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2012北京海淀高三二模数学文(word版+答案+免费免点数)_图文

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com

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海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学(文科)
2012.05 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大 题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 选择题: 在每小题给出的四个选项中 要求的. 要求的 (1)函数 y = ? x 2 + 1,?1 ≤ x p 2 的值域是 (A) (- 3, 0] (B) (- 3,1] (C) [0,1] (D) [1,5)

(2)已知命题 p : ?x ∈ R, sin p

1 x . 则 ?p 为 2 1 x 2 1 (D) ?x ∈ R, sin ≥ x 2
(B) ?x ∈ R, sin p

1 x 2 1 (C) ?x ∈ R, sin ≥ x 2
(A) ?x ∈ R, sin = (3) cos 15 - sin 15 的值为
2 o 2 o

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

6 2

(4)执行如图所示的程序框图,若输入 x 的值为 10,则输出 的 x 值为 开始 (A)4 (B)2 (C)1 (D)0 输入 x 否

x> 2


x = 2x
输出 x

x = x- 2

结束

(5)已知平面 α , β 和直线 m ,且 m ? (A)充要条件 (C)充分不必要条件

α ,则“ α ∥ β ”是“ m ∥ β ”的
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

1

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com (6)为了得到函数 y =

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1 log 2 ( x - 1) 的图象,可将函数 y = log 2 x 的图象上所有的点的 2

1 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 2 1 (B)纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 2
(A)纵坐标缩短到原来的 (C)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 (7)某几何体的主视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同,且图中的四边形都是边长为 2 的正方 形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是 (A)

20 3

(B)

4 3
主俯俯

(C) 6

(D) 4

俯俯俯

(8)点 P ( x, y ) 是曲线 C : y =

1 ( x > 0) 上的一个动点,曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、 y 轴分别交于 x

A, B 两点,点 O 是坐标原点. 给出三个命题:① PA = PB ;② ?OAB 的面积为定值;③曲线 C 上存在
两点 M , N ,使得 ?OMN 为等腰直角三角形.其中真命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)0
]

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上. 填空题 本大题共6小题,每小题5 30分 把答案填在题中横线上. (9)复数 z =

1+ i ,则 z = i3

.

(10)已知双曲线

x2 y2 = 1 的渐近线方程是 y =   x ,那么此双曲线的离心率为 2 a2 b2

.

(11)在 ?ABC 中,若 ? A

120  c = 6 , ?ABC 的面积为 9 3 ,则 a = ,

.

(12) 在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P , ?PAB 的面积大于等于 则

1 的概率是_________. 4

(13)某同学为研究函数 f ( x ) =

1 + x 2 + 1 + (1- x) 2 (0 #x

1) 的性质,构造了如图所示的两个边长

点 设 为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC , P 是边 BC 上的一个动点, CP = x ,
D C P F

则 AP + PF = f ( x ) . 请你参考这些信息,推知函数 f ( x ) 的极值点

A

B

E

2

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com 是 ;函数 f ( x ) 的值域是

3 / 10

.

(14)已知定点 M (0, 2), N (- 2, 0) ,直线 l : kx - y - 2k + 2 = 0 ( k 为常数). 若点 M , N 到直线 l 的距 离相 等,则实数 k 的 值是 是 . ;对于 l 上 任意一点 P , ?MPN 恒 为锐角,则 实数 k 的取值 范围

小题, 解答应写出文字说明, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,公差 d ? 0 , S5 = 4a3 + 6 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和公式. Sn

(16) (本小题满分 13 分) 在一次“知识竞赛”活动中,有 A1 , A2 , B, C 四道题,其中 A1 , A2 为难度相同的容易题,B 为中档题,

C 为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.
(Ⅰ)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率; (Ⅱ)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.

