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【解析分类汇编系列一:北京2013高三(期末)理数】:9.圆锥曲线


【解析分类汇编系列一:北京 2013 高三期末】 圆锥曲线 :9
一、选择题 1. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)已知抛物线 y
2

? 2 px 的焦点 F 与

双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且 7 9
( C.16 D.32 )

| AK |? 2 | AF | ,则△ AFK 的面积为
A.4 【答案】D B.8

【解析】双曲线的右焦点为 (4, 0) ,抛物线的焦点为 (

p p , 0) ,所以 ? 4 ,即 p ? 8 。所以抛 2 2

物 线 方 程 为 y 2 ? 16 x , 焦 点 F (4, 0) , 准 线 方 程 x ? ?4 , 即 K (? 4 , 0 ) 设 A( ,

y2 , y) , 16

过 A 做 AM 垂 直 于 准 线 于 M, 由 抛 物 线 的 定 义 可 知

AM ? AF ,所以 AK ? 2 AF ? 2 AM ,即 AM ? MK ,所以
y 2 ?16 y ? 64 ? 0 ,即 ( y ? 8)2 ? 0 ,所以 y ? 8 ,所以 S ?AFK ?
D.

y2 ? (?4) ? y , 整理得 16

1 1 KF y ? ? 8 ? 8 ? 32 ,选 2 2

2. (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)方程 x

2

? xy ? x 的曲线是





A.一个点 【答案】C

B.一条直线

C.两条直线

D.一个点和一条直线

【解析】由 x ? xy ? x 得 x( x ? y ? 1) ? 0 ,即 x ? 0或x ? y ? 1 ? 0 ,为两条直线,选 C.
2

3 . 北 京 市 海 淀 区 北 师 特 学 校 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 理 科 数 学 ) 已 知 双 曲 线 (

x2 y 2 O ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) , 过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M , N 两点, a 2 b2

为坐标原点.若 OM ? ON ,则双曲线的离心率为 A.

( D.



?1 ? 3 2

B.

1? 3 2

C.

?1 ? 5 2

1? 5 2

【答案】D 【解析】由题意知三角形 OMN 为等腰直角三角形,所以 MF ? OF ? c ,所以点 M (c, c) ,

c2 c2 c2 y 2 b2 b2 ?c, 代入双曲线方程 2 ? 2 ? 1 ,当 x ? c 时, 2 ? 2 ? 1 ,得 y ? ,所以由 y ? a b a b a a
的 b 2 ? ac ,即 c2 ? a2 ? ac, c2 ? ac ? a2 ? 0 ,所以 e2 ? e ? 1 ? 0 ,解得离心率 e ?

1? 5 , 2

选 D.
4 . (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和

直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 (
2



A.

3 5 5

B. 2

C.

11 5

D. 3

【答案】B 【 解析】 因为抛物线的方程为 y 2 ? 4 x , 所以焦点坐标 F (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 。 所以设 P 到准线的距离为 PB ,则 PB ? PF 。 P 到直线 l : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离为 PA , 1 所以 PA ? PB ? PA? PF ? FD ,其中 FD 为焦点到直线 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离,所以

FD ?

4?0?6 32 ? 42

?

10 ?2 , 所 以 距 离 之 和 最 小 值 是 5

2 , 选

B.

5( 北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知双曲线的中心在原点,一个焦

点为 F1 (? 5,0) ,点 P 在双曲线上,且线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ,则此双曲线的方程 是 A. ( )

x2 ? y2 ? 1 4

B. x ?
2

y2 ?1 4

C.

x2 y2 ? ?1 2 3

D.

x2 y2 ? ?1 3 2

【答案】B 【解析】由双曲线的焦点可知 c ? 5 ,线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ,所以设右焦点为 F2 , 则有 PF2 ? x ,且 PF2 ? 4 ,点 P 在双曲线右支上。所以 PF1 ?
2 2 2

(2 5) 2 ? 42 ? 36 ? 6 ,

所 以 PF ? PF2 ? 6 ? 4 ? 2 ? 2a , 所 以 a ? 1, b ? c ? a ? 4, 所 以 双 曲 线 的 方 程 为 1

x2 ?

y2 ? 1 ,选 B. 4
C: x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) a 2 b2 的左

6( 北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )椭圆

右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ,使得 ?F1F2 P 为等腰三角形, 则椭圆 C 的离心率的取值范围是( )

1 2 ( , ) A. 3 3
【答案】D

1 ( ,1) B. 2

2 ( ,1) C. 3

1 1 1 ( , ) ? ( ,1) 3 2 2 D.

