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2017届河南省南阳市第一中学高三上学期第一次月考数学试题


数学试题
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.
1.全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6} , M ? {2,3, 4}, N ? {4,5} ,则 CU (M ? N ) ? ( A. {1,3,5} B. {2, 4,6} C. {1,5} D. {1, 6} ) )

2.集合 P ? {3, 4,5} , Q ? {6,7} ,定义 P * Q ? {(a, b) a ? P, b ?Q} ,则 P * Q 的子集个数为( A.7 B.12 C.32 D.64

3.已知命题 p : 函数 y ? 2 ? a x?1 的图象恒过定点 (1, 2) ;命题 q : 若函数 y ? f ( x ? 1) 为偶函数,则函数

y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,则下列命题为真命题的是(
A. p ? q B. p ? q C. ? p ? q D. p ? ?q



4.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? (??,0] 时, f ( x ) 为减函数,若 a ? f (20.3 ) ,

b ? f (log 1 4) , c ? f (log2 5) ,则 a, b, c 的大小关系是(
2



A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. c ? a ? b

D. a ? c ? b )

2 ? ?ax ? 1, x ? 0 5.已知函数 f ( x) ? ? 为 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围是( ax ( a ? 2) e , x ? 0 ? ?

A. [?1, 0)

B. (0, ??) )

C. (?2, 0)

D. (??, ?2)

6.下列说法正确的是(

A.命题 p : “ ?x ? R,sin x ? cos x ? 2 ” ,则 ? p 是真命题;
2 B.命题“ ?x ? R 使得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R, x ? 2 x ? 3 ? 0 ” ;
2

C. “ x ? ?1 ”是“ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件;
2

D. “ a ? 1 ”是“ f ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1) 在 (0, ??) 上为增函数”的充要条件 7.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ( 0 ? ? ?

?
2

)的一条对称轴为直线 x ? )

?
12

,则要得到函数

F ( x) ? f ' ( x) ? f ( x ?

?
12

) 的图象,只需把函数 f ( x) 的图象(

? 个单位,纵坐标伸长为原来的 3 倍 3 ? B.沿 x 轴向右平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 3 倍 3 ? C.沿 x 轴向左平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 3 倍 6 ? D.沿 x 轴向右平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 3 倍 6 1 2 8.已知函数 f ( x) ? x ? cos x , f ' ( x) 是 f ( x ) 的导函数,则 f ' ( x) 的图象大致是( 4
A.沿 x 轴向左平移



9.已知函数 f (2x ) 的定义域为 ?0,1? ,则 f (log2 x) 的定义域为( A. ?0,1? B. ?1, 2? C. ? 2, 4? D. ? ?1,0?



2 10.已知 f ( x ) 是定义在 R 上且以 3 为周期的奇函数, 当 x ? (0, ) 时,f ( x) ? ln( x ? x ? 1) , 则函数 f ( x )

3 2

在区间 [0, 6] 上的零点个数是( A.3 B.5 C.7



D.9

? ? 1 ? x2 , x ? 1 11.已知函数 f ( x) ? ? 。 且对于任意实数 a ? (0,1) 关于 x 的方程 f ( x) ? a ? 0 都 2 ? ?? x ? 2mx ? 2m ? 1, x ? 1
有四个不相等的实根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 的取值范围是( A. (2, 4] B. (??,0] ? [4, ??) C. [4, ??) D. (2, ??) )

12.定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时,

f ( x) ? ?2x2 ? 12x ?18 ,若函数 y ? f ( x) ? loga ( x ?1) 在 (0, ??) 上至少有三个零点,则 a 的取值范围
是( A. (0, )

2 ) 2

B. (0,

3 ) 3

C. (0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

第Ⅱ卷
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分.)

13.已知直线 x ? 斜角为________.

?
4

是函数 f ( x) ? a sin x ? b cos (ab ? 0) 图象的一条对称轴, 则直线 ax ? by ? c ? 0 的倾

14.函数 f ( x) ? lg(2cos x ?1) ? 49 ? x 2 的定义域为___________. 15.已知 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? ax ? 3a) 在区间 [2, ??) 上为减函数,则实数 a 的取值范围是___________.
2

16.对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) , 给出定义: 设 f ' ( x) 是 f ( x ) 的导数,f '' ( x) 是 f ' ( x) 的导数,若方程 f '' ( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点” ,某同学经过探究 发现:任何一个三次函数都有“拐点” ;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心,设 函数 f ( x) ?