(17)(本小题满分 14 分) 在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, 棱 AB, BB ', B ' C ', C ' D ' 的中 点分别是 E , F , G , H , 如图所示. (Ⅰ)求证: AD ' ∥平面 EFG ; (Ⅱ)求证: A ' C ^ 平面 EFG ; (Ⅲ)判断点 A, D ', H , F 是否共面? 并说明理由.
A
3

D' A' M

H G B' F

C'

D N E B

C

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(18)(本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x ) =

x+a ( a ≠ 0 , a ∈ R ). x + 3a 2
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a = 1 时,若对任意 x1 , x2 ∈ [ ?3, +∞ ) ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ m 成立,求实数 m 的最小值.

(19) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为 F (1, 0) ,且点 (?1, ) 在椭圆 C 上. 2 a b 2
uuu uuu r r

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知点 Q ( , 0) ,动直线 l 过点 F ,且直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点,证明: QA ? QB 为定值.

5 4

(20) (本小题满分 14 分) 将一个正整数 n 表示为 a1 + a2 + L + a p ( p  N*) 的形式,其中 ai ? N * , i = 1, 2,L , p , 且

a1 ≤ a 2 ≤ L ≤ a p ,记所有这样的表示法的种数为 f (n) (如 4=4,4=1+3,4=2+2,4=1+1+2,4=1+1+1+1,
故 f ( 4) = 5 ). (Ⅰ)写出 f (3), f (5) 的值,并说明理由; (Ⅱ)证明: f ( n + 1) - f ( n)  1 ( n = 1, 2,L ) ; (Ⅲ)对任意正整数 n ,比较 f ( n + 1) 与 [ f ( n) + f ( n + 2)] 的大小,并给出证明.

1 2

4

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海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学(文科) 2012.05 .

参考答案及评分标准
小题, 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 题号 (1) 答案 B D C A C A A C 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 填空题 本大题共6小题,每小题5 30分 (9) 2 10) 5 (14) 1 或 (11) 6 3 (12) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

1 2

(13)

1 ; 2

[ 5, 2+ 1]

1 1 ; (- ? , ) U (1, +  ) 3 7

注: (13)(14)题第一空3分;第二空2分. 、 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题:本大题共6小题, 80分 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 S5 = 4a3 + 6 , 所以 5a1 +

5创4 d = 4( a1 + 2d ) + 6 . 2

①……………………………………3 分

因为 a1 , a3 , a9 成等比数列, 所以 a1 ( a1 + 8d ) = ( a1 + 2d ) 2 . ② ……………………………………5 分

由①,②及 d ? 0 可得: a1 = 2, d = 2 . ……………………………………6 分 所以 an = 2n . (Ⅱ)由 an = 2n 可知: S n = ……………………………………7 分

(2 + 2n)  n = n2 + n . 2
……………………………………9 分

所以

1 1 1 1 . = = S n n( n + 1) n n + 1

……………………………………11 分

5

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所以

1 1 1 1 + + L+ + S1 S 2 S n- 1 S n

1 1 1 1 1 1 1 1 = - + - + L+ - + 1 2 2 3 n- 1 n n n + 1 = 11 n = . n+ 1 n+ 1 n 1 . } 的前 n 项和为 n+ 1 Sn

……………………………………13 分

所以 数列 {

(16)(本小题满分 13 分) 解: 由题意可知, 乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题, 甲、 所有可能的结果有 16 个, 它们是: A1 , A1 ) , (

( A1 , A2 ) ,( A1 , B ) ,( A1 , C ) ,( A2 , A1 ) ,( A2 , A2 ) ,( A2 , B) ,( A2 , C ) ,( B, A1 ) ,( B, A2 ) ,( B , B ) ,( B, C ) , (C , A1 )
(C , C ) .


(C , A2 )



(C , B )



……………………………………3 分

(Ⅰ) M 表示事件 用 “甲、 乙两位同学所选的题目难度相同” 则 M 包含的基本事件有: A1 , A1 ) , A1 , A2 ) , , ( (

( A2 , A1 ) , ( A2 , A2 ) , ( B , B ) , (C , C ) . 所以 P ( M ) =

6 3 = . 16 8
……………………………………8 分

(Ⅱ)用 N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度” ,则 N 包含的基本事件有: ( B, A1 ) ,