【解析】当点 P 位于椭圆的两个短轴端点时, ?F1F2 P 为等腰三角形,此时有 2 个。

, 若 点 不 在 短 轴 的 端 点 时 , 要 使 ?F1F2 P 为 等 腰 三 角 形 , 则 有

P F ? F F? 2 或 PF2 ? F1F2 ? 2c 。此时 PF2 ? 2a ? 2c 。所以有 PF1 ? F1 F2 ? PF2 ,即 c 1 1 2
c 1 ? , 又当点 P 不在短轴上, 所以 PF ? BF , 2c ? a , 1 1 即 a 3 1 1 1 ( , ) ? ( ,1) 1 1 c 1 2 ,所以选 D. 所以 ? 。所以椭圆的离心率满足 ? e ? 1 且 e ? ,即 3 2 3 2 a 2

2c ? 2c ? 2a ? 2c , 所以 3c ? a , 即

二、填空题 7. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 )若双

曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 y ? 3 x 无交点, 则离心率 e 的取值范围是 a 2 b2

.

【答案】 (1,2] 【KS5U 解析】双曲线的渐近线方程为 y ? ?

b x ,要使双曲线与直线 y ? 3x 无交点,则 a b c ? 3 ,即 b ? 3a ,所以 b2 ? 3a 2 ,即 c2 ?a2 ? 3 2 ,c2 ? 4a 2 , c ? 2a ,所以 ? 2 , a a a

即离心率的取值范围是 1 ? e ? 2 ,即 (1,2] 。

8. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦 4 2

点是 F , F2 ,点 P 在该椭圆上.若 | PF | ? | PF2 | ? 2 ,则△ PF F2 的面积是______. 1 1 1 【答案】 2 【 解 析 】 由 椭 圆 的 方 程 可 知 a ? 2, c ? 2 , 且 | PF | ? | PF2 | ? 2a ? 4 , 所 以 解 得 1
2 2 又 所以有 | PF1 | ?| PF2 | ? F1 F2 , 即三角形 PF2 F | PF1 |? 3,| PF2 | ? 1 , | F1F2 | ? 2c ? 2 2 , 1 2

为直角三角形,所以△ PF F2 的面积 S ? ? 1

1 1 F1 F2 PF2 ? ? 2 2 ?1 ? 2 。 2 2

9. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷)在平面直角坐标系 xOy 中,设抛物线

y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l, P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足.如果直线 AF 的

倾斜角为 120 ? ,那么 PF ? _______.
【答案】4

【解析】抛物线的焦点坐标为 F (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 .因为直线 AF 的倾斜角为 120 ? ,所 以 ?AFO ? 600 , 又 tan 60 ?
?

yA , 所 以 yA ? 2 3 . 因 为 PA ? l , 所 以 1 ? (?1)

yP ? yA ? 2 3 ,代入 y 2 ? 4 x ,得 xA ? 3 ,所以 PF ? PA ? 3 ? (?1) ? 4 .
10. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )以双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 9 16

圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是 【答案】 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 16 【解析】双曲线的渐近线为 y ? ?

_____.

4 4 x ,不妨取 y ? x ,即 4 x ? 3 y ? 0 。双曲线的右焦点为 3 3

(5, 0) ,圆心到直线 4 x ? 3 y ? 0 的距离为 d ?
标准方程为 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 16 。

4?5 32 ? 42

? 4 ,即圆的半径为 4,所以所求圆的

11. 北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) y ? ? x 为渐近线且经过点 (2, 0) ( 以

的双曲线方程为______. 【答案】

x2 y 2 ? ?1 4 4

【解析】因为双曲线经过点 (2, 0) ,所以双曲线的焦点在 x 轴,且 a ? 2 ,又双曲线的渐近线 为 y ? ? x ,所以双曲线为等轴双曲线,即 b ? a ? 2 ,所以双曲线的方程为

x2 y 2 ? ?1。 4 4

12.(北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知定点 A 的坐标为 (1, 4) ,点

F 是双曲线 为 【答案】9

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,点 P 是双曲线右支上的动点,则 PF ? PA 的最小值 4 12


【解析】由双曲线的方程可知 a ? 2 ,设右焦点为 F1 ,则 F (4,0) 。 PF ? PF ? 2a ? 4 ,即 1 1

PF ? PF1 ? 4 ,所以 PF ? PA ? PF1 ? PA ? 4 ? AF1 ? 4 ,当且仅当 A, P, F1
共线时取等号,此时 AF1 ?

