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江苏省仪征市第三中学2016届九年级数学下学期周末练习(答案不全)


江苏省仪征市第三中学 2016 届九年级数学下学期周末练习
一、选择题(24 分) 1.下列计算正确的是( ) 2 2 4 2 3 5 2 2 2 A.2a﹣a=1 B.a +a =2 a C.a ?a =a D.(a﹣b) =a ﹣b 2.下列图形中不是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.
2

D.

3.在锐角△ABC 中,|sinA﹣ |+(cosB﹣ ) =0,则∠C 的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 4.下列说法中,正确的是( ) A.为检测我市正在销售的酸奶质量,应该采用抽样调查的方式 B.两名同学连续五次数学测试的平均分相同,方差较大的同学数学成绩更稳定 C.抛掷一个正方体骰子,点数为奇数的概率是 D.“打开电视,正在播放广告”是必然事件 5.若点 M(﹣2,y1),N(﹣1,y2),P(8,y3)在抛物线 上,则下列结论正确的是 ( ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y2 2 2 6.定义新运算:对于任意实数 a,b,都有 a⊕b=a ﹣3a+b,如 3⊕5=3 ﹣3×3+5,若 x⊕1=11,则 实数 x 的值( ) A.2 或﹣5 B.﹣2 或 5 C.2 或 5 D.﹣2 或﹣5 2 7.如图,二次函数 y=ax +bx+c 的图象开口向上,对称轴为直线 x=1,图象 经过(3,0),下列结论中,正确的一项是( ) 2 A.abc<0 B.2a+b<0 C.a﹣b+c<0 D.4ac﹣b <0 8. 如图, 半径为 3 cm 的⊙O 从斜坡上的 A 点处沿斜坡滚动到平地上
O

的 C 点处,已知∠ABC=120°,AB=10 cm,BC=20cm,那么圆心 O 运动 所经过的路径长度为 A.30 cm B.29 cm C.28 cm D.27 3 cm

A O' B

第 8 题图

C

二、填空题(30 分) 9.使 有意义的 x 的取值范围是
2



10.分解因式:4a ﹣16= . 11.已知 0≤x≤1,若 x﹣2y=6,则 y 的最小值是 . 12 . 一 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 是 半 径 为 2 的 半 圆 , 则 该 圆 锥 的 全 面 积 第 14 题图 是 . 13. 甲、乙两台机器分别灌装每瓶质量为 100 克的矿泉水.从甲、乙灌装的矿泉水中分别随机抽取

1

了 10 瓶,测算得它们实际质量的方差是: S甲 =4.8, S乙 2 =3.6.那么

2

(填“甲”或“乙”)

灌装的矿泉水质量较稳定. 14. 如图,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,则 tan A= . 15.如图,△ABC 中,AB=5,BC=3,CA=4,D 为 AB 的中点,过点 D 的直线与 BC 交于点 E,若直线 DE 截△AB C 所得的三角形与△ABC 相似,则 DE= . 16.如图,邻边不等 的矩形花圃 ABCD,它的一边 AD 利用已有的围墙,另外三边所围的栅栏的总长 .. 度是 6m.若矩形的面积为 4m ,则 AB 的长度是
2

m(可利用的围墙长度超过 6m) .

17.如图,在以点 O 为原点的直角坐标系 中,一次函数 y=﹣ x+1 的图 象与 x 轴交于 A,与 y 轴交于点 B,点 C 在第二象限内且为直线 AB 上 一 点 , OC= AB , 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 经 过 点 C , 则 k 的 值 为 . 18.等边三角形 ABC 中,BC=6,D、E 是边 BC 上两点,且 BD=CE=1, 点 P 是线段 DE 上的一个动点,过点 P 分别作 AC、AB 的平行线交 AB、 AC 于点 M、N,连接 MN、AP 交于点 G,则点 P 由点 D 移动到点 E 的过 程中,线段 BG 扫过的区域面积为 . 三、解答题 2 19.(8 分)解方程: x ﹣4x+2=0

20 (10 分) .在如图的方格纸中, 每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形,△ ABC 的三个顶点 都 在格点上(每个小方格的顶点叫格点) . ⑴ 画出△ABC 关于点 O 的中心对称的△A1B1C1; ⑵ 如果建立平面直角坐标系,使点 B 的坐标为(-5,2) , 点 C 的坐标为(-2,2) ,则点 A1 的坐标为 ; ⑶ 将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°,画出旋转后的 △A2B2C2,并求线段 BC 扫过的面积. A

B

· C O

21.(10 分)在 3×3 的方格纸中,点 A、B、C、D、E、F 分 别位于如图所示的小正方形的顶点上. (1)从 A、D、E、F 四个点中任意取一点,以所取的这一点 及点 B、 C 为顶点画三角形, 则所画三角形是等腰三角形的概 率是 ; (2)从 A、D、E、F 四个点中先后任意取两个不同的点,以所取的这两点及点 B、C 为顶点画四边 形,求所画四边形是平行四边形的概率是 (用树状图或列表法求解).

