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高中数学高考总复习函数概念习题及详解


高考总复习

高中数学高考总复习函数概念习题及详解 一、选择题 1.(文)(2010·浙江文)已知函数 f(x)=log2(x+1),若

1 1 ∴f(f( ))=f(-2)=2-2= .[答案] B 9 4

f(a)=1,则 a=(
A.0 C.2

) B.1 D.3

?21-x-1 ? x<1? ? (理)设函数 f(x)=? ? x≥1? ? ?lgx
则 x0 的取值范围是( )

, f(x0)>1, 若

A.(-∞,0)∪(10,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(-1,10)

[解析] 由题意知,(a)=log2(a+1)=1, a+1=2, f ∴ ∴a=1.[答案] B ( 理 )(2010 · 广 东 六 校 ) 设 函 数

f(x) =

D.(0,10)

?2x x∈? -∞,2] ? ? ? ?log2x x∈? 2,+∞?
( ) A.2 C.2 或 16

,则满足 f(x)=4 的 x 的值是

?x0<1 ?x0≥1 ? ? ? [解析] 由 或? ? x0<0 或 ?21-x0-1>1 ?lgx0>1 ? ?
x0>10.[答案] A

B.16 D.-2 或 16

3.(2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同, 值域相同, 但其定义域不同, 则称这些函数为“同族函数” , 那么函数解析式为 f(x)=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共 有( ) A.7 个 C.9 个 B.8 个 D.10 个

[解析] 当 f(x)=2x 时.2x=4,解得 x=2. 当 f(x)=log2x 时,log2x=4,解得 x=16. ∴x=2 或 16.故选 C. 2 . ( 文 )(2010 · 湖 北 文 , 3) 已 知 函 数 f(x) =

?log3x x>0 1 ? ? ,则 f(f( ))=( 9 ? ?2x x≤0

[解析] 由 x2=1 得 x=±1,由 x2=4 得 x=±2,故 ) 函数的定义域可以是{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1, 1 B. 4 1 D.- 4 -2},{1,2,-1},{1,2,-2},{1,-2,-1},{-1,2, -2}和{-1,-2,1,2},故选 C. 1-2x 4. (2010·柳州、 贵港、 钦州模拟)设函数 f(x)= , 1+x 函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对 称,则 g(1)等于( )
含详解答案

A.4

C.-4 1 1 [解析] ∵f( )=log3 =-2<0 9 9

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3 A.- 2 1 C.- 2

B.-1

x g(f(x))

1

2

3

D.0

A.3,1,2 C.1,2,3 [答案] D [解析]

B.2,1,3 D.3,2,1

[解析] 设 g(1)=a, 由已知条件知, (x)与 g(x)互为 f 1-2a 反函数,∴f(a)=1,即 =1,∴a=0.[答案]D 1+a 5. (2010·广东六校)若函数 y=f(x)的图象如图所示, 则函数 y=f(1-x)的图象大致为( )

由表格可知, f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1,

g(1)=1,g(2)=3,g(3)=2,
∴g(f(1))=g(2)=3,g(f(2))=g(3)=2,g(f(3))=g(1) =1, ∴三个数依次为 3,2,1,故选 D. (理)(2010·山东肥城联考)已知两个函数 f(x)和 g(x) 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:

x
[解析] 解法 1: =f(-x)的图象与 y=f(x)的图象关 y 于 y 轴对称.将 y=f(-x)的图象向右平移一个单位得 y =f(1-x)的图象,故选 A. 6.(文)(2010·广东四校)已知两个函数 f(x)和 g(x)的 定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表,填写下 列 g(f(x))的表格,其三个数依次为( )

1 2

2 3

3 1

f(x)

x g(x)

1 3

2 2

3 1

则方程 g[f(x)]=x 的解集为( A.{1}

) B.{2} D.?

x f(x)

1 2

2 3

3 1

C.{3} [答案] C

[解析] g[f(1)]=g(2)=2,g[f(2)]=g(3)=1;

x g(x)

1 1

2 3

3 2

g[f(3)]=g(1)=3,故选 C.
7.若函数 f(x)=loga(x+1) (a>0 且 a≠1)的定义域 和值域都是[0,1],则 a 等于( )
含详解答案

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1 A. 3 2 2

B.