三 点

(4 ? 1) 2 ? 42 ? 25 ? 5 ,所以 PF ? PA ? AF1 ? 4 ? 9 ,即

PF ? PA 的最小值为 9.
三、解答题 13.(北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 )(本小

题满分 14 分) 已知平面内一动点 P 到点 F (0,1) 的距离与点 P 到 x 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 ,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A, B ,l2 与 轨迹 C 相交于点 D, E ,求 AD? EB 的最小值.

【答案】 (1)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意得 化简得 x ? 2 y ? 2 y
2

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? y ? 1

……………2 分

当 y ? 0 时 x 2 ? 4 y ;当 y ? 0 时 x ? 0
2 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x ? 4 y 和 x ? 0 ( y ? 0 )

………………………5 分

(2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k ,则 l1 的方程为 y ? kx ? 1 . 由 ?

? y ? kx ? 1 得x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 x2 ? 4y ?

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则

x1 ? x 2 ? 4k , x1 x 2 ? ?4 , y1 ? y2 ? 4k 2 ? 2, y1 y2 ? 1
分 因为 l1 ? l2 ,所以 l2 的斜率为 ?

…………………………7

1 .设 D( x3 , y3 ), E ( x4 , y4 ) ,则同理可得 k 4 4 x 3 ? x 4 ? ? , x 3 x 4 ? ?4 , y3 ? y4 ? 2 ? 2, y3 y4 ? 1 …………………………8 分 k k

AD ? EB ? ( AF ? FD) ? ( EF ? FB) ? AF ? EF ? FD ? EF ? AF ? FB ? FD ? FB ? FD ? EF ? AF ? FB ? FD EF ? AF FB ? ( y3 ? 1)( y 4 ? 1) ? ( y1 ? 1)( y 2 ? 1)

? y3 y4 ? ( y3 ? y4 ) ? 1 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1
? 8 ? 4k 2 ?

…………………………………11 分

4 1 ? 8 ? 4(k 2 ? 2 ) ? 8 ? 4 ? 2 ? 16 2 ……………………………13 分 k k ???? ??? ? 1 2 当且仅当 k ? 2 即 k ? ?1 时, AD ? EB 取最小值 16. …………………………14 分 k
14 . 北 京 市 东 城 区 普 通 校 2013 届 高 三 3 月 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ( )已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 . 2 3 a b
(I)若原点到直线 x ? y ? b ? 0 的距离为 2 , 求椭圆的方程; (II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为 45? 的直线和椭圆交于 A,B 两点. (i)当 | AB |?

3 ,求 b 的值;

(ii)对于椭圆上任一点 M,若 OM ? ? OA ? ? OB ,求实数 ? , ? 满足的关系式. 【答案】 (I)? d ?

b 2

? 2

?b ? 2
2 2 a 3

?e ?
2

c 6 ? a 3
2

?

c2 2 ? a2 3

? a2 ? b2 ? c2

?a2 ? 4 ?

解得 a ? 12, b ? 4.

x2 y2 椭圆的方程为 ? ? 1. 12 4
(II) ? ? (i)∵e

…………………………4 分

c 2

6 2 ,? a 2 ? 3b 2 , c 2 ? a 2 ? 2b 2 . 椭圆的方程可化为: 3 3
① ②

x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2

易知右焦点 F ( 2b,0) ,据题意有 AB: y ? x ? 2b 由①,②有: 4 x ? 6 2bx ? 3b ? 0
2 2



设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,

| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? 12 )

72b 2 ? 48b 2 24b 2 ? 2 ? 2 ? 3b ? 3 2 4 4
………………………8 分

?b ? 1

(2) (ii)显然 OA 与 OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一 平面内的向量 OM ,有且只有一对实数λ ,μ ,使得等 OM ? ? OA ? ? OB 成立. 设 M(x,y) ,

? ( x, y ) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x 2 , y 2 ),? x ? ?x1 ? ?x 2 , y ? ?y1 ? ?y 2 ,
又点 M 在椭圆上,? (?x1 ? ?x 2 ) ? 3(?y1 ? ?y 2 ) ? 3b
2 2 2



由③有: x1 ? x 2 ?

