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辽宁省沈阳二中高三数学上学期期中试题文(含解析)

2015-2016 学年辽宁省沈阳二中高三(上)期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. x 1.已知全集 U=R,A={y|y=2 +1},B={x|lnx<0},则(?UA)∩B=( ) A.? B.{x| <x≤1} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1}

2.设复数 z=1+i(i 是虚数单位) ,则复数 z+ 的虚部是( A. B. i
﹣0.5

)

C.

D. i )

3.设 a=2 ,b=log20152016,c=sin1830°,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c

4.已知向量 =(λ +1,1) , =(λ +2,2) ,若( + )⊥( ﹣ ) ,则 λ =( A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1 5.设 α ,β 是两个不同的平面,m 是直线且 m? α ,“m∥β “是“α ∥β ”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分不要条件 D.既不充分也不必要条件

)

)

6.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a7=9a3,则 A.9 B.5 C. D.

=(

)

7.将函数 y=sin(4x﹣ )图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是( ) A. B.x= C.x= D.x=﹣ )

个单位,

8.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(

-1-

A.4

B.

C.

D.8

9.函数

的图象大致是(

)

A.

B.

C.

D.

10.在△ABC 中,a,b,c 分别为∠A、∠B、∠C、的对边,若向量 平行,且 A. B.2 C.4 ,当△ABC 的面积为 时,则 b=( D.2+ )



11.定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时,f(x)= 关于 x 的函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( a a ﹣a ﹣a A.3 ﹣1 B.1﹣3 C.3 ﹣1 D.1﹣3 )

,则

-2-

12.如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2,甲同学在△ABC 中用余弦定理解得 ,乙同学在 Rt△ACH 中解得 区间为( ) ,据此可得 cos72°的值所在

A. (0.1,0.2) B. (0.2,0.3) C. (0.3,0.4) D. (0.4,0.5)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.设 sin2α =﹣sinα ,α ∈( ,π ) ,则 tanα 的值是__________.

14.已知变量 x,y 满足

,则

的取值范围是__________.
2

15.如图数表,为一组等式:某学生根据上表猜测 S2n﹣1=(2n﹣1) (an +bn+c) ,老师回答正确, 则 a﹣b+c=__________.

16.在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E、F 分别为 AB、BC 的中点.点 P 在以 A 为圆心, AD 为半径的圆弧 2λ ﹣μ 的取值范围是__________. 上变动 (如图所示) , 若 =λ +μ , 其中 λ , μ ∈R. 则

-3-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)△ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 试求角 B 和角 C. ,b=1, ,且 a>b,

18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E 为侧棱 PA 的中点. (1)求证:PC∥平面 BDE; (2)若 PC⊥PA,PD=AD,求证:平面 BDE⊥平面 PAB.

19.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2an=Sn+2n+1(n∈N ) . (Ⅰ)求 a1,a2,a3; (Ⅱ)求证:数列{an+2}是等比数列; (Ⅲ)求数列{n?an}的前 n 项和 Tn. 20.“水资源与永恒发展”是 2015 年联合国世界水资源日主题.近年来,某企业每年需要向 自来水厂缴纳水费约 4 万元,为了缓解供水压力,决定安装一个可使用 4 年的自动污水净化 设备,安装这种净水设备的成本费(单位:万元)与管线、主体装置的占地面积(单位:平 方米)成正比,比例系数约为 0.2.为了保证正常用水,安装后采用净水装置净水和自来水厂 供水互补的用水模式.假设在此模式下,安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单位: 万元) 与安装的这种净水设备的占地面积 x (单位: 平方米) 之间的函数关系是 C (x) = (x≥0,k 为常数) .记 y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消耗的水费之 和. (Ⅰ) 试解释 C(0)的实际意义,请建立 y 关于 x 的函数关系式并化简; (Ⅱ) 当 x 为多少平方米时,y 取得最小值?最小值是多少万元?

*

21.设函数 的切线的斜率为 k(x) ,且函数 件:①k(﹣1)=0;②对一切实数 x,不等式

的图象在点(x,f(x) )处 为偶函数.若函数 k(x)满足下列条 恒成立.

-4-

(Ⅰ)求函数 k(x)的表达式;

(Ⅱ)求证:
2

(n∈N ) .

