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1.2.1任意角的三角函数(二)


1.2.1任意角的三角函数
(二)

温故知新
1、任意角的三角函数定义 三角函数(正弦,余弦,正切)都是以角为自变量,以单 位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
(由于角的集合与实数集合之间可以建立一一对应 关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.) 所以三角函数可以记为:

y ? sin x y ? cos x y ? tan x

定义域为R;

π 定义域为 {x | x ? kπ + , k ? Z}. 2

定义域为R;

2、三角函数在象限内的符号 -

(+ )

(+ )

( )

(+ )

( )

-

(+ )

( )

-

( )

-

( )

-

(+ )

(+ )

( )

-

sinα

cosα

tanα

3、公式一(诱导公式)

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? ; cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? ; tan(? ? k ? 2? ) ? tan ? ( k ? z ).
应用 (1)判断符号 ?

(2)求值

? ?? ? ?

例3 确定下列三角函数值的符号:

解: (1)因为 250 ? 是第三象限角,所以cos 250 ? ? 0 ;
(2)因为 tan(?672?) = tan(48? ? 2 ? 360?) ? tan48?, 而 48 ?是第一象限角,所以 tan(?672?) ? 0 ; ? ? 是第四象限角,所以 sin? ? ? ? ? 0 . ? ? (3)因为 4? ? 4

? ?? sin cos (1) 250?(2)tan( ?672?)(3) ? ? ? ? 4?

例4 求下列三角函数值:

9? (1) cos 4

11? ) (2) tan( ? 6

9? ? ? 2 cos ? cos( ? 2? ) ? cos ? 解:(1) 4 4 4 2 11? ? ? ? 3 tan( ? ) ? tan( ? 2? ) ? tan ? tan ? (2) 6 6 6 6 3

例5 求证:当且仅当下列不等式组成立时,

角 ? 为第三象限角.
y y

?sin ? ? 0 ? ? tan ? ? 0
证明:





O

x

O

因为①式sin ? ? 0 成立,所以 ? 角的终边可能位于第三或第四象 x 限,也可能位于y 轴的非正半轴上; 又因为②式 tan ? ? 0 成立,所 以角? 的终边可能位于第一或 第三象限. 所以角θ为第三象限角

sinθ? 0 y

tanθ? 0

O

x

巩固

提高
cos

1. 确定下列三角函数值的符号 4? 16

2. 求下列三角函数值

?

5

?

sin( ?

?
3

3

)

17 tan( ? ? ) 8

?

19? tan ? 3

31? tan( ? )? 4

1

? 11? ? ? 71? ? ? 19? ? 5.求值 cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? tan ? ? ? 3 ? ? 6 ? ? 3 ?

? 11? 5.求值 cos ? ? ? 3

? ? 71? ? sin ? ? ? ? ? 6

? ? 19? ? ? tan ? ? ? 3 ? ? ?

? 11? 解: ? ? cos ? 3

? ? 71? ? ? sin ? ? ? ? 6

? ? 19? ? ? ? tan ? ? 3 ? ? ?

?? ?? ?? ? ? ? ? cos ? ?4? ? ? ? sin ? ?12? ? ? ? tan ? 6? ? ? 3? 6? 3? ? ? ? ? ? ?
? cos 3 6 3 1 1 ? ? ? 3 ? 1? 3 2 2 ? sin ? tan

前面我们学习了任意角的三 角函数,它主要从数上研究了它 们,能否从图形上来研究呢?

思考1:如图,设角α为第一象限角,其终边与 单位圆的交点为P(x,y),则 sin ? ? y ,

cosα = x 都是正数,你能分别用一条线段表
示角α的正弦值和余弦值吗?

y

sinα = y =| MP |
cosα = x =| OM |
O
M

P(x,y)

x

思考2:若角α为第三象限角,其终边与单位圆 sin ? ? y 的交点为P(x,y),则 ,

cos ? ? x 都是负数,此时角α的正弦值和余弦
值分别用哪条线段表示?

y M

sin ? ? y ? ? | MP |
cos ? ? x ? ? | OM |
O x

P(x,y)

思考3:为了简化上述表示,我们设想将线 段的两个端点规定一个为始点,另一个为终 点,使得线段具有方向性,带有正负值符号。 根据实际需要,应如何规定线段的正方向和 负方向?