3 2b 3b 2 , x1 x 2 ? 2 4

则 x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x 2 ? 3( x1 ? 2b)( x 2 ? 2b) ? 4 x1 x 2 ? 3 2b( x1 ? x 2 ) ? 6b 2

3b 2 ? 9b 2 ? 6b 2 ? 0
2


2 2 2 2 2

又 A,B 在椭圆上,故有 x1 ? 3 y1 ? 3b , x 2 ? 3 y 2 ? 3b 将⑥,⑤代入④可得: ? ? ? ? 1.
2 2



……………………14 分

15.(北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)在平面直角坐标系 xOy 中,动点

P 到两点 (? 3 , , ( 3 , 的距离之和等于 4 ,设点 P 的轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 0) 0)

E (?1, 0 )且与曲线 C 交于 A , B 两点.
(Ⅰ)求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ)是否存在△ AOB 面积的最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说明 理由. 【答案】 (Ⅰ)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (? 3 , , ( 3 , 为焦点,长半轴长为 0) 0)

2 的椭圆.……………………………………………………………………………3 分

x2 ? y 2 ? 1. …………………………………………………5 分 故曲线 C 的方程为 4
(Ⅱ)存在△ AOB 面积的最大值. …………………………………………………6 分 因为直线 l 过点 E (?1, 0 ) ,可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 或 y ? 0 (舍) .

? x2 ? ? y 2 ? 1, 则? 4 ? x ? my ? 1. ?
整理得 (m2 ? 4) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 .…………………………………7 分 由 ? ? (2m)2 ? 12(m2 ? 4) ? 0 . 设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .

解得

y1 ?

m ? 2 m2 ? 3 , m2 ? 4

y2 ?

m ? 2 m2 ? 3 . m2 ? 4

2 则 | y2 ? y1 |? 4 m ? 3 . m2 ? 4 因为 S ?AOB ? 1 OE ? y1 ? y2 2

?

2 m2 ? 3 2 ? 2 m ?4 m2 ? 3 ?

. ………………………10 分
1 m2 ? 3
2

设 g (t ) ? t ? , t ? m ? 3 , t ? 3 . 则 g (t ) 在区间 [ 3, ??) 上为增函数. 所以 g (t ) ?

1 t

4 3 . 3
3 3 ,当且仅当 m ? 0 时取等号,即 ( S ?AOB ) max ? . 2 2 3 . ………………………………………………………………13 分 2

所以 S?AOB ?

所以 S?AOB 的最大值为

16. ( 北 京 市 海 淀 区 北 师 特 学 校 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 理 科 数 学 ) 已 知 椭 圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,左焦点 F (? 3,0) ,且离心率 e ? 2 2 a b
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ( M , N 不是左、右顶 点) ,且以 MN 为直径的圆经过椭圆 C 的右顶点 A.求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐

标.

?c ? 3 ? c 3 ? 【答案】 (Ⅰ)由题意可知: ?e ? ? a 2 ? 2 2 ?a ? b ? c 2 ?
解得 a ? 2, b ? 1

……1 分

………2 分

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆的方程为: 4
? x2 ? ? y2 ? 1 (II)证明:由方程组 ? 4 ? y ? kx ? m ?

……3 分

得( ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 4 ? 0 …4 分 1

? ? (8km) 2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m 2 ? 4) ? 0
整理得 4k 2 ? m 2 ? 1 ? 0 设 M ( x1 , x2 ), N ( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ? ? ………..5 分

8km 4m 2 ? 4 , x1 x 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

…….6 分

由已知, AM ? AN 且椭圆的右顶点为 A(2,0)

………7 分 ……… 8分

? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 ? 0

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2
即 (1 ? k ) x1 x2 ? (km ? 2)(x1 ? x2 ) ? m ? 4 ? 0
2 2

也即 (1 ? k )) ?
2

4m 2 ? 4 ? 8km ? (km ? 2) ? ? m2 ? 4 ? 0 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

…… 10 分

2 2 整理得: 5m ? 16mk ? 12k ? 0

……11 分 ……12 分

解得 m ? ?2k或m ? ? 当 分

6k 2 2 均满足 4k ? m ? 1 ? 0 5

m ? ?2k 时,直线的 l 方程为 y ? kx ? 2k ,过定点(2,0)与题意矛盾舍去……13

6k 6 6 时,直线的 l 方程为 y ? k ( x ? ) ,过定点 ( ,0 ) 5 5 5 6 故直线 l 过定点,且定点的坐标为 ( ,0 ) 5
当m ? ?

