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2012北京东城高三二模数学文(word版+答案+免费免点数)

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com

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北京市东城区 2011 2012 学年度第二学期高三综合练习( 11高三综合练习 北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习(二) 数学 (文科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分.考试 时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡 上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

小题, 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 要求的一项。 一项 (1)若集合 A = x x ≥ 0 ,且 A I B = B ,则集合 B 可能是 (A) {1 , 2} (B) x x ≤ 1

{

{

}

}

(C) {?1, 0,1}

(D) R

(2) a = 3 ”是“直线 ax + 3 y = 0 与直线 2 x + 2 y = 3 平行”的 “ (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件

[来源:Zxxk.Com]

(D)既不充分也不必要条件

(3)执行右图的程序框图,则第 3 次输出的数为 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (4) 已知圆 x 2 + y 2 ? 2 x + my = 0 上任意一点 M 关于直线 x + y = 0 的对称点 N 也在圆上, 则 m 的值为 (A) ?1 (C) ?2

(B) 1

(D) 2

(5)将函数 y = sin x 的图象向右平移 象对应的函数解析式为 (A) y = 1 ? sin x (C) y = 1 ? cos x

π 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,所得的图 2
(B) y = 1 + sin x (D ) y = 1 + cos x

(6)已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和 β 是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中 一定能推出 m ⊥ β 的是 (A) α ⊥ β ,且 m ? α (C) α ⊥ β ,且 m ∥ α (B) m ∥ n ,且 n ⊥ β (D) m ⊥ n ,且 n ∥ β

2 (7)设 M ( x0 , y0 ) 为抛物线 C : y = 8 x 上一点, F 为抛物线 C 的焦点,若以 F 为圆心,

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FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 x0 的取值范围是 (A) (2 , + ∞) (B) (4 , + ∞) (C) (0 , 2) (D) (0 , 4)
(8)已知函数 f ( x) = ( x + a )( x 2 + bx + c), g ( x) = (ax + 1)(cx 2 + bx + 1) ,集合
S = { x f ( x) = 0, x ∈ R} , T = { x g ( x) = 0, x ∈ R} ,记 cardS , cardT 分别为集合 S , T 中的元素个数,那么下列
结论不可能的是 (A) cardS = 1, cardT = 0 (C) cardS = 2, cardT = 2 (B) cardS = 1, cardT = 1 (D) cardS = 2, cardT = 3

第Ⅱ卷(共 110 分)
小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 填空题: (9) 若向量 a = (1, 0) ,向量 b = (1,1) ,则 a - b = (10) 设 a ∈ R ,且 ( a + i) 2 i 为实数,则 a 的值为 , a - b 与 b 的夹角为 . .

(11)将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,若第一组至第六组数据的频率之比为

2 : 3 : 4 : 6 : 4 :1 ,且前三组数据的频数之和等于 27 ,则 n 的值为
o

.

(12)在平面直角坐标系 xOy 中, 将点 A( 3 ,1) 绕原点 O 逆时针旋转 90 到点 B , 那么点 B 坐 标为____,若直线 OB 的倾斜角为 α ,则 tan 2α 的值为 (13) 已知函数 f ( x) = x 2 ,给出下列命题: ①若 x > 1 ,则 f ( x ) > 1 ; ②若 0 < x1 < x2 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) > x2 ? x1 ; ③若 0 < x1 < x2 ,则 x2 f ( x1 ) < x1 f ( x2 ) ; ④若 0 < x1 < x2 ,则
1



f ( x1 ) + f ( x2 ) x +x < f ( 1 2). 2 2
.

