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《土木工程力学》第3章


第3章

平面体系的几何组成分析

第1节 结构组成的几何规则 第2节 结构组成分析方法 第3节 体系的几何组成与静定性的关系

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第3章

平面体系的几何组成分析

杆系结构(简称结构)是由若干杆件用铰结点和
刚结点连接而成的杆件体系,能承担一定范围的任意载 荷,否则在荷载作用下极有可能发生结构失效,这种失 效是由于结构组成不合理造成的,与构件强度、刚度和 稳定性失效不一样,它往往发生比较突然,范围较大,

在工程中必需避免,这就需要对结构的几何组成进行分
析,以保证结构有足够、合理的约束,防止结构失效。

过多的约束将使结构成为超静定结构,那么超静定结构
相对静定结构有又什么不同的地方,对防止构件失效和 结构失效又有那些有利和不利的方面也将在本章中作简 要的说明。
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§3-1

结构组成的几何规则

结构体系在荷载作用下,不考虑材料的变形时。 形状和位置都不可能变化的结构体系,称为几何不变体系。 形状和位置可能变化的结构体系,称为几何可变体系。

显然,几何可变体系是不能作为工程结构使用的,工程结构
中只能使用几何不变体系。

FP

FP

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铰接三角形是结构中最简单的几何不变体系。

这是因为组成三角形的三条边一但确定,那么这三条边组成
的三角形是唯一确定的,因此铰接三角形是几何不变体系。 如果在铰接三角形上任意减少一个部分,如将铰接三角形 从维持几何不变的角度来看,有的约束是多余的(如AD或AC ABC中拆开,体系就成了几何可变体系,因此铰接三角形是几何 等链杆),这些约束称为多余约束。因此在几何不变体系中又分

不变体系中最简单的。以上称为铰接三角形规则。 无多余约束几何不变体系和有多余约束几何不变体系。 如果在铰接三角形上再增加一根链杆AD,体系ABCD仍然是
几何不变体系。

A

A C

B

B D

C
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若将铰接三角形中的杆AB和杆BC均视为刚片,杆AC视为两刚 若将铰接三角形中的三根杆均视为刚片,则有三刚片规则: 对结构体系进行组成分析是不考虑各个构件的变形,因此每个 片间的约束,于是铰接三角形规则可表达为两刚片规则: 构件或每个几何不变体系均可认为是刚体,由于我们研究的是平面 一、二元体规则 一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连,

问题,这些刚体通常称为刚片。刚片的形状对组成分析无关紧要, 可组成几何不变体系,且无多余约束。 因此形状复杂的刚片均可以用形状简单的刚片或杆件来代替。 二、两刚片规则 两刚片间用一个铰和一根不通过此铰的链杆相 在铰接三角形中,将一根杆视为刚片,则铰接三角形就变成一 连,可组成几何不变体系,且无多余约束。 个刚片上用两根不共线的链杆在一端铰接成一个结点,这种结构叫 三、三刚片规则 三刚片间用不在同一直线上的三个铰两两相连, 做二元体结构。 可组成几何不变体系,且无多余约束。 A Ⅱ B
刚片

A

A


Ⅲ C
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C

B



C

B



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两刚片用两根不平行的链杆相连,两链杆的延长线相交于A点,
两刚片可绕A点作微小的相对转动。这种连接方式相当于在A点有一 个铰把两刚片相连。当然,实际上在A点没有铰,所以把A点叫做 “虚铰”。 如在刚片Ⅰ、Ⅱ之间加一根不通过A点的链杆3,就组成几何不

变体系,且无多余约束。
A 如两刚片用两根平 行的链杆相连,则虚铰 在两链杆中线的无穷远 1 Ⅰ
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Ⅱ 3

2

的地方。

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两链杆在一条直线上。从约束的布置上就可以看出是不合理 的,因为链杆和链杆都是水平的,因此,对限制A点的水平位移

来说具有多余约束,而在竖向却没有约束,A点可沿竖向移动,
体系是可变的。 当铰A发生微小移动至A'时,两根链杆将不再共线,运动将不 继续发生。这种在某一瞬间可以发生微小位移的体系称为瞬变体 系,有时瞬变体系在受力时会对杆件产生巨大的内力,使构件发 生破坏,因此瞬变体系不能作为结构使用。