2

? 9 ? 综上所述,该分段函数的值域为 ?- ,0? ∪(2,+ ? 4 ?
∞).[答案] D (理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=

C.

D.2

[答案] D [解析] ∵0≤x≤1,∴1≤x+1≤2, 又∵0≤loga(x+1)≤1,故 a>1,且 loga2=1,∴a=2. 8. (文)(2010·天津文)设函数 g(x)=x2-2(x∈R),(x) f

?log2? 1-x? ? x≤0? ? ? ? x>0? ? ?f? x-1? -f? x-2?
的值为( A.-1 )

, 则 f(2010)

B.0 D.2

=?

?g? x? +x+4,x<g? x? ? ? ?g? x? -x,x≥g? x? ? 9 ? A.?- ,0?∪(1,+∞) ? 4 ? ? 9 ? C.?- ,+∞? ? 4 ?
[ 解 析 ]

, f(x)的值域是( 则

)

C.1 [答案] B

B.[0,+∞)

[解析]

f(2010) = f(2009) - f(2008) = (f(2008) -

? 9 ? D.?- ,0?∪(2,+∞) ? 4 ?
由 题 意 可 知

f(2007)) - f(2008) = - f(2007) , 同 理 f(2007) = - f(2004),∴f(2010)=f(2004),
∴当 x>0 时,f(x)以 6 为周期进行循环, ∴f(2010)=f(0)=log21=0.

f(x) =

? x<-1或x>2 ? ? ? ?x2-x-2 -1≤x≤2
x2+x+2

9.(文)对任意两实数 a、b,定义运算“*”如下:a*b

? 1? 7 1°当 x<-1 或 x>2 时, x)=x2+x+2=?x+ ?2+ , f( ? 2? 4
由函数的图可得 f(x)∈(2,+∞).

?a,若a≤b; ? 1 =? 函数 f(x)=log (3x-2)*log2x 的值域 ?b,若a>b 2 ?
为( ) A.(-∞,0) C.(-∞,0] [答案] C [ 解 析 ] ∵ a*b = B.(0,+∞) D.[0,+∞)

? 1? 9 2°当-1≤x≤2 时,f(x)=x2-x-2=?x- ?2- , ? 2? 4 ?1? 1 9 故当 x= 时,f(x)min=f? ?=- , 2 4 ?2?
当 x=-1 时,f(x)max=f(-1)=0,

? 9 ? ∴f(x)∈?- ,0?. ? 4 ?
含详解答案

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?a,若a≤b, ? 1 ? 而函数 f(x)=log (3x-2)与 log2x 的大致 ?b,若a>b. 2 ?
图象如右图所示, ∴f(x)的值域为(-∞,0]. (理)定义 max{a、b、c}表示 a、b、c 三个数中的最

形 A1B1C1D1, 若四边形 A1B1C1D1 的面积是 12, 则四边 形 ABCD 的面积是 ( )

?1? 大值,f(x)=max{? ?x,x-2,log2x(x>0)},则 f(x)的最 ?2?
小值所在范围是( A.(-∞,-1) C.(0,1) [答案] C ) B.(-1,0) D.(1,3)

A.9 C.6 3

B.6 D.12

[答案] B [解析] 本题考察阅读理解能力, 由映射 f 的定义知, 在 f 作用下点(x,y)变为(x+1,2y),∴在 f 作用下|A1C1| =|AC|,|B1D1|=2|BD|,且 A1、C1 仍在 x 轴上,B1、

?1? [解析] 在同一坐标系中画出函数 y=? ?x,=x-2 y ?2? ?1? 与 y=log2x 的图象,y=? ?x 与 y=log2x 图象的交点为 ?2?
A(x1, 1), =x-2 与 y=log2x 图象的交点为 B(x2, 2), y y y

D1 仍在 y 轴上, SABCD= |AC|·|BD|= |A1C1|· |B1D1| 故
2 2 2 1 = SA1B1C1D1=6,故选 B. 2

1

1

1

?1? 则由 f(x)的定义知,当 x≤x1 时,f(x)=? ?x,当 x1<x<x2 ?2?
时,f(x)=log2x,当 x≥x2 时,f(x)=x-2, ∴f(x)的最小值在 A 点取得,∵0<y1<1,故选 C.