其中,所有正确命题的序号是

(14) 已知四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 侧棱 AA1 ⊥ 底面ABCD , AA1 = 2 , 底面 ABCD 的 边长均大于 2,且 ∠DAB = 45 ,点 P 在底面 ABCD 内运动且在 AB , AD 上的射影分
o

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com 别为 M , N ,若 PA = 2 ,则三棱锥 P ? D1MN 体积的最大值为____.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 解答题: 小题, 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? ) (其中 x ∈ R , A > 0 , ω > 0, ? 图象如图所示. (Ⅰ)求 A , ω , ? 的值; (Ⅱ)已知在函数 f ( x ) 图象上的三点 M , N , P 的横坐标分别为 ?1, 1, 3 ,求 sin ∠MNP 的 值.
y 1 ?2 ?1 0 ?1 1 2
3

π π < ? < )的部分 2 2

4

5

6 x

(16) (本小题共 13 分)

[来源:Zxxk.Com]

某校为了解学生的学科学习兴趣, 对初高中学生做了一个喜欢数学和喜欢语文的抽样调 查,随机抽取了 100 名学生,相关的数据如下表所示:
数学 初中 高中 总计 语文 总计

40 15
55

18 27
45

58
42 100

(Ⅰ) 用分层抽样的方法从喜欢语文的学生中随机抽取 5 名,高中学生应该抽取几名? (Ⅱ) 在(Ⅰ)中抽取的 5 名学生中任取 2 名,求恰有 1 名初中学生的概率.

(17) (本小题共 13 分) 如图, 矩形 AMND 所在的平面与直角梯形 MBCN 所在的平面互 直, MB ∥ NC , MN ⊥ MB . (Ⅰ)求证:平面 AMB ∥平面 DNC ;

D A

相垂

N M

C B

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com (Ⅱ)若 MC ⊥ CB ,求证 BC ⊥ AC .
[来源:Z.xx.k.Com]

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(18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) = ?

1 2 x + 2 x ? ae x . 2

(Ⅰ)若 a = 1 ,求 f ( x ) 在 x = 1 处的切线方程; (Ⅱ)若 f (x ) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

(19) (本小题共 14 分)

已知椭圆

x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) 的左焦点 F1 (?1, 0) , 长轴长与短轴长的比是 2 : 3 . a2 b2

(Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F1 作两直线 m ,n 交椭圆于 A , B ,C , D 四点,若 m ⊥ n ,求证:

1 1 + AB CD

为定值.

(20)(本小题共 14 分)

64 个正数排成 8 行 8 列, 如下所示:
a11 a12 L a18 a21 a22 L a28 LLLLLL L a81 a82 L a88
其中 aij 表示第 i 行第 j 列的数.已知每一行中的数依次都 成等差数列,每一列中的数依 次都成等比数列,且公比均为 q , a11 = (Ⅰ)求 a12 和 a13 的值; (Ⅱ)记第 n 行各项之和为 An ( 1 ≤ n ≤ 8 ) ,数列 {an } , {bn } , {cn } 满足 a n =

1 1 , a 24 = 1 , a 21 = . 2 4
36 , An

mbn +1 = 2(a n + mbn ) m 为非零常数) c n = ( ,
的取值范围; (Ⅲ)对(Ⅱ)中的 a n ,记 d n = 最大项的项数.

bn 2 , c12 + c 7 = 100 , c1 + c2 + ??? + c7 且 求 an

200 (n ∈ N? ) ,设 Bn = d1d 2 ??? d n (n ∈ N? ) ,求数列 {Bn } 中 an

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北京市东城区 2011 012 学年度高三综合练习 11高三综合练习( 北京市东城区 2011-2012 学年度高三综合练习(二) 数学参考答案及评分标准 (文科)
小题, 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 选择题( (1)A (5)C (2)C (6)B (3)B (7) A (4)D (8)D

小题, 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 填空题( (9) (0 , ? 1) (12) (?1, 3 )

3 π 4

(10) ±1

(11) 60 (14) ( 2 ? 1)

3

(13)①④

1 3

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 小题, 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 解答题( (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由图可知, A = 1 . ………1 分

f ( x) 的最小正周期 T = 4 × 2 = 8, 所以 T =



ω

= 8,ω =

π . 4

………3 分

π π π + ? ) = 1 ,且 ? < ? < 4 2 2 π π π 所以 + ? = , ? = . 4 2 4
又 f (1) = sin( (Ⅱ)因为 f ( ?1) = 0, f (1) = 1, f (3) = 0 , 所以 M ( ?1 , 0) , N (1 , 1) , P (3 , 0) . 设 Q (1, 0) , …………7 分 在等腰三角形 MNP 中,设 ∠MNQ = α ,则 sin α =