*

22.已知函数 f(x)=﹣x +2lnx. (Ⅰ)求函数 f(x)的最大值; (Ⅱ)若函数 f(x)与 g(x)=x+ 有相同极值点, (i)求实数 a 的值;

(ii)若对于“x1,x2∈[ ,3],不等式 范围.

≤1 恒成立,求实数 k 的取值

-5-

2015-2016 学年辽宁省沈阳二中高三(上)期中数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. x 1.已知全集 U=R,A={y|y=2 +1},B={x|lnx<0},则(?UA)∩B=( ) A.? B.{x| <x≤1} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1} 【考点】补集及其运算;交集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】本题求集合的交集,由题设条件知可先对两个集合进行化简,再进行交补的运算, 集合 A 由求指数函数的值域进行化简,集合 B 通过求集合的定义域进行化简 x 【解答】解:由题意 A={y|y=2 +1}={y|y>1},B={x|lnx<0}={x|0<x<1}, 故 CUA={y|y≤1} ∴(CUA)∩B={x|0<x<1} 故选 D 【点评】本题考查补集的运算,解题的关键是理解掌握集合的交的运算与补的运算,运用指 数函数与对数函数的知识对两个集合进行化简,本题是近几年高考中的常见题型,一般出现 在选择题第一题的位置考查进行集合运算的能力

2.设复数 z=1+i(i 是虚数单位) ,则复数 z+ 的虚部是(

)

A. B. i C. D. i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;方案型;函数思想;方程思想;综合法;数系的扩充和复数. 【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可. 【解答】解:复数 z=1+i(i 是虚数单位) ,

则复数 z+ =1+i+

=1+i+

=



复数 z+ 的虚部是: . 故选:A. 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念,是基础题. 3.设 a=2 ,b=log20152016,c=sin1830°,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c 【考点】对数值大小的比较. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 【解答】解:∵1>a=2
﹣0.5 ﹣0.5

)

=

,b=log20152016>1,c=sin1830°=sin30°= ,

-6-

∴b>a>c, 故选:D. 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题.

4.已知向量 =(λ +1,1) , =(λ +2,2) ,若( + )⊥( ﹣ ) ,则 λ =( A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【专题】平面向量及应用. 【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出. 【解答】解:∵ ∴ ∵ ∴ =(2λ +3,3) , , =0, , . .

)

∴﹣(2λ +3)﹣3=0,解得 λ =﹣3. 故选 B. 【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键. 5.设 α ,β 是两个不同的平面,m 是直线且 m? α ,“m∥β “是“α ∥β ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分不要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】m∥β 并得不到 α ∥β ,根据面面平行的判定定理,只有 α 内的两相交直线都平行 于 β ,而 α ∥β ,并且 m? α ,显然能得到 m∥β ,这样即可找出正确选项. 【解答】解:m? α ,m∥β 得不到 α ∥β ,因为 α ,β 可能相交,只要 m 和 α ,β 的交线 平行即可得到 m∥β ; α ∥β ,m? α ,∴m 和 β 没有公共点,∴m∥β ,即 α ∥β 能得到 m∥β ; ∴“m∥β ”是“α ∥β ”的必要不充分条件. 故选 B. 【点评】考查线面平行的定义,线面平行的判定定理,面面平行的定义,面面平行的判定定 理,以及充分条件、必要条件,及必要不充分条件的概念.

6.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a7=9a3,则 A.9 B.5 C. D. 【考点】等差数列的性质.

=(

)

-7-

【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的通项及求和公式,即可得出结论. 【解答】解:∵等差数列{an},a7=9a3, ∴a1+6d=9(a1+2d) , ∴a1=﹣ d,



=

=9,

故选:A. 【点评】本题考查等差数列的通项及求和公式,考查学生的计算能力,属于中档题.

7.将函数 y=sin(4x﹣ )图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是( )

个单位,

A. B.x= C.x= D.x=﹣ 【考点】函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】利用函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换,可求得变换后的函数的解析式为 y=sin(8x ﹣ ) ,利用正弦函数的对称性即可求得答案. )图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到的函数

【解答】解:将函数 y=sin(4x﹣ 解析式为:g(x)=sin(2x﹣ 再将 g(x)=sin(2x﹣ (x+ 由 2x+ )﹣ =kπ + ) ,

)的图象向左平移 ﹣

个单位(纵坐标不变)得到 y=g(x+ ) ,

)=sin[2

]=sin(2x+

)=sin(2x+ +

(k∈Z) ,得:x=

,k∈Z.