2

22.(10 分)“校园手机”现象越来越受到社会的关注.“寒假”期间,某校小记者随机调查了某 地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法,统计整理并制作了如下的统计图: (1)求这次调查的家长人数,并补全图 1; (2)求图 2 中表示家长“赞成”的圆心角的度数; (3)已知某地区共 6500 名家长,估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长?

23、(10 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 是边 AB 上一点,以 BD 为直径的⊙O 与边 AC 相切于点 E,连接 DE 并延长 DE 交 BC 的延长线于点 F. (1)求证:BD=BF; (2)若 CF=1,cosB=

3 ,求⊙O 的半径. 5

24.(10 分)2014 年 3 月 8 日凌晨,马来西亚航空公司吉隆坡飞北京的 MH370 航班在起飞一个多 小时后在雷达上消失,至今没有被发现踪迹.飞机上有 239 名乘客,其中 154 名是中国同胞.中国 政府启动了全面应急和搜救机制,派出多艘中国舰船在相关海域进行搜救.如图,某日在南印度洋 海域有两艘自西向东航行的搜救船 A,B,B 船在 A 船的正东方向,且两船保持 20 海里的距离,某 一时刻两船同时测得在 A 的东北方向,B 的北偏东 15°方向有疑似物 C,求此时疑似物 C 与搜救船 A,B 的距离各是多少(结果保留根号)

3

25. (10 分)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长) ,用 26m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB,BC 两边) ,设 BC=x m. 2 (1)若矩形花园 ABCD 的面积为 165m ,求 x 的值; (2) 若在 P 处有一棵树, 树中心 P 与墙 CD, AD 的距离分别是 13m 和 6m, 要将这棵树围在花园内 (考 虑到树以后的生长,篱笆围矩形 ABCD 时,需将以 P 为圆心,1 为半径的圆形区域围在内) ,求矩形 花园 ABCD 面积 S 的最大值.

P●

26.(12 分)(1)问题发现 如图 1,点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上,∠EAF=45°, 连接 EF、则 EF=BE+DF,试说明理由; (2)类比引申 如图 2,在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠BAD=90°,点 E、F 分别在边 BC、CD 上, ∠EAF=45°, 若∠B, ∠D 都不是直角, 则当∠B 与∠D 满足等量关系 时, 仍有 EF=BE+DF; (3)联想拓展 如图 3,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点 D、E 均在边 BC 上,且∠DAE=45°, 猜想 BD、DE、EC 满足的等量关系,并写出推理过程.

27.(14 分)如图 1,平面直角坐标系中,等腰直角三角形的直角边 BC 在 x 轴正半轴上滑动,点 C 的坐标为(t,0),直角边 AC=4,经过 O,C 两点做抛物线 y1=ax(x﹣t)(a 为常数,a>0),该 抛物线与斜边 AB 交于点 E,直线 OA:y2=kx(k 为常数,k>0)

4

(1)填空:用含 t 的代数式表示点 A 的坐标及 k 的值:A (2)随着三角板的滑动,当 a= 时:

,k=



①请你验证:抛物线 y1=ax(x﹣t)的顶点在函数 y= 的图象上; ②当三角板滑至点 E 为 AB 的中点时,求 t 的值; (3) 直线 OA 与抛物线的另一个交点为点 D, 当 t≤x≤t+4, |y2﹣y1|的值随 x 的增大而减小, 当 x≥t+4 时,|y2﹣y1|的值随 x 的增大而增大,求 a 与 t 的关系式及 t 的取值范围.

5

17.如图,在以点 O 为原点的直角坐标系中,一次函数 y=﹣ x+1 的图象与 x 轴交于 A,与 y 轴交 于点 B,点 C 在第二象限内且为直线 AB 上一点,OC= AB,反比例函数 y= 的图象经过点 C,则 k 的 值为 ﹣ .