(理)设函数 f(x)=?

?x2+bx+c x≤0 ? ? ?2 x>0

,若 f(-4)=

f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数
为( ) A.1 C.3 [答案] C [解析] 解法 1:当 x≤0 时,f(x)=x2+bx+c. B.2 D.4

10.(文)(2010·江西吉安一中)如图,已知四边形

∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,

ABCD 在映射 f:(x,y)→(x+1,2y)作用下的象集为四边
含详解答案

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[答案]
2+b·? 2+b·?

2

?? -4? ? ? ?? -2? ?

-4? -2?

+c=c +c=-2



[解析]

?x≥0 ? ∵? ? ?4-x≥0

,∴0≤x≤4,f

2(x) = 4 +

?b=4 ? 解得? , ? ?c=2

2

x? 4-x? ≤4+[x+(4-x)]=8,且 f 2(x)≥4,
∵f(x)≥0,∴2≤f(x)≤2 [点评] 2,故所求比值为 2.

?x2+4x+2 ? ∴f(x)=? ? ?2 x>0

x≤0

(1)可用导数求解;(2)∵0≤x≤4,∴0≤ ≤1, 4

x



x π 故可令 =sin2θ(0≤θ≤ )转化为三角函数求解. 4 2
cosx-1 12. 函数 y= x∈[0, sinx-2 π]的值域为________.

当 x≤0 时,由 f(x)=x 得,x2+4x+2=x, 解得 x=-2,或 x=-1; 当 x>0 时,由 f(x)=x 得,x=2, ∴方程 f(x)=x 有 3 个解. 解法 2:由 f(-4)=f(0)且 f(-2)=-2 可得,f(x)=

? 4? [答案] ?0, ? ? 3?
[解析] 函数表示点(sin α ,cos α )与点(2,1)连线斜

x2+bx+c 的对称轴是 x=-2,且顶点为(-2,-2),
于是可得到 f(x)的简图如图所示.方程 f(x)=x 的解的个 数就是函数图象 y=f(x)与 y=x 的图象的交点的个数, 所以有 3 个解. 二、填空题 11.(文)(2010·北京东城区)函数 y= -x)的定义域是________. [答案] [-1,2)

率.而点(sinα,cosα)α∈[0,π]表示单位圆右半部分,由 4 几何意义,知 y∈[0, ]. 3 13.(2010·湖南湘潭市)在平面直角坐标系中,横坐 标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 f(x)的图

x+1+lg(2

象恰好通过 n(n∈N*)个整点,则称函数 f(x)为 n 阶整点函 数,有下列函数

[解析] 由?

? ?x+1≥0 ? ?2-x>0
x+

?1? ①f(x)=sin2x ②g(x)=x3 ③h(x)=? ?x ?3?
得,-1≤x<2. ④φ(x)=lnx. 其中是一阶整点函数的是________.(写出所有正确

(理)函数 f(x)= 值为________.

4-x的最大值与最小值的比

结论的序号)
含详解答案

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[答案] ①④ [解析] 其中①只过(0,0)点,④只过(1,0)点;②过

?x2+bx,x≥0 ? ? ?-x2+bx,x<0 ?
如右图方程 f(x)=0 可以有三个实数根.

(0,1),(1,1),(2,8)等,③过(0,1),(-1,3)等. 14.(文)若 f(a+b)=f(a)·f(b)且 f(1)=1,则

f? 2? f? 1?



综上所述,正确命题的序号为①②. 三、解答题 15.(文)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水, 水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨, 同时蓄

f? 3? f? 2?

+…+

f? 2012? f? 2011?