…….14 分

17.(北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)如图,已知抛物线 y

2

? 4x 的焦

点为 F .过点 P(2, 0) 的直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) ,

B( x2 , y2 ) 两点,直线 AF , BF 分别与抛物线交于点 M , N .
(Ⅰ)求 y1 y2 的值; (Ⅱ)记直线 MN 的斜率为 k1 ,直线 AB 的斜率为 k2 .证明: 定值. 【答案】 (Ⅰ) 依题意, 解: 设直线 AB 的方程为 x ? my ? 2 . 1分 将其代入 y 2 ? 4 x ,消去 x ,整理得 y 2 ? 4my ? 8 ? 0 . 从而 y1 y2 ? ?8 . (Ⅱ)证明:设 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y4 ) . ………………4 分 ………………5 分 ………………

k1 为 k2

y12 y2 2 ? y ? y4 x1 ? x2 y3 ? y4 k 4 ? y1 ? y2 . 则 1 ? 3 ? ? 2 ? 4 2 k2 x3 ? x4 y1 ? y2 y3 y1 ? y2 y3 ? y4 y ? 4 4 4
设直线 AM 的方程为 x ? ny ? 1 ,将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,
2

………………7 分

整理得 y ? 4ny ? 4 ? 0 .
2

………………9 分 ………………10 分 ………………11 分

所以 y1 y3 ? ?4 . 同理可得 y2 y4 ? ?4 . 故

k1 y1 ? y2 y ? y2 yy ? ? 1 ? 1 2. k2 y3 ? y4 ?4 ? ?4 ?4 y1 y2

………………13 分

由(Ⅰ)得

k1 ? 2 ,为定值. k2

………………14 分

18 . 北 京 市 顺 义 区 2013 届 高 三 第 一 次 统 练 数 学 理 科 试 卷 ( 解 析 ) 已 知 椭 圆 ( )

C:

x2 ? y 2 ? 1?a ? 1? 的 上 顶 点 为 A , 左 焦 点 为 F , 直 线 AF 与 圆 2 a

1? ? M : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 相切.过点 ? 0,? ? 的直线与椭圆 C 交于 P, Q 两点. 2? ?
(I)求椭圆 C 的方程; (II)当 ?APQ 的面积达到最大时,求直线的方程. 【 答 案 】 (I) 将 圆 M 的 一 般 方 程 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 化 为 标 准 方 程
2 2

?x ? 3?2 ? ? y ? 1?2

? 3 , 则 圆 M 的 圆 心 M ?? 3,1? , 半 径 r ? 3 . 由

A?0,1?, F ?? c,0 ? c ? a 2 ? 1 得直线 AF 的方程为 x ? cy ? c ? 0 .
由直线 AF 与圆 M 相切,得

?

?

?3?c ?c 1? c2

? 3,

所以 c ? 当c ?

2 或 c ? ? 2 (舍去). 2 时, a 2 ? c 2 ? 1 ? 3 ,

x2 故椭圆 C 的方程为 ? y2 ? 1 3
(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为 k , 则直线的方程为 y ? kx ? 因为点 ? 0,?

1 . 2

? ?

1? ? 在椭圆内, 2?

所以对任意 k ? R ,直线都与椭圆 C 交于不同的两点.

1 ? ? y ? kx ? 2 , 9 ? 由? 2 得 ?1 ? 3k 2 ?x 2 ? 3kx ? ? 0 . 4 ? x ? y2 ? 1 ? 3 ?

设点 P, Q 的坐标分别为 ? x1 , y1 ?, ? x 2 , y 2 ? ,则

y1 ? kx1 ?
所以 PQ ?

1 1 3k 9 , , y 2 ? kx 2 ? , x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? ? 2 2 2 1 ? 3k 4 1 ? 3k 2

?

?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2
1

?
?

?1 ? k ???x
2

? x 2 ? ? 4 x1 x 2
2

?

3 1 ? k 2 1 ? 4k 2 . 1 ? 3k 2

?

??

?

又因为点 A?0,1? 到直线 y ? kx ?

3 1 的距离 d ? , 2 2 k 2 ?1

所以 ?APQ 的面积为 S ? 设t ?

1 9 1 ? 4k 2 PQ ? d ? 2 4 1 ? 3k 2

?

