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高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第讲均值不等式及其应用习题讲义

2017 高考数学一轮复习 第六章 不等式、 推理与证明 第 3 讲 均值不 等式及其应用习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1.下列命题中正确的是 ( 1 A.函数 y=x+ 的最小值为 2 )

x

B.函数 y=

x +3 的最小值为 2 x2+2 x x

2

4 C.函数 y=2-3x- (x>0)的最小值为 2-4 3 4 D.函数 y=2-3x- (x>0)的最大值为 2-4 3 [答案] D 1 [解析] y=x+ 的定义域为{x|x≠0},当 x>0 时,有最小值 2,当 x<0 时,有最大值

x

-2,故 A 项不正确;

y=

x2+3 1 2 = x +2+ 2 ≥2, 2 x +2 x +2
2

∵ x +2≥ 2,∴取不到“=”,故 B 项不正确; 4 ∵x>0 时,3x+ ≥2·

x

4 3x· =4 3,

x

4 2 当且仅当 3x= ,即 x= 3时取“=”, x 3 4 ∴y=2-(3x+ )有最大值 2-4 3,故 C 项不正确,D 项正确.

x

2.若 a,b 均为大于 1 的正数,且 ab=100,则 lga·lgb 的最大值是 ( A.0 C.2 [答案] B [解析] ∵a>1,b>1,∴lga>0,lgb>0. ?lga+lgb? ?lgab? lga·lgb≤ = =1. 4 4 当且仅当 a=b=10 时取等号.
2 2

)

B.1 5 D. 2

1

3.若函数 f(x)=x+ A.1+ 2 C.3 [答案] C

1 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于 ( x-2 B.1+ 3 D.4

)

[解析] 因为 x>2,所以 x-2>0,则

f(x)=x+ =(x-2)+ +2≥2 x-2 x-2
当且仅当 x-2= 1

1

1

?x-2?·

1 +2=4, x-2

x-2

,即 x=3 时取等号.

即当 f(x)取得最小值时,x=3,即 a=3. 1 2 4.(2015·湖南)若实数 a,b 满足 + = ab,则 ab 的最小值为 (

a b

)

A. 2 C.2 2 [答案] C

B.2 D.4

1 2 b+2a [解析] 解法一 由已知得 + = = ab, 且 a>0, b>0, ∴ab ab=b+2a≥2 2

a b

ab

ab,∴ab≥2 2.
1 2 解法二 由题设易知 a>0,b>0,∴ ab= + ≥2 2

a b

ab

,即 ab≥2 2,选 C. )

5.已知 x>0,y>0,且 4xy-x-2y=4,则 xy 的最小值为 ( A. 2 2 B.2 2 D.2

C. 2 [答案] D [解析] ∵x>0,y>0,x+2y≥2 2xy, ∴4xy-(x+2y)≤4xy-2 2xy, ∴4≤4xy-2 2xy, 即( 2xy-2)( 2xy+1)≥0, ∴ 2xy≥2,∴xy≥2.

m 3 1 6.已知 a>0,b>0,若不等式 - - ≤0 恒成立,则 m 的最大值为 ( 3a+b a b
A.4 C.9 B.16 D.3

)

2

[答案] B

m 3 1 3 1 3b [解析] 因为 a>0, b>0, 所以由 - - ≤0 恒成立得 m≤( + )(3a+b)=10+ 3a+b a b a b a
3a 3b 3a + 恒成立. 因为 + ≥2

b

a

b

3b 3a 3b 3a · =6, 当且仅当 a=b 时等号成立, 所以 10+ + ≥16,

a

b

a

b

所以 m≤16,即 m 的最大值为 16,故选 B. 二、填空题 7.点 P(x,y)在直线 x+3y-2=0 上移动,则 z=3 +27 +3 的最小值是________. [答案] 9 [解析] z=3 +27 +3≥2 3 ·27 +3=2 3
x y x y x+3y x y

+3=9.