=________.

[答案] 2011 [解析] 令 b=1,则

f? a+1? f? a?

=f(1)=1,

水池又向居民小区不间断供水, t 小时内供水总量为 120 6t吨,(0≤t≤24). (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最 少?最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧 张现象, 请问在一天的 24 小时内, 有几小时出现供水紧 张现象. [解析] (1)设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨, 则 y=400+60t-120 令 6t(0≤t≤24)



f? 2? f? 1?



f? 3? f? 2?

+…+

f? 2012? f? 2011?

=2011.

(理)设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列命题: ①b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根; ②c=0 时,y=f(x)是奇函数; ③方程 f(x)=0 至多有两个实根. 上述三个命题中所有的正确命题的序号为 ________. [答案] ①② [解析] ①f(x)=x|x|+c

6t=x,则 x2=6t 且 0≤x≤12,

∴y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12); ∴当 x=6,即 t=6 时,ymin=40, 即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池水量最少,只 有 40 吨.

?x2+c,x≥0 ? =? , ?-x2+c,x<0 ?
如右图与 x 轴只有一个交点. 所以方程 f(x)=0 只有一个实数根正确. ②c=0 时,f(x)=x|x|+bx 显然是奇函数. ③ 当 c = 0 , b<0 时 , f(x) = x|x| + bx =

(2)依题意 400+10x2-120x<80, 得 x2-12x+32<0, 解得 4<x<8,即 4< 8 32 6t<8,∴ <t< ; 3 3

含详解答案

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32 8 ∵ - =8, ∴每天约有 8 小 3 3 时供水紧张. (理)某物流公司购买了一块长 AM=30 米, AN= 宽 20 米的矩形地块 AMPN ,规划建设占地如图中矩形

8000 所以 x=20 时,V 取最大值 m3, 3 即 AB 长度为 20 米时仓库的库容最大. 16.(2010·皖南八校联考)对定义域分别是 Df,Dg 的函数 y=f(x),y=g(x),规定:

ABCD 的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点 C
在地块对角线 MN 上,B、D 分别在边 AM、AN 上,假 设 AB 长度为 x 米. (1)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米,

?f? ? 函数 h(x)=?f? ?g? ?

x? g? x? ,当x∈Df且x∈Dg, x? ,当x∈Df且x?Dg, x? ,当x∈Dg且x?Df.

AB 长度应在什么范围内?
(2)若规划建设的仓库是高度与 AB 长度相同的长方 体形建筑,问 AB 长度为多少时仓库的库容最大?(墙体 及楼板所占空间忽略不计) [解析] (1)依题意得三角形 NDC 与三角形 NAM 相 20-AD 2 似,所以 = ,即 = ,AD=20- x, AM NA 30 20 3 2 矩形 ABCD 的面积为 S=20x- x2 (0<x<30), 3 要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米, 2 即 20x- x2≥144, 3 化简得 x2-30x+216≤0,解得 12≤x≤18. 所以 AB 长度应在[12,18]内. 2 (2)仓库体积为 V=20x2- x3(0<x<30), 3

(1)若函数 f(x)= 析式;

1

x-1

,g(x)=x2,写出函数 h(x)的解

(2)求问题(1)中函数 h(x)的值域; (3)若 g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈[0,π], 请设计一个定义域为 R 的函数 y=f(x),及一个α的值, 使得 h(x)=cos4x,并予以证明. [解析] (1)由定义知,

DC ND

x

? x ,x∈? ? h(x)=?x-1 ? ?1,x=1.
2

-∞,1?

∪? 1,+∞?