规定:线段从始点到终点与坐标轴同向 时为正方向,反向时为负方向。

一、有向线段

y
M

y α终边
p(x , y)

o
p(x , y)
α终边

x

o

M

x

象OM、MP这种被看 作带有方向的线段, 叫做有向线段。

我们规定OM与x轴同向时,OM的方向 是正向,x为正值;OM与x轴反向时, OM 的方向是负向,x为负值;无论是那种情况 都有:OM=x=cosα。 我们规定MP与y轴同向时,MP的方向 是正向,y为正值;MP与y轴反向时,MP的 方向是负向,y为负值;无论是那种情况都 有:MP =y=sinα。

二、正弦线、余弦线 设任意角α与单位圆交于点 p(x , y),则r = |op| = 1.

y
p(x , y)
α

sinα= y cosα = x

o

x

因此,p(x , y)坐标也表示为p(cosα , sinα).

p
M

y

y α 终边
p(x , y)

o y
M

x
正弦线

o

M

x

余弦线 x o

y
M

o
p

x
p

三、正切线 过A(1,0)作圆的切线, 称AT为角α的正切线.

y α 终边
p T A x

o

α 终边

p

y

y 过A(1,0)作圆的切线 p

T
α 终边

M

o

A(1,0) x

o

A(1,0) x M

T y T M y

o
α 终边

A(1,0) x

o

M A(1,0) x p
α 终边

p

T

例1:不查表,比较大小。

2? 4? ⑴ sin 和 sin 3 5 2? 4? cos (2) 和 cos 3 5 2? 4? ⑶ tan 和 tan 3 5

例7:不查表,比较大小。

2? 4? ⑴ sin 和 sin 3 5
解: 由图形得到

y 1

2π 4π sin > sin 3 5

o

1x

2? 4? (2)cos 和 cos 3 5
解: 由图形得到

y

1

2π 4π cos > cos 3 5

o

1x

2? 4? ⑶ tan 和 tan 3 5
解: 由图形得到

y 1

2π 4π tan < tan 3 5

o

x

例2

利用单位圆中的三角函数线,求满足下 列条件的角x的集合:
(2)tanθ≥-1;

在0~2π之间满足条件的角x的终边 必须在图中阴影部分内(包括边界), 即π/3≤x≤2π/3,故满足条件的角 x的集合为﹛x▏2k k∈z﹜

1 1 (1) ?|k? ? ? ? ? ? k? ? ? , k ? Z } { 4 2

结论
三角函数线是三角函 数的几何表示,它可 以直观刻画三角函数 的概念与三角函数的 定义结合起来,可以 从数与形两方面认识 三角函数的定义.

1、正弦线

2、余弦线
3、正切线

注意:正弦线、余弦线、正切 线都是有向线段,有正负之分.

课堂练习
1.作出下列各角的正弦线, 余弦线、正切线. (1) 11π/6 ; (2) -2π/3. T y y 1 1 M A(1,0) O 1 x P T -1 M -1 O A(1,0) 1 x

-1



-1

练习

2.利用单位圆中的三角函数线比较大小:
⑴ sin25°__________sin1 < ⑵ cos2π/3_________cos4π/5 > ⑶ tan2π/3_________tan4π/5 <

练习

3. 利用单位圆写出符合下列条件的角α. ⑴ sinθ>-1/2
1 7 {?|2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z } 6 6

⑵ cosθ>-1/2 ⑶ tanθ>1
2 2 {?|2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z } 3 3

1 1 {?|k? ? ? ? ? ? k? ? ? , k ? Z } 4 2

练习

3. 当α为锐角时(单位为弧度), 试利用单位圆
及三角函数线比较α, sinα, tanα的大关系.

sinα<α<tanα

教材习题答案
7π 1 7π 3 7π 3 1.sin = - ,cos = - ,tan = 6 2 6 2 6 3
5 12 5 2.sinθ = ,cosθ = - , tanθ = 13 13 12

4. 当α为钝角时,cosα和tanα取负值。

5.(1)正(2)负(3)零(4)负(5)正(6) 正


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