?

1 1 1 ,则 0 ? t ? 1 且 k 2 ? ? , 2 3t 3 1 ? 3k

9 4 1 9 S ? t? ? ? 4 3t 3 4
因为 0 ? t ? 1 ,

4t t 2 9 1 4 2 ? ? ? ?t ? 2 ? ? . 3 3 4 3 3

所以当 t ? 1 时, ?APQ 的面积 S 达到最大, 此时

1 ? 1 ,即 k ? 0 . 1 ? 3k 2 1 2

故当 ?APQ 的面积达到最大时,直线的方程为 y ? ?

19.(北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )已知椭圆的中心在原点 O ,短 半轴的端点到其右焦点 F ? 2,0? 的距离为 10 ,过焦点 F 作直线,交椭圆于 A, B 两点. (Ⅰ)求这个椭圆的标准方程; (Ⅱ)若椭圆上有一点 C ,使四边形 AOBC 恰好为平行四边形,求直线的斜率. 【答案】 (Ⅰ)由已知,可设椭圆方程为 则 a ? 10 , c ? 2 . 所以

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,…………………… 1 分 a 2 b2

…………………………………………2 分

b ? a2 ? c2 ? 10 ? 4 ? 6 , …………………………………3 分

所以 椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 . …………………………………………4 分 10 6

(Ⅱ)若直线 l ? x 轴,则平行四边形 AOBC 中,点 C 与点 O 关于直线对称,此时点 C 坐 标 为 ? 2c , 0 . 因 为 2c ? a ? 直. ,所以点 C 在椭圆外,所以直线与 x 轴不垂

…………………………………………6 分

于是,设直线的方程为 y ? k ? x ? 2? ,点 A ? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , …7 分

? x2 y 2 ? ? 1, ? 2 2 2 2 则 ? 10 6 整理得, ? 3 ? 5k ? x ? 20k x ? 20k ? 30 ? 0 … 8 分 ? y ? k ? x ? 2? , ?
x1 ? x2 ?
所以

20k 2 , 3 ? 5k 2

………………………………………… 9 分

12k . ……………………………………… 10 分 3 ? 5k 2 因为 四边形 AOBC 为平行四边形, ??? ??? ??? ? ? ? 所以 OA ? OB ? OC , ……………………………………… 11 分 y1 ? y2 ? ?
所以 点 C 的坐标为 ?
2

? 20k 2 12k ? ,? ? , ……………………………12 分 2 3 ? 5k 2 ? ? 3 ? 5k

所以

? 20k 2 ? ? 12k ?2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 3 ? 5k ? ? ? 3 ? 5k ? ? 1 , 10 6

……………………………13 分

2 解得 k ? 1 ,

所以 k ? ?1 .

………………………………14 分

20. (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题

)曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对

称中心、离心率相等的椭圆.点 M 的坐标是(0,1) ,线段 MN 是 C1 的短轴,是 C2 的长轴. 直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两点(A 在 D 的左侧) ,与 C2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) . (Ⅰ)当 m=

5 3 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程; 4 2

(Ⅱ)若 OB∥AN,求离心率 e 的取值范围.

【答案】 (Ⅰ)设 C1 的方程为

x2 x2 ? y 2 ? 1 ,C2 的方程为 2 ? y 2 ? 1,其中 a ? 1, 0 ? b ? 1 ...2 分 a2 b a2 ?1 ? 1 ? b 2 ,所以 ab ? 1 ,……………………….…3 分 a2

? C1 ,C2 的离心率相同,所以

? C2 的方程为 a2 x2 ? y2 ? 1 .
当 m=

3 a 3 1 3 时,A (? , ) ,C ( , ) . .………………………………………….5 分 2 2 2 2a 2
5 1 1 a 5 ? ? ,解得 a=2 或 a= (舍), ………….…………..6 分 ,所以, 4 2 2a 2 4

又? AC ?

? C1 ,C2 的方程分别为
2

x2 ? y 2 ? 1, 4 x2 ? y 2 ? 1 .………………………………….7 分 4
1 1 ? m 2 ,m) . …………………………………………9 分 a

(Ⅱ)A(- a 1 ? m ,m), B(-

? OB∥AN,? kOB ? k AN ,
?

m ? 1 1 ? m2 a

?

m ?1 ?a 1 ? m 2

,? m ?

