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衡水中学2012—2013学年度下学期一调考试 高一年级理科数学试题+答案

衡水中学 2012—2013 学年度下学期一调考试 高一年级理科数学试卷
命题人: 于洪彬 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷共2页,第Ⅱ卷共2页。共150 分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

7.如图给出的是计算

1 1 1 的值的一个程序 ? ??? 2 4 100

框图,则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应 填的语句是( ) (B) i ? 100, n ? n ? 2 (D) i ? 50, n ? n ? 2

(A) i ? 100, n ? n ? 1 (C ) i ? 50, n ? n ? 2

8.二进制数 101 110(2)转化为八进制数为( 一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上) 1. A. C.
?

) (D) 78(8) )

第 7 题图

(A) 45(8)

(B) 56(8)

(C) 67(8)

, B. D.

,则下列结论正确的是(

)

9. 函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A. (3,4)

2 的零点所在的大致区间是( x
C. (1,2) D. (0,1) )

B. (2,e)
2

10.方程 x ? 1 ? 1 ? ? y ?1? 表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两个半圆 C.两个圆

2. 已知直线 l 的倾斜角为 60 ,且 l 在 y 轴上的截距为-1,则直线 l 的方程为( A. y ? ?

D.半圆 ) .

3 x ?1 3

B. y ? 3x ?1

C.

y??

3 x ?1 3

D. y ? 3x ? 1 )

11. 若实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, 则 A.

x?4 y?2 的取值范围为( x?2 y?4
C. (??,? ]

3. 若A(-2,3) ,B(3,-2) ,C( A.

1 ,m)三点共线 则m的值为( 2
C.-2 D.2

1 2

B. ?

1 2

? 3? ? 0, ? ? 4?

B.

?4 ? ? ? 3 , ?? ? ?

4 3

4 D. [? ,0) 3

12.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3 , ?ASC ? ?BSC ? 30 ? ,则棱锥 S— ABC 的体积为( ) ) A. 3 3 B. 3 二 填空题 ( 每小题 5 分,共 20 分。 ) C. 2 3 D.1 .

4. 已知直线 l 过点(2,1),且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线 l 的方程为( A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 或 x ? 2 y ? 0 5. 直线 l1 :ax+3y+1=0, A.-3 B. x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 2 y ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 )

l2 :2x+(a+1)y+1=0, 若 l1 ∥ l2 ,则 a=(
C.-3 或 2

13. 圆心在 x 轴上,且过两点 A(1,4),B(3,2)的圆的方程为

B.2

D.3 或-2 (
1? ?1 D. ? ,- ? 2? ?6

14. 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC= 2 3 ,则棱锥 ) O-ABCD 的体积为_____________. 15. 已知直线 l 经过点 P(1 , 2) ,并且与点 A(2 , 3) 和点 B(0 , ? 5) 的距离相等,则直线 l 的方程为 ________________. 16.如图所示,四棱锥 P-ABCD 中 底面 ABCD 为边长为 2 的菱形 P

6.已知 a, b 满足 a ? 2b ? 1 ,则直线 ax ? 3 y ? b ? 0 必过定点
? 1 1? A. ?- , ? ? 6 2?

B. ? ,

?1 ?2

1? ? 6?

C. ? , -

?1 ?2

1? ? 6?

?BAD ? 600 ,PA=PD=2,平面 PAD ? 平面 ABCD,则它的正视图的
面积为________________.
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D A B

C

三 解答题 17.(10 分)圆 0:x 2 ? y
?

20. (12 分)已知圆 P 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 外切,并且与直线 l : x ? 3 y ? 0 相切于点 Q(3, ? 3) ,
2

? 8 内有一点 p(-1,2),AB 为过点 p 且倾斜角为 ? 的弦,

求圆 P 的方程

(1)当 ? =135 时,求 AB 的长; (2)当弦 AB 被点 p 平分时,写出直线 AB 的方程.

21. (12分) 已知圆C经过点A(-3,0),B(3,0),且圆心在直线y=x上 ,又直线 l: y=kx+2与圆C交于 18. (12 分) 如图所示,在正三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, AB ? AC ? BC ? BB1 ? 2 ,D 点为棱 AB 的 中点. (1) 求证: AC1 ∥ 平面 CDB1 (2)求 BB1与平面CDB1 所成角的正切值. P,Q两点 (1) 求 圆C的方程 (2) 过点(0,2)做直线a与l垂直,且直线a与圆C交于M,N两点,求四边形PMQN 面积的最大 值

1 x ? ?2 ? ( 3 ) , x ? 0 ? 22.(12 分)已知函数 f ( x) ? ? . 1 2 ? x ? x ? 1, x ? 0 ?2 ?
19.(12 分)已知圆 C: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 ,直线 l1 过定点 A (1,0). (1)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; (2)若 l1 与圆 C 相交于 P、Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值,并求此时直线 l1 的方程
2 2

(1)写出该函数的单调区间; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 恰有 3 个不同零点,求实数 m 的取值范围; (3) 若 f ( x) ? n ? 2bn ? 1对所有 x ?[?1,1], b ?[?1,1] 恒成立,求实数 n 的取值范围.
2

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衡水中学 2012—2013 学年度下学期一调考试
高一年级理科数学试卷参考答案
一选择 CBACA 二填空 CDBCD AB 15. 4 x ? y ? 2 ? 0或x ? 1

②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2,即: 所求直线 l1 的方程是 x ? 1 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 . (Ⅱ)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0, 设直线方程为 kx ? y ? k ? 0 ,
3k ? 4 ? k k ?1
2

? 2 ,解之得 k ?

