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高考人教版数学(理)大一轮复习精讲课件第9章 第6节 几何概型_图文

第六节 几何概型 1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面 积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简 称几何概型. 2.几何概型的概率公式 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? 易混淆几何概型与古典概型, 两者共同点是基本事件 的发生是等可能的, 不同之处是几何概型的基本事件的个 数是无限的,古典概型中基本事件的个数是有限的. [试一试] 1.在长为 6 m 的木棒 AB 上任取一点 P,使点 P 到木棒两端点 的距离都大于 2 m 的概率是 1 A. 4 1 C. 2 1 B. 3 2 D. 3 ( ) 解析:将木棒三等分,当 P 位于中间一段时,到两端 A,B 2 1 的距离大于 2 m,∴P= = . 6 3 答案:B 2.四边形 ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点, 在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 π A. 4 π B.1- 4 ( ) π π C. D.1- 8 8 解析:如图,要使图中的点到 O 的距离 大于 1,则该点需取在图中阴影部分, π 2- 2 π 故概率为 P= =1- . 2 4 答案:B 几何概型的常见类型的判断方法 (1)与长度有关的几何概型, 其基本事件只与一个连续的变量 有关; (2)与面积有关的几何概型, 其基本事件与两个连续的变量有 关,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标 和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助 平面区域解决问题; (3)与体积有关的几何概型.(方法参见考点二“类题通法”) [练一练] 1.如图所示,边长为 2 的正方形中有一封 闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随 机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概 2 率为 ,则阴影区域的面积为________. 3 S 2 8 解析:设阴影区域的面积为 S,则 = ,∴S= . 3 2×2 3 8 答案: 3 ?x2-4x≤0, ? 2.若不等式组?-1≤y≤2, ?x-y-1≥0, ? 表示的平面区域为 M, (x-4)2+y2≤1 表示的平面区域为 N, 现随机向区域内抛一 粒豆子,则该豆子落在平面区域 N 内的概率是________. 解析:如图所示: π P= = . 1 15 ×?1+4?×3 2 π 答案: 15 1 ×π×12 2 1.(2013· 石家庄模拟)在圆的一条直径上,任取一点作与该 直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角形的 边长的概率为 1 A. 4 1 C. 2 1 B. 3 3 D. 2 ( ) 解析:如图,设圆的半径为 r,圆心为 O, AB 为圆的一条直径, CD 为垂直 AB 的一条 弦,垂足为 M,若 CD 为圆内接正三角形的 r 一条边,则 O 到 CD 的距离为 ,设 EF 为与 CD 平行且到圆 2 r 心 O 距离为 的弦,交直径 AB 于点 N,所以当过 AB 上的点 2 且垂直 AB 的弦的长度超过 CD 时,该点在线段 MN 上变化, r 1 所以所求概率 P= = . 2r 2 答案:C 2.(2013· 北京西城模拟)如图所示,在直角坐标系 内, 射线 OT 落在 30° 角的终边上, 任作一条射 线 OA ,则射线 OA 落在∠ yOT 内的概率为 ________. 解析:如题图,因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布 60 1 的,则 OA 落在∠yOT 内的概率为 = . 360 6 1 答案: 6 3. (2013· 福建高考)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a, 则事件“3a-1>0”发生的概率为________. 1 解析:因为 0≤a≤1,由 3a-1>0 得 <a≤1,由几何概型的概 3 1 1- 3 2 率公式得,事件“3a-1>0”发生的概率为 = . 1 3 2 答案: 3 [类题通法] 求与长度 (角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所 表示的几何模型转化为长度(角度). 然后求解, 要特别注意“长 度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长 度、角度). [ 典例] (2013·深圳二模 )一只小蜜蜂在一个棱长为 4 的 正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安 全飞行”的概率为 A. 1 8 想 1 B. 16 C. 1 27 D. ( 27 64 ) 想 小蜜蜂的“安全飞行”空间 构成什么样的几何体? [解析] ?4-2?3 1 = . 43 8 根据几何概型知识,概率为体积之比,即 P= [答案] A [类题通法] 对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总 体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的 也可利用其对立事件去求. [针对训练] 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCDA1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ( ) π π A. B.1- 12 12 π π C. D.1- 6 6 解析:正方体的体积为:2×2×2=8,以 O 为球心,1 为半径 1 4 3 1 4 2 3 且在正方体内部的半球的体积为: × πr = × π×1 = π, 则 2 3 2 3 3 2 π 3 π 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为:1- =1- . 8 12 答案:B 与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一 .归纳 起来常见的命题角度有: (1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题; (2)与线性规划知识交汇命题的问题; (3)与定积分交汇命题的问题. 角度一 与三角