2y 8x 2 8.(2015·山东师范大学附属中学高三模拟)已知 x>0,y>0,若 + >m +2m 恒成

x

y

立,则实数 m 的取值范围是________. [答案] -4<m<2 2y 8x [解析] 根据题意,x>0,y>0,则 >0, >0,

x

y

2y 8x 所以 + ≥2

x

y

2y 8x 2y 8x × =8 即 + 的最小值为 8.

x

y

x

y



2y 8x 2 2 + >m +2m 恒成立,必有 m +2m<8 恒成立,

x

y

所以 m +2m<8,m +2m-8<0,即-4<m<2. 9.(2015·重庆)设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为________. [答案] 3 2 [ 解 析 ]
2

2

2

(

a+1 +
2

b+3 )2 = a + b + 4 + 2

a+1 ·

b+3 ≤9 +

? a+1? +? b+3? 2· =9+a+b+4=18,所以 a+1+ b+3≤3 2,当且仅当 a+1 2 7 3 =b+3 且 a+b=5,即 a= ,b= 时等号成立.所以 a+1+ b+3的最大值为 3 2. 2 2 10.已知 a>b>0,则 a + [答案] 16 64 2 [分析] 由 b(a-b)求出最大值,从而去掉 b,再由 a + 2 ,求出最小值.
2

16

b?a-b?

的最小值为________.

a

[解析] ∵a>b>0,∴a-b>0. ∴b(a-b)≤[

b+?a-b?
2

]= . 4

2

a2

3

∴a +

2

16

b?a-b? a

64 2 ≥a + 2 ≥2

a

a2· 2 =16. a

64

64 2 当 a = 2 且 b=a-b,即 a=2 2,b= 2时等号成立. ∴a +
2

16 的最小值为 16. b?a-b?

三、解答题 11.(1)已知 a,b,c∈R,求证:a +b +c ≥a b +b c +c a ≥abc(a+b+c). 1 1 1 (2)已知 a,b,c∈(0,+∞),且 a+b+c=1,求证: + + ≥9.
4 4 4 2 2 2 2 2 2

a b c
2 2

[证明] (1)∵a +b ≥2a b ,b +c ≥2b c ,c +a ≥2c a , ∴2(a +b +c )≥2(a b +b c +c a ). 即 a +b +c ≥a b +b c +c a . 又 a b +b c ≥2ab c,b c +c a ≥2abc ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2

4

4

2 2

4

4

2 2

4

4

c2a2+a2b2≥2a2bc,
∴2(a b +b c +c a )≥2(ab c+abc +a bc). 即 a b +b c +c a ≥ab c+abc +a bc=abc(a+b+c). (2)∵a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴ + + = + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b c

a

b

c

=3+ + + + + +

b c a c a b a a b b c c b a a b c a a c c b b c

=3+( + )+( + )+( + ) ≥3+2+2+2=9. 1 当且仅当 a=b=c= 时,取等号. 3 12.(2015·浙江嘉兴调研)围建一个面积为 360 m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利 用旧墙(利用旧墙需维修), 其他三面围墙要新建, 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧 墙的长度为 x(x>0)(单位:米).
2

(1)将总费用 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求最小总费用.

4

360 [答案] (1)y=225x+ -360(x>0) (2)x=24 m 时最小费用为 10440 元

2

x

[解析] (1)设矩形的另一边长为 a m, 则 y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360. 360 由已知 xa=360,得 a= ,

x

360 ∴y=225x+ -360(x>0).

2

x

360 2 (2)∵x>0,∴225x+ ≥2 225×360 =10 800,

2

x

360 ∴y=225x+ -360≥10 440.

2

x

360 当且仅当 225x= 时,等号成立.