1 2 1 2 5 1 2 3 x ? x ? 3x ? ,请你根据这一发现,计算 f ( )? f ( )? f ( )?? 3 2 12 2015 2015 2015

?f(

2014 )? 2015

______________.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10 分)化简计算下列各式的值

sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) sin(? ? ? ) ? cos( ? ? ) 2 2 2 ? (1) cos(? ? ? ) sin(? ? ? )

?

?

?

(1 ? log6 3)2 ? log6 2 ? log6 18 (2) log6 4
18.(12 分) 已知集合 A ? {x

1 1 ? 2 x ? 128} , B ? { y y ? log 2 x, x ? [ ,32]} , 4 8

(1)若 C ? {x m ?1 ? x ? 2m ?1} , C ? ( A ? B) ,求实数 m 的取值范围. (2)若 D ? {x x ? 6m ?1} ,且 ( A ? B) ? D ? ? ,求实数 m 的取值范围. 19.(12 分)
2 2x 命题 p :“关于 x 的方程 x ? ax ? 1 ? 0 有解” , 命题 q :“ ?x ? R ,e ? 2ex ? a ? 0 恒成立” , 若 “ p ?q”

为真,求实数 a 的取值范围. 20.(12 分)

函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( x ? R , A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)设 g ( x ) ? [ f ( x ?

?
2

)的部分图象如图所示.

?
12

)]2 ,求函数 g ( x) 在 x ? [ ?

? ?

, ] 上的最大值,并确定此时 x 的值. 6 3

21.(12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x2 ? 2ax ? a2 , a ? R . (1)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值; (2)根据 a 的不同取值,讨论函数 f ( x ) 的极值点情况. 22.(12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

ax (a ? 0) . x ?1

(1)若函数在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行,求 a 的值; (2)若 f ( x) ? 0 在 [0, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围; (3)证明: (

2016 2017 1 ) ? ( e 是自然对数的底数). 2017 e

阳中学 2016 年秋期高三第一次月考试题

数学参考答案
一、选择题(60 分) DDDBA DAACD CB
10 当 x∈(0,1.5)时,f(x)=ln(x2-x+1),令 f(x)=0,则 x2-x+1=1,解得 x=1.

∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴在区间[-1.5,1.5]上, f(-1)=-f(1)=0,f(0)=0. f(1.5)=f(1.5-3)=f(-1.5)=-f(1.5), ∵函数 f(x)是周期为 3 的周期函数,

∴f(-1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=f(-1.5)=0.

∴方程 f(x)=0 在区间[0,6]上的解有 0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6,共 9 个 11 因 ,故应选 C.
y

,故

,即

,由于

,因此

1

B y=a x

-1 x1

O

x2 1 x3

A x=m

x4

二、填空题(20 分)

? 4;
(-4, 4]

{x | ?7 ? x ? ?
2014
;

5? ? ? 5? 或? ? x ? 或 ? x ? 7} 3 3 3 3 ;

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10 分) (1). 0; (2) . 1

18.(12 分) A ? x ? 2 ? x ? 7

?

?

, B ? y ?3 ? y ? 5

?

?

(1) A ? B ? x ? 2 ? x ? 5 ,

?

?

?m ? 1 ? 2 m ? 1 ? ①若 C ? ? ,则 m ? 1 ? 2m ? 1 ? m ? 2 ,②若 C ? ? ,则 ?m ? 1 ? ?2 ?2 m ? 1 ? 5 ?
?2 ? m ? 3
综上: m ? 3 (2) A ? B ? x ? 3 ? x ? 7 , ? 6m ? 1 ? 7 ? m ? 1

?

?

19.(12 分)解:若 p 为真,则 ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,故 a ? ?2 或 a ? 2 .

? 当 x ? 1 时, h ( x ) 有最小值, h( x) min ? h( 1 ) ? e ? e ? a ? a .
2

2

? ?x ? R, h( x) ? 0 恒成立,? h( x) min ? 0 ,即 a ? 0 .

? “ p ? q ”为真,? p 为真且 q 为真.? ?
从而所求实数 a 的取值范围为 [2, ??) .
20.(12 分)

?a ? ?2或a ? 2, ?a ? 0,

解得 a ? 2 .

