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2013-2014版高中数学(北师大版)必修三活页规范训练 1-5-2估计总体的数字特征 Word版含解析]


5.2

估计总体的数字特征

双基达标 ?限时 20 分钟?
1.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差见 表: 甲 平均数- x 方差 s2 则参加奥运会的最佳人选应为 A.甲 解析 答案 B.乙 C.丙 D.丁 8.5 3.5 乙 8.8 3.5 丙 8.8 2.1 丁 8 8.7 ( ).

由平均数及方差的定义知,丙的平均成绩较高且较稳定. C

2.用分层抽样抽取了容量为 10 的样本,其平均数为 5.1,方差为 0.2,则总体的 平均数与方差分别估计是 A.5.1,0.2 C.5.1,2 解析 B.0.2,0.2 D.都不能估计 ( ).

由统计的基本思想知,样本的平均数为 5.1,方差为 0.2,从而总体的

平均数也为 5.1,方差为 0.2. 答案 A

3. 甲、 乙两台机床同时生产一种零件, 现要检查它们的运行情况, 统计 10 天中, 两台机床每天出的次品数如下表所示 甲 乙 0 2 1 3 0 1 2 1 2 0 0 2 3 1 1 1 2 0 4 1 ( C.一样 D.以上都有可能 ).

两台机床出次品较少的是 A.甲 B.乙

解析

1 - x 甲=10(0+1+?+2+4)=1.5(次),

1 - x 乙=10(2+3+?+0+1)=1.2(次); ∵- x 甲>- x 乙,∴出现次品较少的是乙. 答案 B

4.已知一组数据 x1,x2,?,x10 的平均数是- x ,则数据 x1+1,x2+2,?,x10 +10 的平均数是________. 解析 答案 平均数为- x+ - x +5.5 1+2+?+10 - = x +5.5. 10

5.一组数据是 19,20,x,43,已知这组数据的平均数是整数且 20<x<28,则这 组数据的平均数及方差分别为________,________. 答案 26 或 27 97.5 或 92.5

6.为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从甲、乙两种麦苗中各抽取 10 株,测 得它们的株高分别是(单位:cm): 甲:25 乙:27 41 16 40 44 37 27 22 44 14 16 19 40 39 40 21 16 42 40

(1)哪种小麦长得高? (2)哪种小麦长得齐? 解 1 - x 甲=10(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=30(cm),

1 - x 乙=10(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=31(cm), 所以- x 甲<- x 乙,所以乙种小麦长得高.
2 2 2 (2)s2 甲=104.2(cm ),s乙=128.8(cm ), 2 所以 s2 甲<s乙,所以甲种小麦的麦苗长得整齐.

综合提高 (限时25分钟)
7.一组数据的方差是 s2,将这组数据中的每一个数都乘 3,所得的一组新数据 的方差是 s2 A. 3 B.s2 C.3s2 D.9s2 ( )

解析

- 设数据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,则 3x1,3x2,?,3xn 的平均数

1 1 为- x ′=n(3x1+3x2+?+3xn)=3- x ,∴s′2=n[(3x1-3- x )2+(3x2-3- x )2+? 1 +(3xn-3- x )2]=9×n[(x1-- x )2+(x2-- x )2+?+(xn-- x )2]=9s2. 答案 D

8.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,若该样本的平均值为 1, 则样本方差为 A. 解析 6 5 6 B.5 C. 2 D.2 ( ).

1 由题意知5(a+0+1+2+3)=1,解得 a=-1,所以样本方差为 s2=

1 2 2 2 2 2 5[(-1-1) +(0-1) +(1-1) +(2-1) +(3-1) ]=2,故选 D. 答案 D 1 20 (xi-4)2求得,则 x1+x2+?+x20=________. 20i? =1

9.已知标准差 s=

解析

由 s=

1 20 - (xi-4)2得 x =4,∴x1+x2+?+x20=20×4=80. 20i? =1

答案

80

10.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3, 20,且总体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别 是________. a+b 因为总体中位数是 10.5,所以 2 =10.5,即 a+b=21,b=21-a, 1 所以总体平均数是- x = (2+3+3+7+a+b+12+13.7+18.3+20)= 10 79(a+b) 79+21 = 10 =10; 10 1 总体方差是 s2=10[(2-10)2+(3-10)2+?+(a-10)2+(b-10)2+?+(20- a2+b2 a2+(21-a)2 2 10) ]= 10 +13.758= +13.758 10 1 21 =5a2- 5 a+57.858 解析

1 21 =5(a- 2 )2+35.808.因为 7≤a≤b≤12,所以当 a=10.5 时,s2 取得最小值 35.808,b=10.5. 答案 10.5,10.5

11.已知一组数据 x1,x2,x3,?,x10 的方差是 2,且(x1-3)2+(x2-3)2+?+(x10 -3)2=120,求- x. 解 1 ∵s2=10[(x1-- x )2+(x2-- x )2+?+(x10-- x )2]=2,

- - 2 2 ∴(x2 x 2=20, 1+x2+?+x10)-2 x (x1+x2+?+x10)+10· - - -2 2 2 即(x2 1+x2+?+x10)-2 x ·10 x +10 x =20, -2 2 ∴(x2 1+?+x10)-10 x =20.
2 2 2 又(x2 1+x2+?+x10)-6(x1+x2+?+x10)+10×3 =120,

∴(20+10- x 2)-6· 10- x +90=120, 即- x 2-6- x -1=0,∴- x =3± 10. 12.(创新拓展)从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛,由成绩得到如下的频率分 布直方图.

由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图求: (1)这 50 名学生成绩的众数与中位数; (2)这 50 名学生的平均成绩. 解 (1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数.在频率分布直方图中

高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求,所以众数应为 75 分. 由于中位数是所有数据中的中间值,故在频率分布直方图中体现的是中位数 的左右两边频数应相等,即频率也相等,从而就是小矩形的面积和相等.因

此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直 线所对应的成绩即为所求. ∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3. ∴前三个小矩形面积的和为 0.3. 而第四个小矩形面积为 0.03×10=0.3,0.3+0.3>0.5, ∴中位数应位于第四个小矩形内. 设其底边为 x,高为 0.03, ∴令 0.03x=0.2,得 x≈6.7, 故中位数应为 70+6.7=76.7(分). (2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心” ,即所有数据的平均值,取每 个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可. ∴平均成绩为 45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+65×(0.02×10)+ 75×(0.03×10)+85×(0.021×10)+95×(0.016×10)≈74(分), ∴众数是 75 分,中位数约为 77 分,平均成绩约为 74 分.


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