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高中数学第二章变化率与导数3计算导数教材习题点拨北师大版选修2-2资料


高中数学 第二章 变化率与导数 3 计算导数教材习题点拨 北师大 版选修 2-2
练习(P40) 1. 解 : 设 函 数 自 变 量 在 t=2 处 改 变 量 为 Δ t , 相 应 函 数 值 的 改 变 量 为 Δ y=

1 1 2 2 1 2 g(2+Δ t) ? g(2) = g[4Δ t+(Δ t) ]. 2 2 2

?y 1 4?t ? (?t ) 2 1 函数 f(t)在 t=2 处的平均变化率 = g× = g(4+Δ t). ?t 2 2 ?t
函数 f(t)在 t=2 处的导数 f′(2)= lim [
?t ? 0

1 g(4+Δ t)]=2g. 2

所以 f′(2)=2g=20(m/s), 它的实际意义是自由下落的物体下落后,在 t=2 s 时刻的瞬时速度为 20 m/s. 2.解:设自变量 x 的改变量为 Δ x,相应函数值的改变为 Δ y=

100 100 100(??x) ? ? . x ? ?x x x( x ? ?x)

函数在 x 处的平均变化率:

?y ? 100 = ; ? x x( x ? ?x)

函数在 x 处的导数为 y′=

? 100 ? . x2 100 . 9
A组

所以 f′(1)=-100,f′(2)=-25,f′(3)= ? 习题 2-3(P41)

1.解:y′= lim

?x ?0

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) 3( x ? ?x) 2 ? x ? ?x ? (3x 2 ? x) = lim ?x ?0 ?x ?x

= lim

?x ?0

6 x?x ? 3?x 2 ? ?x 2 = lim (6x+1+3Δ x)=6x+1.即 f(x)=3x +x 的导函数为 f′(x)=6x+1. ? x ? 0 ?x

∴f′(2)=6×2+1=13,f′(-2)=6×(-2)+1=-11,f′(3)=6×3+1=19.

1 1 ? 3 ? ( ? 3) f ( x ? ?x ) ? f ( x ) x 2.解:y′= lim = lim x ? ?x ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x
= lim
?x ?0

?1 1 1 ?1 x ? ( x ? ?x) = lim 2 =- 2 ,即 f(x)= -3 的导函数为 f′(x)= 2 . x x x( x ? ?x)?x ?x?0 x ? x?x x 1 1 1 1 =-1,f(1)= ? =-1,f(5)= ? 2 = ? . 2 2 25 5 1 (?1)

∴f(1)= ?

1

3.解:y′= lim

?x ?0

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) 2( x ? ?x) ? 3 ? (2 x ? 3) = lim =2,即 f(x)=2x-3 的导函 ?x ?0 ?x ?x

数为 f′(x)=2.f′(0)=f′(-1)=f′(3)=2. 4.解:设切点为(x0,y0),则过该点切线斜率为 f′(x0)=2x0, 2 所以 2x0=2,于是 x0=1,y0=x0 =1. 所以切点为(1,1) ,斜率 k=2,切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0.

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? 2( x ? ?x) ? (?2 x) = lim =-2 ? x ? 0 ?x ?x g ( x ? ?x ) ? g ( x ) ? 2( x ? ?x) ? 1 ? (?2 x ? 1) g′(x)= lim = lim =-2. ?x ?0 ? x ? 0 ?x ?x
5.解:f′(x)= lim
?x ?0

导函数的图像如下图.

B组 解:设自变量 x 的改变量为 Δ x,相应函数值的改变量为: 3 3 2 2 Δ y=(x+Δ x) -x =(x+Δ x-x)[(x+Δ x) +(x+Δ x)x+x ] 2 2 =Δ x(3x +3xΔ x+Δ x ); 函数在 x 处的平均变化率:

? y ?x(3x 2 ? 3x?x ? ?x 2 ) 2 2 = =3x +3xΔ x+Δ x ; ?x ?x
函数的导函数为 y′= lim (3x +3xΔ x+Δ x )=3x ,即 y=x 的导函数为 y′=3x .
2 2 2 3 2

?x ?0

STS 费马大定理 300 多年以前,法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理:“设 n 是大于 2 的 n n 正整数, 则不定方程 x +y =z 没有非零整数解.”费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙 的证明,但因书上空白太小,他写不下他的证明.300 多年过去了,不知有多少专业数学家 和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它,但不是无功而返就是进展甚微.这就是纯数学中最 著名的定理——费马大定理. 费马(1601—1665 年)是一位具有传奇色彩的数学家,但他最初学习的法律并以此谋生, 后来成为议会议员, 数学只不过是他的业余爱好, 只能利用闲暇来研究.虽然年近 30 才认真 注意数学, 但费马对数论和微积分作出了重要的贡献.他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何, 同时又是 17 世纪兴起的概率论的探索者之一.费马特别爱好数论, 提出了许多定理, 但费马 只对其中一个定理给出了证明要点,其他定理除一个被证明是错的,一个未被证明外,其余 的陆续被后来的数学家所证实.这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理,因为是 最后一个未被证明对或错的定理,所以又称为费马最后定理. 费马大定理虽然至今仍没有完全被证明,但已经有了很大进展,特别是最近几十年,进 展更快.1976 年瓦格斯塔夫证明了对小于 105 的素数费马大定理都成立.1983 年一位年轻的 n n 德国数学家法尔廷斯证明了不定方程 x +y =z 只能有有限多组解, 他的突出贡献使他在 1986

2

年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖.1993 年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理, 但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正.虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学界 的一致公认, 但大多数数学家认为他证明的思路是正确的.毫无疑问, 这使人们看到了希望.

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