∴当 k=0 时,x= ,即 x= 是变化后的函数图象的一条对称轴的方程, 故选:A. 【点评】本题考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换,求得变换后的函数的解析式是关键, 考查正弦函数的对称性的应用,属于中档题. 8.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )

-8-

A.4 B. C. D.8 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体,画出其直观图,由三视图可得 SC⊥ 平面 ABCD,AB⊥平面 BCSE,SC=4,BE=2.四边形 ABCD 为边长为 2 的正方形,把数据代入棱 锥的体积公式计算可得答案. 【解答】解:由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体,其直观图如图:

其中 SC⊥平面 ABCD,AB⊥平面 BCSE, 又 SC=4,BE=2.四边形 ABCD 为边长为 2 的正方形, ∴几何体的体积 V=V 四棱锥+V 三棱锥 A﹣BSE= ×2 ×4+ × ×2×2×2= + = . 故选 B. 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,判断几何体的形状及数据所对应的几何量是 解题的关键.
2

9.函数

的图象大致是(

)

-9-

A.

B.

C.

D. 【考点】余弦函数的图象. 【专题】数形结合. 【分析】由函数的解析式可以看出,函数的零点呈周期性出现,且法自变量趋向于正无穷大 时,函数值在 x 轴上下震荡,幅度越来越小,而当自变量趋向于负无穷大时,函数值在 x 轴 上下震荡,幅度越来越大,由此特征对四个选项进行判断,即可得出正确选项.

【解答】解:∵函数 ∴函数的零点呈周期性出现,且法自变量趋向于正无穷大时,函数值在 x 轴上下震荡,幅度 越来越小,而当自变量趋向于负无穷大时,函数值在 x 轴上下震荡,幅度越来越大, A 选项符合题意; B 选项振幅变化规律与函数的性质相悖,不正确; C 选项是一个偶函数的图象,而已知的函数不是一个偶函数故不正确; D 选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意,故不对. 综上,A 选项符合题意 故选 A 【点评】本题考查余弦函数的图象,解题的关键是根据余弦函数的周期性得出其零点周期性 出现,再就是根据分母随着自变量的变化推测出函数图象震荡幅度的变化,由这些规律对照 四个选项选出正确答案.

10.在△ABC 中,a,b,c 分别为∠A、∠B、∠C、的对边,若向量 平行,且 ,当△ABC 的面积为 时,则 b=( )



A. B.2 C.4 D.2+ 【考点】向量在几何中的应用. 【分析】利用向量共线的充要条件得 a,b,c 的关系,利用三角形的面积公式得到 a,b,c 的第二个关系,利用三角形的余弦定理得到第三个关系,解方程组求出 b. 【解答】解:由向量 和 共线知 a+c=2b①,

- 10 -



②,

由 c>b>a 知角 B 为锐角,

③,

联立①②③得 b=2. 故选项为 B 【点评】本题考查向量共线的充要条件,三角形的面积公式及三角形中的余弦定理.

11.定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时,f(x)= 关于 x 的函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( a a ﹣a ﹣a A.3 ﹣1 B.1﹣3 C.3 ﹣1 D.1﹣3 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】函数的性质及应用. )

,则

【分析】利用奇偶函数得出当 x≥0 时,f(x)=

,x≥0 时,

f(x)=
a

,画出图象,根据对称性得出零点的值满足 x1+x2,

x4+x5 的值,关键运用对数求解 x3=1﹣3 ,整体求解即可. 【解答】解:∵定义在 R 上的奇函数 f(x) , ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,

∵当 x≥0 时,f(x)=



∴当 x≥0 时,f(x)=



得出 x<0 时,f(x)= 画出图象得出:

- 11 -

如图从左向右零点为 x1,x2,x3,x4,x5, 根据对称性得出:x1+x2=﹣4×2=﹣8, x4+x5=2×4=8,﹣log (﹣x3+1)=a,x3=1﹣3 , a a 故 x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3 +8=1﹣3 , 故选:B 【点评】本题综合考察了函数的性质,图象的运用,函数的零点与函数交点问题,考查了数 形结合的能力,属于中档题. 12.如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2,甲同学在△ABC 中用余弦定理解得 ,乙同学在 Rt△ACH 中解得 区间为( ) ,据此可得 cos72°的值所在
a