2

x

即当 x=24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10 440 元. B 组 能力提升 1.(2015·河北“五个一名校联盟”高三质量监测)函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且

a≠1)的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+2=0 上,其中 m>0,n>0,则 + 的最小 m n
值为 ( ) B.4 9 D. 2

2

1

A.2 2 C. 5 2

[答案] D [解析] 由函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的解析式知,当 x=-2 时,y=-1, 所以 A 点的坐标为(-2,-1),又点 A 在直线 mx+ny+2=0 上,所以-2m-n+2=0,即 2m 2 1 2m+n 2m+n n m 1 5 9 2 +n=2, 所以 + = + =2+ + + ≥ +2= , 当且仅当 m=n= 时等号成立. 所 m n m 2n m n 2 2 2 3 2 1 9 以 + 的最小值为 ,故选 D. m n 2 2.若不等式 1 A.[ ,1] 6 1 4 C.[ , ] 6 13 [答案] D

t+2 ≤a≤ 2 在 t∈(0,2]上恒成立,则 a 的取值范围是 ( t +9 t
2

t

)

1 B.[ ,2 2] 6 2 D.[ ,1] 13

5

[解析]

= t +9
2

t

9 9 9 13 t 1 , 而 y=t+ 在(0,2]上单调递减, 故 t+ ≥2+ = , 2 = 9 t t 2 2 t +9 9 t+ t+ 1

t

t

2 t+2 1 2 1 1 2 1 1 1 t+2 1 2 ≤ (当且仅当 t=2 时等号成立), 2 = + 2=2( + ) - ,因为 ≥ ,所以 2 = + 2 13 t t t t 4 8 t 2 t t t 1 1 2 1 2 =2( + ) - ≥1(当且仅当 t=2 时等号成立),故 a 的取值范围为[ ,1]. t 4 8 13 1 1 4 16 3.(2015·江西南昌市高三调研)若正数 a,b 满足 + =1,则 + 的最小值为 a b a-1 b-1 ( ) A.16 C.36 [答案] A 1 1 [解析] 因为 a,b>0, + =1,所以 a+b=ab, B.25 D.49

a b

所以

4

a-1 b-1



16

4?b-1?+16?a-1? 4b+16a-20 = = =4b+16a-20. ?a-1??b-1? ab-?a+b?+1

1 1 b 4a 又 4b+16a=4(b+4a)=4(b+4a)( + )=20+4( + )≥20+4×2

a b

a

b

b 4a · =36, a b

当且仅当 = 所以 4 +

b 4a 1 1 3 且 + =1,即 a= ,b=3 时取等号. a b a b 2
16 ≥36-20=16.

a-1 b-1

4.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0,求 (1)xy 的最小值; (2)x+y 的最小值. [答案] (1)64 (2)18 8 2 [解析] (1)由 2x+8y-xy=0,得 + =1,

x y

又 x>0,y>0, 8 2 则 1= + ≥2

x y

8 2 8 · = ,得 xy≥64,

x y

xy

当且仅当 x=16,y=4 时,等号成立. 所以 xy 的最小值为 64. 8 2 (2)由 2x+8y-xy=0,得 + =1,

x y

8 2 2x 8y 则 x+y=( + )·(x+y)=10+ +

x y

y

x

6

≥10+2

2x 8y · =18.

y

x

当且仅当 x=12 且 y=6 时等号成立, ∴x+y 的最小值为 18. 5.(2015·江苏徐州质检)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境,计划建 一个正八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的 面积为 200 m 的十字形区域.现计划在正方形 MNPQ 上建一花坛,造价为 4 200 元/m ,在四 个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩,造价为 210 元/m ,再在四个空角上铺草坪,造价 为 80 元/m .
2 2 2 2

(1)设总造价为 S 元,AD 的长为 x m,试建立 S 关于 x 的函数关系式; (2)计划至少投入多少元,才能建造这个休闲小区? 400 000 2 [答案] (1)S=38 000+4 000x + (0<x<10 2) 2

x

(2)至少投入 118000 元

[解析] (1)设 DQ=y,则 x +4xy=200, 200-x 所以 y= . 4x
2

2

S=4 200x2+210×4xy+80×4× y2
400 000 2 =38 000+4 000x + (0<x<10 2). 2

1 2

x

400 000 2 8 (2)S=38 000+4 000x + ≥38 000+2 16×10 =118 000, 2

x

400 000 2 当且仅当 4 000x = ,即 x= 10时, 2

x

Smin=118 000(元).
故计划至少要投入 11.8 万元才能建造这个休闲小区.

7


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