3 . 4

13. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 20

14. 8 3

16.

3 3 2

则圆心到直线 l1 的距离 又∵△CPQ 的面积 = 4d ? d
2 4

d?

2k ? 4 1? k 2
y l1 Q M P 1 A O 1 x

三解答 17.(10 分) (1)依题意直线 AB 的斜率为-1,直线 AB 的方程为:y-2=-(x+1),圆心 0(o,o)到直线 AB

S?
2

1 d ?2 4?d2 ? d 4?d2 2
2

C

1 2 30 ,则 AB = 8 ? d 2 = ,? AB 的长为 30 . 2 2 2 1 (2)此时 AB 的斜率为 ,根据点斜式方程直线 AB 的方程为 x-2y+5=0. 2 18.(12 分) (1)证明: 连接BC1交B1C于M , 连接DM
的距离为 d= 又 D 是 AB 的中点,可得 MD∥ 1, AC 又 MD ? 平面CDB1 AC1 ? 平面CDB 1 ∴AC1 ∥平面CDB1 (证法二:可取 A1 B1的中点D1 , 证明平面 1D ∥ 平面 CDB1 从而得证) AC

? ? (d ? 2) ? 4



当 d= 2 时,S 取得最大值 2.

∴d ?

2k ? 4 1? k 2

= 2

∴ k=1 或 k=7

所求直线 l1 方程为 x-y-1=0 或 7x-y-7=0 .

20. (12 分) 解:设圆心 P (a, b) ,∵ PQ ? l ,∴kPQ ? l ? ?1 ,即 k

b? 3 3 (? ) ? ?1 ,即 3a ? 3b ?12 ? 0 ①, a ?3 3 2 2 又∵ 圆 x ? y ? 2 x ? 0 的圆心为 (1, 0) ,半径为1,又由外切
有 (a ? 1) 2 ? b 2 ? 1 ?

M

a ? 3b 2

②,

由①、②得 a ? 4 , b ? 0 或 a ? 0 , b ? ?4 3 . 这时半径分别为2,6.

∴ 圆的方程为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 或 x2 ? ( y ? 4 3)2 ? 36
(2)可由已知条件证明 平面CDB1 ? 平面ABB1A1 21.(12) (1) x ? y ? 9
2 2

(2)14

平面C D B ? 平面A B B 1 ? B1 D 1 1A 过 B 作 BE ? B1 D ,则 BE ? 平面CDB1 ∴?BB1E 是 BB1 与平面CDB1 所成的角 由已知可得 BB1 ? BD ∴?BEB1 ∽?DBB1 1 1 由 BD= AB=1,BB1=2 得 tan ?BB1 E ? 2 2 1 即 BB1 与平面 CDB1 所成角的正切值为 . 2
19.解:(Ⅰ) ①若直线 l1 的斜率不存在,则直线 l1:x=1,符合题意.

E

22.(1)解: (1)函数 f ( x ) 的图象如右图; 函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0,1) 单调增区间是 (??, 0) 及 (1, ??) (2)作出直线 y ? m , 函数 g ( x) ? f ( x) ? m 恰有 3 个不同零点等价于函数 y ? m 与函数 f (x ) 的图象恰有三个不同公共点。

…………3 分

1 x ? x?0 ?2 ? ( 3 ) , ? 由函数 f ( x) ? ? ? 1 x 2 ? x ? 1, x ? 0 ?2 ?
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又 f(0)=1 f(1)=

1 2

∴ m ? ( ,1)
2

1 2

…………6 分

(2)解:∵f(x)是增函数,且 f (x)≤n -2bn+1 对所有 x∈[-1,1]恒成立 2 ∴[f(x)]max≤n -2bn+1 [f(x)]max=f(1)=1 ∴n -2bn+1≥1 即 n -2bn≥0 在 b∈[-1,1]恒成立 ∴y= -2nb+n 在 b∈[-1,1]恒大于等于 0 ∴?
2 2 2

……………9 分

?? 2n ? (?1) ? n 2 ? 0 ?n ? 0或n ? ?2 ? ,∴ ? ?? 2 n ? 1 ? n 2 ? 0 ?n ? 0或n ? 2 ?
……12 分

? ? ∴n 的取值范围是 (-?, 2] ? {0} ? [2, ?)

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