A. (0.1,0.2) B. (0.2,0.3) C. (0.3,0.4) D. (0.4,0.5) 【考点】解三角形;余弦函数的定义域和值域. 【专题】综合题;压轴题. 【分析】根据题意,建立方程,再构造函数.利用零点存在定理,确定零点所在区间. 【解答】解:根据题意可得 ∴
- 12 -

构造函数 ∵

﹣1 ,

∴x 所在区间为(0.3,0.4) 即 cos72°的值所在区间为(0.3,0.4) 故选 C. 【点评】本题考查解三角形,考查函数思想,考查函数零点的判断,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.设 sin2α =﹣sinα ,α ∈( ,π ) ,则 tanα 的值是﹣ 【考点】二倍角的余弦;同角三角函数间的基本关系. 【专题】三角函数的求值. 【分析】依题意,利用二倍角的正弦可得 cosα =﹣ ,又 α ∈( 继而可得 tanα 的值. 【解答】解:∵sin2α =2sinα cosα =﹣sinα , ∴cosα =﹣ ,又 α ∈( ∴α = , . . ,π ) , .

,π ) ,可求得 α 的值,

∴tanα =﹣ 故答案为:﹣

【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系与二倍角的正弦,属于基础题.

14.已知变量 x,y 满足

,则

的取值范围是[ , ].

【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;数形结合法;不等式的解法及应用. 【分析】作出可行域,变形目标函数可得 连线的斜率与 1 的和,数形结合可得. =1+ 表示可行域内的点与 A(﹣2,﹣1)

【解答】解:作出

所对应的区域(如图阴影) ,

变形目标函数可得 = =1+ , 表示可行域内的点与 A(﹣2,﹣1)连线的斜率与 1 的和,

- 13 -

由图象可知当直线经过点 B(2,0)时,目标函数取最小值 1+ 当直线经过点 C(0,2)时,目标函数取最大值 1+ 故答案为:[ , ] = ;

= ;

【点评】本题考查简单线性规划,涉及直线的斜率公式,准确作图是解决问题的关键,属中 档题. 15.如图数表,为一组等式:某学生根据上表猜测 S2n﹣1=(2n﹣1) (an +bn+c) ,老师回答正确, 则 a﹣b+c=5.
2

【考点】归纳推理. 【专题】规律型;方程思想;简易逻辑. 2 【分析】利用所给等式,对猜测 S2n﹣1=(2n﹣1) (an +bn+c) ,进行赋值,即可得到结论.

【解答】解:由题意,







∴a﹣b+c=5, 故答案为:5 【点评】本题考查了归纳推理,根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所 有对象都具有这种性质的推理.

- 14 -

16.在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E、F 分别为 AB、BC 的中点.点 P 在以 A 为圆心, AD 为半径的圆弧 2λ ﹣μ 的取值范围是[﹣1,1]. 上变动 (如图所示) , 若 =λ +μ , 其中 λ , μ ∈R. 则

【考点】向量在几何中的应用. 【专题】综合题;平面向量及应用. 【分析】建立如图所示的坐标系,则 A(0,0) ,E(1,0) ,D(0,1) ,F(1.5,0.5) ,P(cosα , sinα ) (0°≤α ≤90°) ,λ ,μ 用参数进行表示,利用辅助角公式化简,即可得出结论. 【解答】解:建立如图所示的坐标系,则 A(0,0) ,E(1,0) ,D(0,1) ,F(1.5,0.5) ,P (cosα ,sinα ) (0°≤α ≤90°) , ∵ =λ +μ ,

∴(cosα ,sinα )=λ (﹣1,1)+μ (1.5,0.5) , ∴cosα =﹣λ +1.5μ ,sinα =λ +0.5μ , ∴λ = (3sinα ﹣cosα ) ,μ = (cosα +sinα ) , ∴2λ ﹣μ =sinα ﹣cosα = sin(α ﹣45°)

∵0°≤α ≤90°, ∴﹣45°≤α ﹣45°≤45°, ∴﹣ ≤sin(α ﹣45°)≤ sin(α ﹣45°)≤1 ,

∴﹣1≤

∴2λ ﹣μ 的取值范围是[﹣1,1]. 故答案为:[﹣1,1].

