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数学(文)一轮教学案:第六章第4讲 数列求和、数列的综合应用 Word版含解析


第 4 讲 数列求和、数列的综合应用 考纲展示 命题探究 考点一 数列求和 数列的求和方法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 ①等差数列的前 n 项和公式: n?a1+an? n?n-1? Sn= = na 1+ 2 2 d. ②等比数列的前 n 项和公式: na ,q=1, ? ? 1 Sn=?a1-anq a1?1-qn? ? ? 1-q = 1-q ,q≠1. ③常见数列的前 n 项和公式: a.1+2+3+?+n= n?n+1? 2 ; b.2+4+6+?+2n=n2+n; c.1+3+5+?+(2n-1)=n2; n?n+1??2n+1? d.12+22+32+?+n2= ; 6 e.13+23+33+?+n3=? (2)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相 等或等于同一个常数,那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法, ?n?n+1??2 ?. 2 ? ? 如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差, 在求和时中间的一些项可以相互抵 消,从而求得其和. 常见的裂项公式有: ① ② ③ ④ 1 1 1 =n- ; n?n+1? n+1 1 ? 1 1?1 =2?n-n+2?; n?n+2? ? ? 1 ? 1 1? 1 =2?2n-1-2n+1?; ?2n-1??2n+1? ? ? = n+1- n. n+ n+1 1 (4)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积构成的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求,如等比数 列的前 n 项和公式就是用此法推导的. (5)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和 的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减. 注意点 裂项相消法求和时注意事项 (1)在把通项裂开后,应验证其是否恰好等于相应的两项之差. (2)在正负项抵消后,应注意是否只剩下第一项和最后一项,有 时是前面剩下两项(或几项),后面也剩下两项(或几项). 1.思维辨析 (1)如果已知等差数列的通项公式,则在求其前 n 项和时使用公 n?a1+an? 式 Sn= 较为合理.( 2 ) (2)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于 1,则其前 n 项和 Sn a1-an+1 = .( 1-q ) ) 1 1 1 (3)当 n≥2 时, 2 = - .( n -1 n-1 n+1 a 即可根据错位相减法求得.( 大于 1 的正整数). ( 答案 ) ) ) (4)求 Sn=a+2a2+3a3+?+nan 时只要把上式等号两边同时乘以 (5)如果数列{an}是周期为 k 的周期数列,那么 Skm=mSk(m,k 为 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ B.2+2n D.n+2+2n 2.数列{1+2n-1}的前 n 项和为( A.1+2n C.n+2n-1 答案 解析 C 由题意得 an=1+2n-1, 1-2n 所以 Sn=n+ =n+2n-1,故选 C. 1-2 3.在 10 到 2000 之间,形如 2n(n∈N*)的各数之和为( A.1008 C.2032 答案 解析 C 24?1-27? S=2 +2 +?+2 = =(27-1)· 24=2032. 1-2 4 5 10 ) B.2040 D.2016 [考法综述] 高考中主要考查等差等比数列的前 n 项和公式 及非等差等比数列的求和方法.

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