…………6 分

2 1 , cos α = , 5 5




sin ∠MNP = sin 2α = 2 sin α cos α = 2 ×

2 1 4 × = . 5 5 5

……………13 分

(16) (共 13 分) 解:(Ⅰ) 由表中数 据可知 , 高中学生应该抽取 27 × 分 (Ⅱ) 记抽取的 5 名学生中,初中 2 名学生为 A , B ,高中 3 名学生为 a , b , c ,

5 = 3 人. 45

………… ……4

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则从 5 名学生中任取 2 名的所有可能的情况有 10 种, 它们是:( A , B ) ,( A , a ) ,

( A , b) , ( A , c ) , ( B , a ) , ( B , b) , ( B , c ) , ( a , b) , ( a , c ) , (b , c) .
…………7 分

其中恰有 1 名初中学生的情况有 6 种, 它们是: A , a ) , A , b) , A , c ) , B , a ) , ( ( ( (

( B , b) ,( B , c) .
故所求概率为

…………9 分

[来源:Z*xx*k.Com]

6 3 = . 10 5

………13 分

(17) (共 13 分) 证明: (Ⅰ)因为 MB // NC , MB ? 平面 DNC , NC ? 平面 DNC , 所以 MB //平面 DNC . ……………2 分
A D

因为 AMND 是矩形, 所以 MA // DN . 又 MA ? 平面 DNC , DN ? 平面 DNC , 所以 MA //平面 DNC . ……………4 分

又 MA I MB = M ,且 MA , MB ? 平面 AMB , 所以平面 AMB //平面 DNC . (Ⅱ)因为 AMND 是矩形, 所以 AM ⊥ MN . ……………6 分
M

N

C B

因为 平面AMND ⊥ 平面MBCN ,且 平面AMND I 平面MBCN = MN , 所以 AM ⊥ 平面MBCN . 因为 BC ? 平面MBCN , 所以 AM ⊥ BC . 因为 MC ⊥ BC , MC I AM = M , 所以 BC ⊥ 平面AMC . 因为 AC ? 平面AMC , 所以 BC ⊥ AC . (18) (共 13 分) ………………1 3 分 ………………12 分 ………………10 分

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a =1



1 f ( x) = ? x 2 + 2 x ? e x 2



f (1) =

3 ?e, 2
所以 f ′( x) = ? x + 2 ? e x . 又 f ′(1) = 1 ? e , 所 以 所 求 切 线

………1 分

……… …3 分







3 y ? ( ? e) = (1 ? e)( x ? 1) 2



2(1 ? e) x ? 2 y + 1 = 0 .

…………5 分

1 (Ⅱ)由已知 f ( x ) = ? x 2 + 2 x ? ae x ,得 f ′( x) = ? x + 2 ? ae x . 2
因为函数 f (x ) 在 R 上是增函数, 所以 f ′( x ) ≥ 0 恒成立,即不等式 ? x + 2 ? ae x ≥ 0 恒成立.………………9 分 整理得 a ≤ 令

?x + 2 . ex

g ( x) =

?x + 2 x ?3 , g ′( x) = x . x e e
x, g ′( x ), g ( x ) 的变化情况如下表:

………………11 分

x
g ′( x )

(?∞ , 3)

3

(3 , + ∞)
+

?

0
极小值

g ( x)







a ≤ g (3) = ?e ?3,即a













( ?∞ , ? e

?3

?. ?

………………13 分

(19) (共 14 分)

?2a : 2b = 2 : 3, ? (Ⅰ)解:由已知得 ? c = 1, ? a 2 = b2 + c 2 . ?
解 得

a=2

,

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b= 3. x2 y 2 + = 1. 4 3

………………4 分

故所求椭圆方程为

………………5 分

( Ⅱ)证 明:由 (Ⅰ)知 F1 ( ?1, 0 ) , 当直 线 m 斜率 存在时, 设直线 m 的 方程 为 :

y = k ( x + 1)( k ≠ 0 ) .
? y = k ( x + 1), ? 2 ?x y2 = 1, ? + 3 ?4
………………7 分





( 3 + 4k ) x
2

2

+ 8k 2 x + 4k 2 ? 12 = 0 .