【点评】本题考查平面向量知识的运用,考查学生的计算能力,正确利用坐标系是关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

- 15 -

17.已知函数 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)△ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ,b=1, ,且 a>b, 试求角 B 和角 C. 【考点】正弦定理的应用;两角和与差的正弦函数. 【专题】解三角形. 【分析】 (1)将 f(x)解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值 化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由正弦函数的递增区 间为[2kπ ﹣ ,2kπ + 的递增区间; ],x∈Z 列出关于 x 的不等式,求出不等式的解集即可得到 f(x)

(2)由(1)确定的 f(x)解析式,及 f( )=﹣ ,求出 sin(B﹣ )的值,由 B 为三 角形的内角,利用特殊角的三角函数值求出 B 的度数,再由 b 与 c 的值,利用正弦定理求出 sinC 的值,由 C 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值求出 C 的度数,由 a 大于 b 得到 A 大于 B,检验后即可得到满足题意 B 和 C 的度数. 【解答】解: (1)f(x)=cos(2x﹣ 令 2kπ ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ + )﹣cos2x= sin2x﹣ cos2x= ≤x≤kπ + sin(2x﹣ ,x∈Z, ) ,

,x∈Z,解得:kπ ﹣ ,kπ +

则函数 f(x)的递增区间为[kπ ﹣ (2)∵f(B)= ∵0<B<π ,∴﹣ ∴B﹣ =﹣ sin(B﹣ <B﹣ , )=﹣ <

],x∈Z; )=﹣ ,

,∴sin(B﹣



,即 B= ,

又 b=1,c=

∴由正弦定理 = ∵C 为三角形的内角, ∴C= 当 C= 或 , ;当 C=

得:sinC=

=



时,A=

时,A=

(不合题意,舍去) ,

则 B= ,C= . 【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式,正弦定理,正弦函数的单调性,以 及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

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18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E 为侧棱 PA 的中点. (1)求证:PC∥平面 BDE; (2)若 PC⊥PA,PD=AD,求证:平面 BDE⊥平面 PAB.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)连结 AC,交 BD 于 O,连结 OE,E 为 PA 的中点,利用三角形中位线的性质,可 知 OE∥PC,利用线面平行的判定定理,即可得出结论; (2)先证明 PA⊥DE,再证明 PA⊥OE,可得 PA⊥平面 BDE,从而可得平面 BDE⊥平面 PAB. 【解答】证明: (1)连结 AC,交 BD 于 O,连结 OE. 因为 ABCD 是平行四边形,所以 OA=OC.… 因为 E 为侧棱 PA 的中点,所以 OE∥PC.… 因为 PC? 平面 BDE,OE? 平面 BDE,所以 PC∥平面 BDE.… (2)因为 E 为 PA 中点,PD=AD,所以 PA⊥DE.… 因为 PC⊥PA,OE∥PC,所以 PA⊥OE. 因为 OE? 平面 BDE,DE? 平面 BDE,OE∩DE=E, 所以 PA⊥平面 BDE.… 因为 PA? 平面 PAB,所以平面 BDE⊥平面 PAB.…(14 分)

【点评】本题考查线面平行的判定,考查面面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题. 19.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2an=Sn+2n+1(n∈N ) . (Ⅰ)求 a1,a2,a3; (Ⅱ)求证:数列{an+2}是等比数列; (Ⅲ)求数列{n?an}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;数列的函数特性;等比关系的确定. 【专题】计算题.
*