FP
B A C

A'
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第2节

结构组成分析方法

几何不变体系的组成规则是进行结构组成分析的依据。分 析时,一般先从能直接观察出的几何不变部分开始,应用组成

规律,逐步扩大不变部分直至整体。我们在前面学习中遇到的
结构大部分是无多余约束的几何不变的结构体系,如简支结构、 悬臂结构和三铰结构等,很多结构体系中有一部分结构和基础

组成上述结构,这部分结构通常称为结构体系的基本部分,这
是应该首先观察出来的,那么其它部分称为附属部分,可以通 过应用组成规律对其进行判断。对于较复杂的结构体系,为了 便于分析,可先拆除不影响几何不变性的部分(如二元体); 对于形状复杂的构件,可用直杆等效替代,使问题简化。

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例3-1 试对图示结构,进行组成分析。 Ⅰ A Ⅱ

B

C

D

E

F

解 通过直接观察可以看到杆ABC是简支结构,杆ABC由铰A、 杆CDE由铰C、链杆D和扩大基础相连,由二刚片规则,杆 链杆B和基础相连,由二刚片规则,杆ABC和基础组成无多余约束 最后杆EF和链杆F作为二元体,因此整个结构是几何不变体 CDE和扩大基础组成无多余约束的几何不变体系,使基础进一步 的几何不变体系,从而形成扩大基础Ⅰ。 系且无多余约束。此例中杆ABC是结构的基本部分,其它是结构 扩大为Ⅱ。 的附属部分。

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例3-2 试对图示结构,进行组成分析。 解 通过直接观察可以看到AC刚片Ⅰ、BC刚片Ⅱ和基础由 不共线的三个铰,两两相连,组成三铰结构,形成扩大基础,形 成结构的基本部分。 FG杆和DF杆在扩大基础上组成二元体

HE刚片由铰H和不通过铰H的链杆E和扩大基础相连
整个结构是几何不变体系且无多余约束。 C Ⅰ Ⅱ H A E
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F
D

G

B

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例3-4 试对图示结构,进行组成分析。 解 结构与基础由不共线的一个链 Ⅰ Ⅲ



杆和一个铰相连,故此铰和链杆对判别 没有影响可拆除。

例3-4 将左右两个三角形分别视为刚片Ⅰ、Ⅱ,
下拉杆视为刚片Ⅲ。
三刚片分别由两根等长平行的链杆相连

则这两根等长平行的链杆组成的虚铰始终在无穷远处,这样
三个虚铰可认为在同一直线上,也就是说结构发生几何变形后, 三个虚铰仍在同一直线上,因此结构是几何可变体系。
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例3-5 试对图示结构,进行组成分析。 解 三个刚片 三角形EBF和杆DC分别视为刚片Ⅰ、Ⅱ,基础视为第

刚片Ⅰ与基础由链杆AE和B组成的虚铰B相连

例3-5 刚片Ⅱ与基础由链杆AD和C组成的虚铰C相连
刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆DE和CF组成的虚铰G相连

G

三虚铰C、B、G在同一直线上,可得出结构是几何瞬变体系。 A E Ⅰ

B

D Ⅱ
C

F

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第3节

体系的几何组成与静定性的关系

所谓体系既物体系统是指由若干个物体通过约束按一定方式 连接而成的系统。当系统平衡时,组成系统的每个物体也必将处

于平衡状态。一般而言,系统由n个物体组成,如每个物体都是
受平面一般力系作用,则共可列出3n个独立的平衡方程。系统中 如所研究的平衡问题未知量大于独立的平衡方程数目,仅用平衡 方程就不可能全部解出未知量,这类问题称为超静定问题,这类 结构称为超静定结构。如未知量均可用平衡方程解出的系统平衡

问题,称为静定问题,这类结构称为静定结构。

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第3节 体系的几何组成与静定性的关系
我们也可以通过结构几何组成分析对静定结构和超静定结构 重新加以认识,无多余约束的几何不变体系组成的结构是静定结

构,这是因为体系的约束刚好限制了体系所有可能运动方式,则
体系的平衡方程数目和约束数目刚好相等,因此未知量均可用平 衡方程解出。有多余约束的几何不变体系则不能用平衡方程全部 解出结构的未知量,是超静定结构,有多少个多余约束就需要多 少个补充方程来求解,多余约束的个数称为超静定结构的超静定

次数,求解时必需通过其他的条件,补充相应的方程进行求解。

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