由于 ? > 0 ,设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则有

x1 + x2 = ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x2 = , 3 + 4k 2 3 + 4k 2
2 2 1 2

AB =

(1 + k ) ?( x + x ) ?
2

? 4 x1 x2 ? ?

2 2 ?? 8k 2 ? 4k 2 ? 12 ? 12 (1 + k ) = (1 + k ) ?? ? ? 4× . ? = 2 ? 3 + 4k 2 ? 3 + 4k 2 ?? 3 + 4 k ? ? ?

…………

……9 分 同理 CD = 所

12 (1 + k 2 ) 3k 2 + 4

.

………………11 分 以

7 (1 + k 2 ) 1 1 3 + 4k 2 3k 2 + 4 7 + = + = = . 2 2 2 AB CD 12 (1 + k ) 12 (1 + k ) 12 (1 + k ) 12
当 直 线

………………12 分

m 斜 率 不 存 在 时 , 此 时

AB = 3, CD = 4 ,

1 1 1 1 7 + = + = .………13 分 AB CD 3 4 12 1 1 + AB CD













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7 . 12
(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ)因为 q =

………………14 分

a 21 1 a = , 所以 a14 = 24 = 2 . a11 2 q 又 a11 , a12 , a13 , a14 成等差数列, 3 所以 a12 = 1, a13 = . 2

………………4 分

(Ⅱ)设第一行公差为 d ,由已知得, a24 = a14 q = ( + 3d ) × 解得 d =

1 2

1 =1, 2

1 . 2

1 7 + =4. 2 2 1 n ?1 1 n 1 1 1 因为 an1 = a11 ? ( ) = ( ) , an8 = a18 ? ( ) n ?1 = 4 × ( ) n ?1 = 8 × ( )n . 2 2 2 2 2 a + an 8 1 所以 An = n1 × 8 = 36 × ( ) n , 2 2 ? n 所以 a n = 2 (1 ≤ n ≤ 8, n ∈ N ) . ………6 分
所以 a18 = a11 + 7 d = 因为 mbn +1 = 2(a n + mbn ) , 所以 mbn +1 = 2
n +1

+ 2mbn .
= 1 . m

bn +1
整理得

2 2 bn 1 而 cn = ,所以 c n +1 ? c n = , an m 所以 {c n } 是等差数列.
故 c1 + c2 + ??? + c7 = 因为

n +1

?

bn
n

………8 分

(c1 + c7 ) × 7 . 2

1 ≠ 0, m 所以 c1 ≠ c7 .
所以 2c1c7 < c1 + c7 .
2 2

所以 (c1 + c7 ) = c1 + c7 + 2c1c7 < 2(c1 + c7 ) = 200 ,
2 2 2 2 2

所以 ?10 2 < c1 + c7 < 10 2 . 所 以

c1 + c2 + ??? + c7 1 2
n













(?35 2 , 35 2) .

…………10 分

(Ⅲ)因为 d n = 200 × ( ) 是一个正项递减数列, 所以当 d n ≥ 1 时,Bn ≥ Bn ?1 ,当 d n < 1 时,Bn < Bn ?1 .( n ∈ N , n > 1 )
?

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1 ? 200 × ( ) n ≥ 1, ? d n ≥ 1, ? ? 2 即? 所以 {Bn } 中最大项满足 ? ?d n +1 < 1, ?200 × ( 1 ) n+1 < 1. ? ? 2 16 16 解得 6 + log 1 < n ≤ 7 + log 1 . 25 25 2 2 16 < 1 ,且 n ∈ N? , 又 0 < log 1 25 2 所以 n = 7 ,即 {Bn } 中最大项的项数为 7 .

………12 分

…………14 分


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