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导数及其应用[1].板块四.导数与其它知识综合5-其它.学生版


板块四.导数与其它知识综合

题型五:导数与其它知识综合
【例1】 函数 f ( x) ? ? (t 2 ? 4t )dt 在 [?1 , 5] 上的最大和最小值情况是(
0 x


32 3

A.有最大值 0,但无最小值 C.有最小值 ?
32 ,但无最大值 3

B.有最大值 0 和最小值 ? D.既无最大值又无最小值

1 a 【例2】 设函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? (2 ? b) x ? 2 有两个极值点,其中一个在区间 (0,1) 内,另一个在区间 3 2 b?5 (1, 2) 内,则 的取值范围是 . a?4

a? ? 【例3】 已知 a ≥ 0 ,函数 f ( x) ? x2 ? ax .设 x1 ? ? ?? , ? ? ,记曲线 y ? f ( x) 在点 M ? x1 , f ( x1 ) ? 处的切 2? ? 线为 l , l 与 x 轴的交点是 N ? x2 , 0 ? , O 为坐标原点.

⑴ 证明: x2 ?

x12 ; 2 x1 ? a

???? ? ???? 9a a? ? ⑵ 若对于任意的 x1 ? ? ?? , ? ? ,都有 OM ? ON ? 成立,求 a 的取值范围. 2? 16 ?
x2 是 f ( x) ? 【例4】 设 x1 ,

a 3 b ?1 2 b?R, a ? 0 的两个极值点, f ( x) 的导函数是 y ? f ?( x) , x ? x ? x( a , 3 2 ⑴如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,求证: f ?(?2) ? 3 ;
x ? ( x1 , x2 ) 时, ⑵如果 a ≥ 2 , 且 x2 ? x1 ? 2 , 函数 g ( x) ? f ?( x) ? 2( x ? x2 ) 的最小值为 h(a) , 求 h(a)

的最大值. ⑶如果 x1 ? 2 , x2 ? x1 ? 2 ,求 b 的取值范围.

1 1 c, d ?R ) 0 在R上 【例5】 已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? cx ? d ( a , 满足 f (0) ? 0 ,f ?(1) ? 0 , 且 f ?( x) ≥ 3 4 恒成立. c, d 的值; ⑴求 a ,

3 b 1 ⑵若 h( x) ? x2 ? bx ? ? ,解不等式 f ?( x) ? h( x) ? 0 . 4 2 4 m ? 2] 上有最小值 ?5 ? ⑶是否存在实数 m ,使函数 g ( x) ? f ?( x) ? mx 在区间 [m ,

若存在,请求出实数 m 的值,若不存在,请说明理由.
【例6】 已知函数 f ( x) ? x3 ? (k 2 ? k ? 1) x2 ? 5x ? 2 , g ( x) ? k 2 x2 ? kx ? 1 ,其中 k ? R .
1

3) 上不单调 ⑴设函数 p( x) ? f ( x) ? g ( x) .若 p( x) 在区间 (0 , ,求 k 的取值范围; ...

⑵设函数 q( x) ? ?

? g ( x) , x ≥ 0 ,是否存在 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟一的非零实数 ? f ( x) , x ? 0

x2 ( x2 ≠ x1 ) ,使得 q?( x2 ) ? q?( x1 ) 成立?若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理由.

2 ?2? ?2? C为 【例7】 已知函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? x3 ? f ? ? ? x 2 ? x ? C(其中 f ? ? ? 为 f ? x ? 在点 x ? 处的导数, 3 ?3? ?3? 常数) . ⑴求函数 f ? x ? 的单调区间;

⑵若方程 f ? x ? ? 0 有且只有两个不等的实数根,求常数 C ; ⑶在⑵的条件下,若 f ? ? ? ? 0 ,求函数 f ? x ? 的图象与 x 轴围成的封闭图形的面积. ? 3?
? 1?

【例8】 ⑴已知函数 f ( x) ? x3 ? x ,其图象记为曲线 C .

①求函数 f ( x) 的单调区间; ② 证明:若对于任意非零实数 x1 ,曲线 C 与其在点 P 1 ? x1 , f ? x 1? ? 处的切线交于另一点
C 与其在点 P2 处的切线交于另一点 P P 1P 2,P 2P 3 与曲 3 ? x3 ,f ? x3 ? ? ,线段 P 2 ? x2 , f ? x 2? ? ,曲线

线 C 所围成封闭图形的面积分别记为 S1 , S2 则

S1 为定值; S2

⑵对于一般的三次函数 g ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ? a ? 0? ,请给出类似于⑴②的正确命题,并予 以证明.

2


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