- 17 -

【分析】 (I)根据 2an=Sn+2n+1,分别取 n=1,2,3,可求出 a1,a2,a3 的值; (II)因为 2an=Sn+2n+1,所以有 2an+1=Sn+1+2n+3 成立,两式相减可得 an+1+2=2(an+2) ,然后根 据等比数列定义可得结论; (III)先求出数列{n?an}的通项公式,然后利用错位相消法进行求和即可. 【解答】 (本小题满分 13 分) (I)解:由题意,当 n=1 时,得 2a1=a1+3,解得 a1=3. 当 n=2 时,得 2a2=(a1+a2)+5,解得 a2=8. 当 n=3 时,得 2a3=(a1+a2+a3)+7,解得 a3=18. 所以 a1=3,a2=8,a3=18 为所求.… (Ⅱ)证明:因为 2an=Sn+2n+1,所以有 2an+1=Sn+1+2n+3 成立. 两式相减得:2an+1﹣2an=an+1+2. * 所以 an+1=2an+2(n∈N ) ,即 an+1+2=2(an+2) .… 所以数列{an+2}是以 a1+2=5 为首项,公比为 2 的等比数列.… n﹣1 n﹣1 * (Ⅲ)解:由(Ⅱ) 得:an+2=5×2 ,即 an=5×2 ﹣2(n∈N ) . n﹣1 * 则 nan=5n?2 ﹣2n(n∈N ) .… n﹣1 设数列{5n?2 }的前 n 项和为 Pn, 0 1 2 n﹣2 n﹣1 则 Pn=5×1×2 +5×2×2 +5×3×2 +…+5×(n﹣1)?2 +5×n?2 , 1 2 3 n﹣1 n 所以 2Pn=5×1×2 +5×2×2 +5×3×2 +…+5(n﹣1)?2 +5n?2 , 1 2 n﹣1 n 所以﹣Pn=5(1+2 +2 +…+2 )﹣5n?2 , n * 即 Pn=(5n﹣5)?2 +5(n∈N ) .…

所以数列{n?an}的前 n 项和 Tn=
n 2 *



整理得,Tn=(5n﹣5)?2 ﹣n ﹣n+5(n∈N ) .…(13 分) 【点评】本题主要考查了等比关系的确定,以及利用错位相消法求和,同时考查了计算能力, 属于中档题. 20.“水资源与永恒发展”是 2015 年联合国世界水资源日主题.近年来,某企业每年需要向 自来水厂缴纳水费约 4 万元,为了缓解供水压力,决定安装一个可使用 4 年的自动污水净化 设备,安装这种净水设备的成本费(单位:万元)与管线、主体装置的占地面积(单位:平 方米)成正比,比例系数约为 0.2.为了保证正常用水,安装后采用净水装置净水和自来水厂 供水互补的用水模式.假设在此模式下,安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单位: 万元) 与安装的这种净水设备的占地面积 x (单位: 平方米) 之间的函数关系是 C (x) = (x≥0,k 为常数) .记 y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消耗的水费之 和. (Ⅰ) 试解释 C(0)的实际意义,请建立 y 关于 x 的函数关系式并化简; (Ⅱ) 当 x 为多少平方米时,y 取得最小值?最小值是多少万元? 【考点】函数模型的选择与应用;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】应用题;函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)C(0)的实际意义是不安装设备时每年缴纳的水费为 4 万元,依题意,C(0) = =4,可求得 k,从而得到 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)利用基本不等式即可求得 y 取得的最小值及 y 取得最小值时 x 的值.

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【解答】解: (Ⅰ) C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为 4 万元 ∵C(0)= ∴y=0.2x+ =4,∴k=1000; =0.2x+ ,x≥0﹒﹒

(Ⅱ) y=0.2(x+5+

)﹣1≥0.2×20﹣1=7

当 x+5= ,即 x=15 时,ymin=7 ∴当 x 为 15 平方米时,y 取得最小值 7 万元 【点评】本题考查函数最值的应用,着重考查分析与理解能力,考查基本不等式的应用,属 于中档题.

21.设函数 的切线的斜率为 k(x) ,且函数 件:①k(﹣1)=0;②对一切实数 x,不等式 (Ⅰ)求函数 k(x)的表达式;

的图象在点(x,f(x) )处 为偶函数.若函数 k(x)满足下列条 恒成立.

(Ⅱ)求证:

(n∈N ) .

