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高中数学人教B版选修2-1第三章《3.2.4二面角及其度量》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学人教 B 版选修 2-1 第三章 《3.2.4 二面角及其度量》 优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案 1 教学目标 (1)通过类比异面直线所成的角、 直线与平面所成角的解决方法,得到用向量求二面角大小的 方法,并能用之解决有关问题,体会向量方法在研究立体几何问题中的作用. (2)在探究用向量法求二面角大小的过程中,体会数形结合、类比转化的数学思想,进一步提 高空间想象能力、分析和解决问题的能力. (3)通过经历向量法求二面角大小的推导过程,培养大胆探索的精神,提高学习立体几何的兴 趣. 2 学情分析 我所授课的班级是房山区一所普通中学的宏志班,学生思维活跃,有一定的探索和分析问题、 解决问题的能力.在本节课之前,学生已学习了利用平面角求二面角的大小.已会建立空间直 角坐标系、进行向量的坐标运算以及求平面法向量,掌握了利用向量方法解决线线、线面角 的问题,这都为学习本节课的内容奠定了基础. 3 重点难点 重点:用法向量的夹角求二面角方法的探究及应用 难点:二面角与两个半平面的法向量夹角的关系 4 教学过程 4.1 第一学时 4.1.1 教学活动 活动 1【活动】3.2.4 二面角及其度量 为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,本节课的教学过程按照 “温故知新-探究方法 -实践操作-归纳总结”的顺序设定为 4 个主要阶段. 1、温故知新 为了引入向量工具,我以 “如何度量二面角 的大小” 入手,复习二面角的平面角的概念,然后 复习求异面直线所成的角、求直线和平面所成的角的向量方法; 提出问题:如果不作出二面角的平面角,能否用向量法求二面角的大小?引入课题。 【设置意图】 通过复习二面角平面角的知识,类比线线角、 线面角的解决方法,自然引出可以 用向量探究二面角的大小. 2、探究方法 在此环节,我引导学生思考下面两个问题: 问题 1、二面角 的平面角 能否转化成向量的夹角? 目的是引导学生从平面角出发,找到二面角的平面角与向量的关系 ,得到用向量求二面角的 第一种方法——利用两个半平面内分别垂直于棱的向量的夹角: ,转化为数量积求角 【设置意图】 通过教师引导,由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定,调动学生探 究这一问题的主动性和积极性. 然后提出问题 2:求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角, 那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系? 我借助实物教具展示一个二面角,作出法向量后, 引导学生观察教具,思考法向量夹角与二 面角的平面角的关系. 课上学生交流的很活跃,能判断出法向量夹角与二面角的平面角相等或互补,我将学生的讨 论结果在黑板上画图演示,然后利用几何画板演示不同的情况,验证学生的结论并且说明理 由(如下图). 图1 图2 结论 1: , 图3 图4 结论 2: , 【设置意图】通过教师引导和学生的交流讨论,培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和 乐于探索的精神;通过实物教具、 板书画图、 课件演示,帮助学生理解法向量夹角与二面角大 小的关系.这一探究过程体现了学生的主体地位和教师的主导作用。 在得到法向量夹角与二面角大小的关系之后,我会引导学生继续探讨问题 3:法向量的夹角 与二面角的大小什么时候相等,什么时候互补? 通过再次演示课件,由学生发现下面的规律: 当法向量 , 一个指向二面角内,另一个指向二面角外时,二面角的大小 ; 当法向量 , 同时指向二面角内或二面角外时,二面角的大小 . 【设置意图】进一步探究法向量的夹角与二面角大小的关系,结合规律加深学生对这一难点 内容的理解. 在得到用向量求二面角的大小的两种方法后,我设计了应用方法解决问题,进入第三个环节. 3、实践操作 给出例题:已知 ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1, 面 SAB 与平面 SCD 的所成二面角的余弦值. 在读题的过程中我先引导学生分析已知和垂直关系,确定解决方法:利用两个半平面法向量 的夹角解决。 然后请学生思考如何建系,因为学生对建立坐标系掌握得较好,学生很快就能说 出由已知 SA⊥平面 ABCD,AB⊥AD,SA,AB,AD 两两互相垂直.选择以 A 为坐标原点建立空间直 角坐标系 A-xyz,对于 x 轴的选取有说以 AB 所在的直线为 x 轴,有说以 AD 所在的直线为 x 轴,我补充说明建系基于计算方便,建系不同不影响最后的结果. 【设置意图】建立坐标系是本题的关键,通过分析垂直关系培养学生的空间想象能力和建立 适当的坐标系的能力. 确定坐标系后师生共同完成解答,教师板书示范解题步骤: 解:由 SA⊥平面 ABCD,AB⊥AD,SA,AB,AD 两两互相垂直.以 A 为坐标原点,AD 所在的直线为 x 轴,AB 所在的直线为 y 轴建立空间直角坐标系 A-xyz,则 , , , , , 设平面 SCD 的法向量为 ,则 , ,转化为坐标运算,得 取 z=1,则 , . 对法向量 z 的选取,学生有取 ,得到 , ,我通过课件演示法向量坐标的两种情况,引导学生 利用法向量的方向来判断平面 SAB 与平面 SCD 的所成二面角与法向量夹角的关系,统一学生 的认识,得出最后结论,. 图一: 图二: ,求平

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