1 . …………………………………….11 分 a ?1
2

e2 ?

a2 ?1 1 ? e2 1 2 ,? a ? ,? m ? . ………………………………………12 分 1 ? e2 a2 e2 1 ? e2 2 ? 1,? ? e ? 1 ...................................13 分 2 e 2

? 0 ? m ? 1 ,? 0 ?

21.(北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) (本小题满分 13 分)已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴, 离心率为 (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB, 其中点 P 在椭圆 M 上, O 为坐标原点. 求点 O 到直线 l 的距离的最小值.

2 , 且抛物线 y 2 ? 4 2 x 的焦点是椭圆 M 的一个焦点. 2

x2 y 2 【答案】 (I)由已知抛物线的焦点为 ( 2,0) ,故设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b
则c ?

2,由e ?

x2 y 2 2 ? 1. ……5 分 , 得a ? 2, b2 ? 2. 所以椭圆 M 的方程为 ? 4 2 2

(II)当直线 l 斜率存在时,设直线方程为 y ? kx ? m , 则由 ?

? y ? kx ? m, ? x2 y 2 ? 1. ? ? ?4 2
…………………6 分

消去 y 得, (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 4 ? 0 ,

? ? 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 4) ? 8(2 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 , ①…………7 分
设 A、B、P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、x2 , y2 )、x0 , y0 ) ,则: ( (

x0 ? x1 ? x2 ? ?

4km 2m , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? …………8 分 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ,
2 2 x0 y0 ? ?1 . 4 2

由于点 P 在椭圆 M 上,所以

……… 9 分

从而

4k 2 m2 2m2 ? ? 1 ,化简得 2m2 ? 1 ? 2k 2 ,经检验满足①式. 2 2 2 2 (1 ? 2k ) (1 ? 2k )

………10 分 又点 O 到直线 l 的距离为:

1 2 ?k 1 1 2 2 d? ? ? 1? ? 1? ? 2 2(1 ? k ) 2 2 1? k 2 1? k 2 |m|
当且仅当 k ? 0 时等号成立 当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上,

………11 分 ………12 分

从而点 P 的坐标为 (?2,0)或(2,0) ,直线 l 的方程为 x ? ?1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1 . 所以点 O 到直线 l 的距离最小值为

2 . 2

………13 分

22. ( 北 京 市 朝 阳 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 理 试 题 ) 已 知 点 A 是 椭 圆

x2 y 2 C: ? ? 1? t ? 0 ? 的左顶点,直线 l : x ? my ? 1(m ?R) 与椭圆 C 相交于 E , F 两点, 9 t
与 x 轴相交于点 B .且当 m ? 0 时,△ AEF 的面积为

16 . 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 AE , AF 与直线 x ? 3 分别交于 M , N 两点,试判断以 MN 为直径的圆 是否经过点 B ?并请说明理由. 【答案】 (Ⅰ)当 m ? 0 时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,设点 E 在 x 轴上方,

? x2 y 2 ? 1, 2 2t 2 2t 4 2t ? ? 由? 9 解得 E (1, . ), F (1, ? ) ,所以 EF ? t 3 3 3 ? x ?1 ?
因为△ AEF 的面积为

1 4 2t 16 ? 4? ? ,解得 t ? 2 . 2 3 3
…………………………………………………4 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 9 2

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 (Ⅱ)由 ? 9 得 (2m ? 9) y ? 4my ?16 ? 0 ,显然 m ? R .…… ………5 分 2 ? x ? my ? 1 ?
设 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ?

?4m ?16 , y1 y2 ? ,………………………………………………6 分 2 2m ? 9 2m 2 ? 9

x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 .

y1 ? ( x ? 3), y1 6 y1 ?y ? x1 ? 3 又直线 AE 的方程为 y ? 解得 M (3, ( x ? 3) ,由 ? ), x1 ? 3 x1 ? 3 ? x?3 ?
同理得 N (3,

???? ? 6 y2 6 y1 ???? 6 y2 ) .所以 BM ? (2, ), BN ? (2, ) ,……………………9 分 x2 ? 3 x1 ? 3 x2 ? 3 6 y1 6 y2 ) ? (2, ) x1 ? 3 x2 ? 3

又因为 BM ? BN ? (2,

???? ???? ?

? 4?

36 y1 y2 36 y1 y2 ? 4? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) (my1 ? 4)(my2 ? 4)

?