( B, A2 ) , (C , A1 ) , (C , A2 ) , (C , B ) . 所以 P ( N ) =

5 . 16
……………………………………13 分

(17)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 BC ' . 在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, AB = C ' D ' , AB ∥ C ' D ' . 所以 四边形 ABC ' D ' 是平行四边形. 所以 AD ' ∥ BC ' . D' 因为 F , G 分别是 BB ', B ' C ' 的中点, A' 所以 FG ∥ BC ' . 所 以 FG ∥
D A
6

H G B'

C'

F C E B

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AD ' .
因为 EF , AD ' 是异面直线, 所以 AD ' ? 平面 EFG . 因为 FG ? 平面 EFG , 所以 AD ' ∥平面 EFG .

……………………………………2 分

………………………………………4 分 (Ⅱ)证明:连接 B ' C . 在正方 体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, A ' B ' ^ 平面 BCC ' B ' , BC ' ? 平面 BCC ' B ' , 所以 A ' B ' ⊥ BC ' . 在正方形 BCC ' B ' 中, B ' C ⊥ BC ' , 因为
D' A' B' F D C E B H G C'

A ' B ' ? 平 面 A ' B 'C , B 'C ? 平 面 A ' B 'C ,

A ' B 'I B ' C = B ' ,
所以 BC ' ⊥ 平面 A ' B ' C . ……………………………………6 分 因为

A ' C ? 平面 A ' B ' C ,

A

所以 BC ' ⊥ A ' C . ……………………………………7 分 因为 FG ∥ BC ' , 所以 A ' C ⊥ FG . 同理可证: A ' C ⊥ EF . 因为 EF ? 平面 EFG , FG ? 平面 EFG , EF I FG = F , 所以 A ' C ^ 平面 EFG . (Ⅲ)点 A, D ', H , F 不共面. 理由如下: 假设 A, D ', H , F 共面. 连接 C ' F , AF , HF .
D'

……………………………………9 分 ……………………………………10 分

H G B' F

C'

由(Ⅰ)知, AD ' ∥ BC ' , 因为 BC ' ? 平面 BCC ' B ' , AD ' ? 平面 BCC ' B ' . 所以 AD ' ∥平面 BCC ' B ' . ……………………………………12 分 因为 C ' ? D ' H , 所以 平面 AD ' HF I 平面 BCC ' B ' = C ' F . 因为 AD ' ? 平面 AD ' HF , 所以 AD ' ∥ C ' F . 所以 C ' F ∥ BC ' ,而 C ' F 与 BC ' 相交,矛盾. 所以 点 A, D ', H , F 不共面. (18)(本小题满分 13 分)
7

A'

D A B

C E

……………………………………14 分

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解: f '( x) =

?( x ? a )( x + 3a ) . ( x 2 + 3a 2 ) 2
……………………………………2 分

令 f '( x ) = 0 ,解得 x = a 或 x = ?3a .

(Ⅰ)当 a > 0 时, f '( x ) , f ( x ) 随着 x 的变化如下表

x
f '( x ) f ( x)

( ?∞, ?3a )

?3a 0
极小值

( ?3a, a )

a
0
极大值

( a, +∞ )

?


+


?


函 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是 ( ?3a , a ) , 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 减 区 间 是 ( ?∞, ?3a ) , ( a , +∞ ) . ……………………………………4 分 当 a < 0 时, f '( x ) , f ( x ) 随着 x 的变化如下表

x
f '( x ) f ( x)

( ?∞, a )

a
0
极小值

( a, ?3a )

?3a 0
极大值

( ?3a, +∞ )

?


+


?


函 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是 ( a , ?3a ) , 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 减 区 间 是 ( ?∞, a ) ,

( ?3a, +∞ ) .

……………………………………6 分

(Ⅱ)当 a = 1 时,由(Ⅰ)得 f ( x ) 是 ( ?3,1) 上的增函数,是 (1, +∞ ) 上的减函数. 又当 x > 1 时, f ( x ) =

x +1 >0. x2 + 3

……………………………………8 分

所以 f ( x ) 在 [ ?3, +∞ ) 上的最小值为 f ( ?3) = ?