π π T π 2π π 3 - ?= ,则 =4× ,∴ω= , (1)由图知 A=2, = -? 6? 3 ? 4 6 ω 3 2 3 ? ?π? ?3 π ? ?π ? ∴f(x)=2sin? ?2x+φ?.又 f?6?=2sin?2×6+φ?=2sin?4+φ?=2, π π π 3π π π ∵0<φ< , <φ+ < ,∴φ+ = , 2 4 4 4 4 2 代点时优先代最值点,因为代零点时还要考虑上升还是下降段. 3 π? π 即 φ= ,∴f(x)=2sin? ?2x+4?. 4

π? ?3? π ? π? ?3 π? (2)由(1)可得 f? ?x-12?=2sin 2?x-12?+4 =2sin?2x+8?,

?

?

π 3 x+ ? 1-cos? 4 π ? ? π? ? ??2 ∴g(x)=? =2-2cos? ?f?x-12?? =4× ?3x+4?, 2 π π? π π 5π ∵x∈? ?-6,3?,∴-4≤3x+4≤ 4 , π π ∴当 3x+ =π,即 x= 时,g(x)max=4. 4 4

21. (12 分)解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ? x ? ? ln x ? x2 ,其定义域为 ? 0, ?? ? , f ? ? x ? ? 所以 f ? x ? 在 ?1, e? 上是增函数,当 x ? 1 时, f ? x ?min ? f ?1? ? 1. 故函数 f ? x ? 在 ?1, e? 上的最小值是 1. (Ⅱ) f ? ? x ? ?

1 ? 2x ? 0 , x

2 x 2 ? 2ax ? 1 , g ? x ? ? 2 x 2 ? 2ax ? 1 . x

(ⅰ)当 a ? 0 时,在 ? 0, ?? ? 上 g ? x ? ? 0 恒成立, 此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 无极值点; (ⅱ)当 a ? 0 时,若 ? ? 4a ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ?
2

2 时,

在 ? 0, ?? ? 上 g ? x ? ? 0 恒成立,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 无极值点; 若 ? ? 4a ? 8 ? 0 , 即a ?
2

2 时, 易知当

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 时,g ? x ? ? 0 , 此时 f ? ? x ? ? 0 ; ?x? 2 2

当0 ? x ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 或x? 时, g ? x ? ? 0 ,此时 f ? ? x ? ? 0 . 2 2

所以当 a ?

2 时, x?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 是函数 f ? x ? 的极大值点, 是函数 f ? x ? 的极小值点, x? 2 2 a ? a2 ? 2 是函数 f ? x ? 的极大值点, 2

综上,当 a ?

2 时,函数 f ? x ? 无极值点;当 a ? 2 时, x ?

x?

a ? a2 ? 2 是函数 f ? x ? 的极小值点. 2
x ?1? a ax (a ? 0) ,? f ' ( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2

22.(12 分)解: (Ⅰ)? f ( x) ? ln(1 ? x) ?

f ' (1) ? 0

即a

?2

(Ⅱ) ? f ( x) ? 0 在 ?0,??? 上恒成立, ? f ( x)min ? 0 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) ? 0 在 ?0,??? 上恒成立,即 f ( x) 在 ?0,??? 上为增函数,
'

? f ( x)min ? f (0) ? 0 成立,即 0 ? a ? 1
当a

? 1 时,令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? a ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,则 0 ? x ? a ? 1 ,

即 f ( x) 在 [0, a ? 1) 上为减函数,在 (a ? 1, ??) 上为增函数,

? f ( x)min ? f (a ?1) ? 0 ,又 f (0) ? 0 ? f (a ? 1) ,则矛盾.
综上, a 的取值范围为 (0,1] .

2016 2017 1 2017 2017 ) ? ,只需证 ( ) ?e 2017 e 2016 2017 2017 1 ? 1 ,即证 ln ? 两边取自然对数得, 2017 ln , 2016 2016 2017 2017 1 1 1 ? ? 0 ,即证 ln(1 ? )? ? 0, 即证 ln 2016 2017 2016 1 ? 2016 x 由(Ⅱ)知 a ? 1 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? 在 ?0,??? 单调递增. x ?1 1 1 1 1 ? 0 ,f(0)=0, 所以 f ( ) ? ln(1 ? )? ? f (0) ? 0 , 又 1 ? 2016 2016 2016 1 ? 2016 2016 2017 1 ) ? 成立. 所以 ( 2017 e
(Ⅲ)要证 (


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