*

【考点】综合法与分析法(选修) ;函数奇偶性的性质;函数恒成立问题;利用导数研究曲线 上某点切线方程. 【专题】证明题. 【分析】 (Ⅰ)由已知得:k(x)=f'(x) ,根据 g(x)的奇偶性求出 b,根据 k(﹣1)=0, 求出 ,再由 的表达式. 对一切实数 x 恒成立,解得 a、c 的值,即得函数 k(x)

(Ⅱ)根据

,即证

,把

代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成 立. 2 【解答】解: (Ⅰ)由已知得:k(x)=f'(x)=ax +bx+c.… 由 为偶函数,得 .… 为偶函数,显然有 .…

又 k(﹣1)=0,所以 a﹣b+c=0,即 又因为

对一切实数 x 恒成立,

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即对一切实数 x,不等式 显然,当 时,不符合题意.…

恒成立.…

当 注意到

时,应满足 ,解得 .… 所以

, . …

(Ⅱ)证明:因为

,所以

.…

要证不等式

成立,

即证

.…

因为

,…

所以

=



所以

成立.…(14 分)

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用,函数的恒成立问题,利用导数研究曲线在某点 的切线斜率,以及用裂项法对数列进行 求和,属于难题. 22.已知函数 f(x)=﹣x +2lnx. (Ⅰ)求函数 f(x)的最大值; (Ⅱ)若函数 f(x)与 g(x)=x+ 有相同极值点, (i)求实数 a 的值;
2

(ii)若对于“x1,x2∈[ ,3],不等式

≤1 恒成立,求实数 k 的取值

范围. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题. 【专题】综合题;压轴题;导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)求导函数,确定函数的单调性,从而可得函数 f(x)的最大值;

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(Ⅱ) (ⅰ)求导函数,利用函数 f(x)与 g(x)=x+ 有相同极值点,可得 x=1 是函数 g(x) 的极值点,从而可求 a 的值; (ⅱ)先求出 x1∈[[ ,3]时,f(x1)min=f(3)=﹣9+2ln3,f(x1)max=f(1)=﹣1;x2∈[[ , 3]时,g(x2)min=g(1)=2,g(x2)max=g(3)= ,再将对于“x1,x2∈[ ,3],不等式

≤1 恒成立,等价变形,分类讨论,即可求得实数 k 的取值范围.

【解答】解: (Ⅰ)求导函数可得:f′(x)=﹣2x+ =﹣ 由 f′(x)>0 且 x>0 得,0<x<1;由 f′(x)<0 且 x>0 得,x>1. ∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数. ∴函数 f(x)的最大值为 f(1)=﹣1.

(x>0)

(Ⅱ)∵g(x)=x+ ,∴g′(x)=1﹣



(ⅰ)由(Ⅰ)知,x=1 是函数 f(x)的极值点, 又∵函数 f(x)与 g(x)=x+ 有相同极值点, ∴x=1 是函数 g(x)的极值点, ∴g′(1)=1﹣a=0,解得 a=1.

(ⅱ)∵f( )=﹣

﹣2,f(1)=﹣1,f(3)=﹣9+2ln3,

∵﹣9+2ln3<﹣

﹣2<﹣1,即 f(3)<f( )<f(1) ,

∴x1∈[[ ,3]时,f(x1)min=f(3)=﹣9+2ln3,f(x1)max=f(1)=﹣1

由(ⅰ)知 g(x)=x+ ,∴g′(x)=1﹣



当 x∈[ ,1)时,g′(x)<0;当 x∈(1,3]时,g′(x)>0. 故 g(x)在[ ,1)为减函数,在(1,3]上为增函数. ∵ 而 2< < ,g(1)=2,g(3)= ,

,∴g(1)<g( )<g(3)

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∴x2∈[[ ,3]时,g(x2)min=g(1)=2,g(x2)max=g(3)= ①当 k﹣1>0,即 k>1 时,

对于“x1, x2∈[ , 3], 不等式

≤1 恒成立, 等价于 k≥[f (x1) ﹣g (x2) ]max+1

∵f(x1)﹣g(x2)≤f(1)﹣g(1)=﹣1﹣2=﹣3, ∴k≥﹣2,又∵k>1,∴k>1. ②当 k﹣1<0,即 k<1 时,

对于“x1, x2∈[ , 3], 不等式 ∵f(x1)﹣g(x2)≥f(3)﹣g(3)=﹣ ∴k≤ 又∵k<1,∴k≤ . .

≤1 恒成立, 等价于 k≤[f (x1) ﹣g (x2) ]min+1 ,

综上,所求的实数 k 的取值范围为(﹣∞, ]∪(1,+∞) . 【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查分类讨论的 数学思想,属于中档题.

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