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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第六节椭圆(二) 文

六节 椭 圆 (二) 基础自测 x2 y2 1.(2012· 东北四校一模)已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 2-k 2k-1 的取值范围是( ) 1 ? A.? ?2,2? C.(1,2) B.(1,+∞) 1 ? D.? ?2,1? 解析:依题意,2k-1>2-k>0,解得 1<k<2.故选 C. 答案:C 1 ? x2 y2 2.(2013· 湖南郴州模拟)设 e 是椭圆 + =1 的离心率,且 e∈? ?2,1?,则实数 k 的取 4 k 值范围是( ) A.(0,3) 16 ? C.(0,3)∪? ? 3 ,+∞? 16? B.? ?3, 3 ? D.(0,2) 1 k-4 16 解析:当 k>4 时,c= k-4,由条件知 < <1,解得 k> ; 4 k 3 1 4-k 当 0<k<4 时,c= 4-k,由条件知 < <1,解得 0<k<3.故选 C. 4 4 答案:C x2 y2 3.(2013· 福建卷)椭圆 P: 2+ 2(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直 a b 线 l:y= 3(x+c)与椭圆 P 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等 于________. 解析:本题考查的是圆锥曲线的离心率.由题意可知, △MF1F2 中,∠MF1F2=60° , 第 1 页 共 5 页 ?MF1+MF2=F1F2=?2c? , ? ∠MF2F1=30° ,∠F1MF2=90° ,所以有?MF1+MF2=2a, ? ?MF2= 3MF1, c 整理得 e= = 3-1,故答案为 3-1. a 答案: 3-1 2 2 2 2 x2 y2 4.若直线 mx+ny=4 与⊙O:x2+y2=4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 + 9 4 =1 的交点个数是_____________. 解析:因为直线 mx+ny=4 与圆 x2+y2=4 没有交点,所以 |4| >2,所以 m2+n2<4. m2+n2 x2 y2 所以点 P(m,n)在椭圆 + =1 内部.所以交点个数为 2 个. 9 4 答案:2 x2 y2 1.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P a b 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为( ) A. 3 6 1 B. 3 1 C. 2 D. 3 3 解析:因为 PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30° , 所以 PF2=2ctan 30° = 又|PF1|+|PF2|= 2 3 4 3 c,PF1= c. 3 3 6 3 c 1 3 c=2a,所以 = = , 3 a 3 3 3 .故选 D. 3 即椭圆的离心率为 答案:D 第 2 页 共 5 页 x2 y2 2.(2013· 安徽卷)设椭圆 E: 2+ =1 的焦点在 x 轴上. a 1-a2 (1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (2)设 F1,F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点,P 为椭圆 E 上第一象限内的点,直线 F2P 交 y 轴于点 Q,并且 F1P⊥F1Q.证明:当 a 变化时,点 P 在某定直线上. 1 5 (1)解析:因为焦距为 1,所以 2a2-1= ,解得 a2= . 4 8 8x2 8y2 故椭圆 E 的方程为 + =1. 5 3 (2)证明:设 P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0), 其中 c= 2a2-1. y0 由题设知 x0≠c,则直线 F1P 的斜率 kF1P= . x0+c y0 直线 F2P 的斜率 kF2P= . x0-c y0 故直线 F2P 的方程为 y= (x-c). x0-c cy0 cy0 当 x=0 时,y= ,即点 Q 坐标为?0,c-x ?. ? c-x0 0? y0 因此,直线 F1Q 的斜率为 kF1Q= . c-x0 y0 y0 由于 F1P⊥F1Q,所以 kF1P· kF1Q= · =-1. x0+c c-x0 2 2 化简得 y2 0=x0-(2a -1).① 将①代入椭圆 E 的方程,由于点 P(x0,y0)在第一象限. 解得 x0=a2,y0=1-a2. 即点 P 在定直线 x+y=1 上. → 1.(2012· 长春调研)以 O 为中心,F1,F2 为两个焦点的椭圆上存在一点 M,满足|MF1| → → =2|MO|=2|MF2|,则该椭圆的离心率为( ) A. 3 3 2 B. 3 第 3 页 共 5 页 C. 6 3 2 5 D. 5 解析:易知点 M 在 OF2 的垂直平分线上,过 M 作 x 轴的垂线,交 x 轴于点 N,则点 N c → → → → 2 → 2 → 2 ? 坐标为? ?2,0?,并设|MF1|=2|MO|=2|MF2|=2t,根据勾股定理可知,|MF1| -|NF1| =|MF2| 6 3t c 6 → -|NF2|2,得到 c= t,由|MF1|+|MF2|=2a 得 a= ,则 e= = .故选 C. 2 2 a 3 答案:C x2 y2 2.(2013· 潮州二模)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左右顶点分别为 A(-2,0),B(2,0),离心 a b 3 率 e= .过该椭圆上任一点 P 作 PQ⊥x 轴, 垂足为 Q, 点 C 在 QP 的延长线上, 且|QP|=|PC|. 2 (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 AC(C 点不同于 A,B)与直线 x=2 交于点 R,D 为线段 RB 的中点,试判断直 线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论. c 3 解析:(1)由题意,可得 a=2,e= = , a 2 可得 c= 3, 所以 b2=a2-c2=1, x2 因此,