(2)由(1)知,当 x≠1 时,h(x)=x-1+

1

x-1

+2,

则当 x>1 时, h(x)≥4(当且仅当 x=2 时, 有 取“=”); 当 x<1 时,有 h(x)≤0(当且仅当 x=0 时,取“=”). 则函数 h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞). π (3)可取 f(x)=sin2x+cos2x,α= ,则 g(x)=f(x+ 4
含详解答案

V′=40x-2x2=0 得 x=0 或 x=20,
当 0<x<20 时,V′>0,当 20<x<30 时 V′<0,

高考总复习

α)=cos2x-sin2x,
于是 h(x)=f(x)f(x+α)=cos4x. (或取 f(x)=1+ =1- π 2sin2x,α= ,则 g(x)=f(x+α) 2 (3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售 金额最大的一天是 30 天中的第几天?(日销售金额=每 件的销售价格×日销售量)

2sin2x.于是 h(x)=f(x)f(x+α)=cos4x).

[点评] 本题中(1)、 (2)问不难求解, 关键是读懂 h(x) 的定义,第(3)问是一个开放性问题,乍一看可能觉得无 从下手,但细加观察不难发现,cos4x=cos22x-sin22x =(cos2x +sin2x)(cos2x -sin2x)积式的一个因式取作

? ? 0<t<25,t∈N*? ?t+20 [解析] (1)P=? ?-t+100 ? 25≤t≤30,t∈N*? ?
(2)图略,Q=40-t(t∈N*) (3)设日销售金额为 y(元),

f(x),只要能够找到α,使 f(x+α)等于另一个因式也就找
到了 f(x)和 g(x). 17.(文)某种商品在 30 天内每件的销售价格 P(元) 与时间 t(天)的函数关系如图所示:

?-t2+20t+800 ? 0<t<25,t∈N*? ? 则 y=? ? ?t2-140t+4000 ? 25≤t≤30,t∈N*?

?-? t-10? 2+900 ? 0<t<25,t∈N*? ? =? ? ?? t-70? 2-900 ? 25≤t≤30,t∈N*?
若 0<t<25(t∈N*), 该商品在 30 天内日销售量 Q(件)与时间 t(天)之间的 关系如表所示: 第t天 5 35 15 25 20 20 30 10 则当 t=10 时,ymax=900; 若 25≤t≤30(t∈N*), 则当 t=25 时,ymax=1125. 由 1125>900,知 ymax=1125, ∴这种商品日销售金额的最大值为 1125 元,30 天 中的第 25 天的日销售金额最大. (理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运 输的原因,长期只能在当地销售,当地政府通过投资对 该项特产的销售进行扶持,已知每投入 x 万元,可获得
含详解答案

Q(件)

(1)根据提供的图象,写出该商品每件的销售价格 P 与时间 t 的函数关系式; (2)在所给直角坐标系中,根据表中提供的数据描出 实数对(t,Q)的对应点,并确定日销售量 Q 与时间 t 的 一个函数关系式;

高考总复习

纯利润 P=-

(x-40)2+100 万元(已扣除投资,下 160

1

W2=[-

1 160

(x-40)2+100]×5+(-

159 160

x2+

119 2

x)×

同),当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产 的销售, 其规划方案为: 在未来 10 年内对该项目每年都 投入 60 万元的销售投资,其中在前 5 年中,每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路,公路 5 年建 成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的 5 年 中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售 159 的投资收益为: 每投入 x 万元, 可获纯利润 Q=- (60 160 119 -x)2+ ·(60-x)万元, 问仅从这 10 年的累积利润看, 2 该规划方案是否可行? 1 [解析] 在实施规划前,由题设 P=- (x-40)2 160 +100(万元),知每年只需投入 40 万,即可获得最大利 润 100 万元, 10 年的总利润为 W1=100×10=1000(万 则 元) 1 实施规划后的前 5 年中,由题设 P=- (x-40)2 160 795 +100 知,每年投入 30 万元时,有最大利润 Pmax= 8 795 3975 (万元)前 5 年的利润和为 ×5= (万元) 8 8 设在公路通车的后 5 年中,每年用 x 万元投资于本 地的销售,而剩下的(60- x)万元用于外地区的销售投 资, 则其总利润为

5=-5(x-30)2+4950. 当 x=30 时,W2=4950(万元)为最大值, 3975 从而 10 年的总利润为 +4950(万元). 8 3975 ∵ +4950>1000, 8 ∴该规划方案有极大实施价值.

含详解答案


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