4(my1 ? 4)(my2 ? 4) ? 36 y1 y2 m2 y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16

?

?16(4m2 ? 36) ? 16 ? 4m2 ? 16 ? 4(2m2 ? 9) ?32m2 ? 16(2m2 ? 9)

?

?64m2 ? 576 ? 64m2 ? 128m2 ? 576 ? 0 .…………………………13 分 9

所以 BM ? BN ,所以以 MN 为直径的圆过点 B . …………………………………14 分

???? ?

????

23. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) 已知 E ? 2,2 ? 是抛物线 C : y 2 ? 2 px

上一点,经过点 (2,0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点(不同于点 E ) ,直线 EA, EB 分 别交直线 x ? ?2 于点 M , N . (Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标; (Ⅱ)已知 O 为原点,求证: ? MON 为定值. 【答案】 (Ⅰ)将 E ? 2,2? 代入 y 2 ? 2 px ,得 p ? 1
2 所以抛物线方程为 y ? 2 x ,焦点坐标为 ( ,0)

1 2

……3 分

2 y12 y2 (Ⅱ)设 A( , y1 ) , B ( , y2 ) , M ( xM , yM ), N ( xN , yN ) , 2 2

法一: 因为直线 l 不经过点 E ,所以直线 l 一定有斜率 设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2)

与抛物线方程联立得到 ?

? y ? k ( x ? 2)
2 ? y ? 2x

,消去 x ,得:

ky 2 ? 2 y ? 4k ? 0
则由韦达定理得:

y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ?

2 k
………………6 分

直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 ? 2 y1 ?2 2
, 得



x ? ?2

yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2
………………9 分











yN ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2
………………10 分

又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

???? ?

????

?4 ), ym
2 y1 ? 4 2 y2 ? 4 ? y1 ? 2 y2 ? 2

所以 OM ? ON ? 4 ? yM y N ? 4 ?

???? ???? ?

? 4?

4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

4 ? 4) k ?4? 4 4( ?4 ? ? 4) k ?0 4( ?4 ?
所以 OM ? ON ,即 ? MON 为定值 法二: 设直线 l 方程为 x ? my ? 2

………………13 分

π 2

………………14 分

与抛物线方程联立得到 ?

? x ? my ? 2
2 ? y ? 2x

,消去 x ,得:

y 2 ? 2my ? 4 ? 0
则由韦达定理得:

y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ? 2m
………………6 分 直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 ? 2 y1 ?2 2
, 得



x ? ?2

yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2
………………9 分 理 可 得 :



yN ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2
………………10 分

又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

???? ?

????

?4 ), ym

???? ???? ? 4( y1 ? 2)( y2 ? 2) OM ? ON ? 4 ? yM y N ? 4 ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2)
? 4? 4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

?4?
?0

4( ?4 ? 2m ? 4) 4( ?4 ? 2m ? 4)
………………12 分

所以 OM ? ON ,即 ? MON 为定值

π 2

………………13 分

24. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知椭圆的中心在原点,焦点 在 x 轴上,离心率为

3 ,且经过点 M (4,1) ,直线 l:y =x +m 交椭圆于不同的两点 A、B . 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不过点 M ,求证:直线 MA、MB 的斜率互为相反数.

x2 y 2 3 2 2 【答案】 (Ⅰ)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 ,因为 e ? ,所以 a ? 4b , a b 2
又因为 M (4,1) ,所以

16 1 ? ? 1 ,解得 b2 ? 5, a 2 ? 20 , a 2 b2
…………………4 分

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 20 5

(Ⅱ)将 y ? x ? m 代入

x2 y 2 ? ? 1 并整理得 5x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 20 ? 0 , 20 5
…………………7 分

解得 ?=(8m)2 -20(4m2 -20)>0, ?5 ? m ? 5 .

(Ⅲ)设直线 MA, MB 的斜率分别为 k1 和 k 2 ,只要证明 k1 ? k2 ? 0 .

设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

8m 4m2 ? 20 , x1x2 ? . 5 5

…………………9 分

k1 ? k2 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 4) ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 ( x1 ? 4)( x2 ? 4)

分子 ? ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 4) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 4) ? 2 x1 x2 ? (m ? 5)( x1 ? x2 ) ? 8(m ? 1) ? 2(4m2 ? 20) 8m(m ? 5) ? ? 8(m ? 1) ? 0 5 5
…………………14 分

所以直线 MA、MB 的斜率互为相反数.


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