1 1 ,最大值为 f (1) = . 6 2 2 . 3 2 . 3

……………………………………10 分 所以 对任意 x1 , x2 ∈ [ ?3, +∞ ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f (1) ? f ( ?3) =

所以 对任意 x1 , x2 ∈ [ ?3, +∞ ) ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ m 恒成立的实数 m 的最小值为

……………………………………13 分

8

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com (19) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: 由题意知: c = 1 . 根据椭圆的定义得: 2a =

9 / 10

(- 1- 1) 2 + (

2 2 2 ,即 a = ) + 2 2

2.

……………………………………3 分 所以 b = 2 - 1 = 1 .
2

x2 + y 2 = 1. 所以 椭圆 C 的标准方程为 2

……………………………………4 分

(Ⅱ)证明:当直线 l 的斜率为 0 时 , A( 2, 0), B ( ? 2, 0) . 则 QA ? QB = ( 2 ?

uuu uuu r r

5 5 7 , 0) ? ( ? 2 ? , 0) = ? . 4 4 16
……………………………………6 分

当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为: x = ty + 1 , A(x1 , y1 ), B (x2 , y2 ).

ì x2 ? 2 ? ? + y = 1, 可得: (t 2 + 2) y 2 + 2ty - 1 = 0 . 由í 2 ? ? x = ty + 1 ? ?
显然 ? > 0 .

ì 2t ? ? y1 + y2 = - 2 , ? ? t +2 ? í ? ?yy =- 1 . ? 1 2 ? t2 + 2 ? ?
因为 x1 = ty1 + 1 , x2 = ty2 + 1 , 所以 ( x1 -

……………………………………9 分

5 , y1 ) ?( x2 4

5 1 1 , y2 ) = (ty1 - )(ty2 - ) + y1 y2 4 4 4 1 1 = (t 2 + 1) y1 y2 - t ( y1 + y2 ) + 4 16

= - (t 2 + 1)

1 1 2t 1 + t 2 + t + 2 4 t + 2 16
2

- 2t 2 - 2 + t 2 1 7 = + =. 2 2(t + 2) 16 16
即 QA ? QB = ?

uuu uuu r r

7 . 16

……………………………………13 分

(20) (本小题满分 14 分)
9

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com (Ⅰ)解:因为 3=3 ,3=1+2,3=1+1+1,所以 f (3) = 3 .

10 / 10

因为 5=5,5=2+3,5=1+4,5=1+1+3,5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+1+1+1+1, 所以 f (5) = 7 . ……………………………………3 分

(Ⅱ)证明:因为 n + 1 ≥ 2 ,把 n + 1 的一个表示法中 a1 = 1 的 a1 去掉,就可得到一个 n 的表示法; 反之,在 n 的一个表示法前面添加一个“1+” ,就得到一个 n + 1 的表示法,即 n + 1 的表示法中 a1 = 1 的表 示法种数等于 n 的表示法种数, 所以 f ( n + 1) ? f ( n) 表示的是 n + 1 的表示法中 a1 ? 1 的表示法数. 即 f ( n + 1) - f ( n)  1 . (Ⅲ)结论是 f ( n + 1) ≤ ……………………………………8 分

1 [ f ( n) + f ( n + 2)] . 2

证明如下:由结论知,只需证 f ( n + 1) ? f ( n ) ≤ f (n + 2) ? f ( n + 1). 由(Ⅱ)知: f ( n + 1) ? f ( n) 表示的是 n + 1 的表示法中 a1 ? 1 的表示法数, f ( n + 2) ? f ( n + 1) 是

n + 2 的表示法中 a1 ? 1 的表示法数.
考虑到 n + 1 ≥ 2 ,把一个 a1 ? 1 的 n + 1 的表示法中的 a p 加上 1,就可变为一个 a1 ? 1 的 n + 2 的表 示法,这样就构造了从 a1 ? 1 的 n + 1 的表示法到 a1 ? 1 的 n + 2 的表示法的一个对应,所以有

f ( n + 1) ? f ( n) ≤ f (n + 2) ? f ( n + 1).

……………………………………14 分

10


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