将原式化为

yx2 ? 2 y ? 3x2 ? 1


( y ? 3) x2 ? ?1 ? 2 y (由于 x 2 ? 0 )

只需 y ? 3 ,则有

x2 ?

?1 ? 2 y ?0 y ?3

( y ? 3) (?1 ? 2 y) ? 0

所以,函数值域 y ? ? ?

? 1 ? ,3 ? . ? 2 ?
2

(3) 方程根的判别式法: 适用于分式形式, 其中既出现变量 x 又出现 x

混合,此时不能化为分离常量,也不能利用上述方法。对于其中定义域为 R 的情形,可以使用根的判别式法。 例 4:求函数 y ?

2x 的值域 x ?1
2

5

解:由于函数的定义域为 R,即 x2 ? 1 ? 0 原式可化为

yx2 ? 2 x ? y ? 0

(由于 x 可以取到任意的实数,那么也就说总有一个 x 会使得上述方程有 实数根,即方程有根那么判别式大于或等于 0,注:这里只考虑有无根,并 不考虑根为多少) 所以, ? ? 4 ? 4 y 2 ? 0 所以,函数值域为 y ?? ?1,1? 跟踪练习:求下列函数值域 (1) y ?

1 1 ? x2 (2) y ? 1? x 1 ? x2

(3) y ?

1 1 ? x2

(4y )?

x?2 x ? 3x ? 6
2

(5)若 y ? log 3

mx 2 ? 8 x ? n 的定义域为 R,值域为 ? 0, 2? ,求常数 m,n x2 ? 1

的值(m=n=5) 4.换元法 通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域, 一般函数特征是 函数解析式中含有根号形式, 以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问 题。 而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路, 注重 换元思维的培养,并不是专一的去解答某类问题,应该多加平时练习。注: 换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。 例 5:求函数 f ( x) ? 2x ? x ?1 的值域 解:令 t ?

x ?1, t ? 0, 则x ? t 2 ? 1,带入原函数解析式中得

1 15 y ? 2(t 2 ? 1) ? t ? 2t 2 ? t ? 2 ? 2(t ? )2 ? 4 8 因为, t ? 0
所以,函数的值域为 y ? ?

?15 ? , ?? ? . ?8 ?

跟踪练习:求下列函数的域 (1) y ? 2sin x ? 3cos x ?1
2

(2) y ? 2x ? 1 ? x ?1
6

(3) y ? sin x ? cos x ? sin x cos x , (令 t= sin x ? cos x ) (4) y ? x ? 4 ? 9 ? x , (令x =3cos ? (? ? ?0, ? ?))
2

7


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