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】 首先求出点 A、 B 的坐标, 然后由勾股定理求得 AB, 设∠BAO=θ , 则 sinθ = , cosθ = , 过 点 O 作 RT△AOB 斜 边 上 的 高 OE , 斜 边 上 的 中 线 OF , 通 过 解 直 角 三 角 形 求 得 AE=OA?cosθ =2× AC=AE+EC= AG=AC?cosθ = + = = × = ,根据三角形中线的性质求得 OF= AB,从而求得 OC=OF= .过点 C 作 CG⊥x 轴于点 G ,则 CG=AC?sinθ = ,进而求得 × = ,

,从而求得 C 的坐标,然后根据待定系数法即可求得.

【解答】解:如图,在 y=﹣ x+1 中,令 y=0,则 x=2;令 x=0,得 y=1, ∴A(2,0),B(0,1). 在 Rt△AOB 中,由勾股定理得:AB= .

设∠BAO=θ ,则 sinθ =

,cosθ =

. = ,OF= AB,

过点 O 作 RT△AOB 斜边上的高 OE,斜边上的中线 OF,则 AE=OA?cosθ =2× ∵OC= AB, ∴OC=OF= , = .

∴EF=AE﹣AF= ﹣ ∵OC=OF,OE⊥CF, ∴EC=EF= ∴AC=AE+EC= , +

=



6

过点 C 作 CG⊥x 轴于点 G,则 CG=AC?sinθ = AG=AC?cosθ = ∴OG=AG﹣OA= ∴C(﹣ , × ﹣2= . ). = ,

×

=



∵反比例函数 y= 的图象经过点 C, ∴k=﹣ × 故答案为﹣ =﹣ . ,

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,其知识点:勾股定理的应用,解直角三角 形,直角三角形斜边中线的性质,待定系数法求解析式等. 18.等边三角形 ABC 中,BC=6,D、E 是边 BC 上两点,且 BD=CE=1,点 P 是线段 DE 上的一个动点, 过点 P 分别作 AC、AB 的平行线交 AB、AC 于点 M、N,连接 MN、AP 交于点 G,则点 P 由点 D 移动到 点 E 的过 程中,线段 BG 扫过的区域面积为 .

【考点】轨迹. 【分析】求出四边形 AMPN 是平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分可得 G 是 AP 的中点, 然后判断出点 G 的运动路线是△APP′的中位线,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三 边的一半求出 GG′,再根据等边三角形的性质求出△BGG′的底边 GG′上的高,然后根据三角形的 面积公式列式计算即可得解. 【解答】解:∵PM∥AC,PN∥AB, ∴四边形 AMPN 是平行四边形, ∵MN 与 AP 相交于点 G,
7

∴G 是 AP 的中点, ∴如图点 G 的运动路线是△APP′的中位线, ∵BC=6,BD=CE=1,

∴GG′= ∵BC=6,

=2,

∴△BGG′的底边 GG′上的高= ×(6× ∴线段 BG 扫过的区域面积= ×2× 故答案为: . =

)= .



【点评】本题考查了点的轨迹,等边三角形的性质,平行四边形的判定与性质,三角形的中位线平 行于第三边并且等于第三边的一半,难点在于确定出点 G 的运动轨迹从而确定出 BG 扫过的区域是 三角形. 三、解答题(本大题共 10 小题,共计 84 分.) 19.(1)计算:| ﹣1|﹣( ) ﹣2sin60°
﹣2

(2)计算:(1﹣

)÷



【考点】分式的混合运算;实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 【专题】计算题. 【分析】(1)根据负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值得到原式= ﹣1﹣4﹣2× 合并即可; (2)先把括号内通分和除法运算化为乘法运算,然后把分母分解因式,再约分即可. 【解答】解:(1)原式= = ﹣ 1﹣4﹣ ﹣1﹣4﹣2× ,然后

=﹣5;

8

(2)原式=

÷

=

?

= . 【点评】本题考查了分式的混合运算:分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运 算顺序;先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的.最后结果分子、分母要进行约分, 注意运算的结果要化成最简分式或整式.分式的混合运算,一般按常规运算顺序,但有时应先根据 题目的特点,运用乘法的运算律进行灵活运算.也考查了实数的运算.

20.(1)解方程:

+

=2;

(2)解不等式组:



【考点】解分式方程;解一元一次不等式组. 【专题】计算题. 【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到 分式方程的解; (2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可. 【解答】解:(1)去分母得:2x(x﹣2)+x(2x﹣1)=2(2x﹣1)(x﹣2), 整理得:5x=4, 解得:x= , 经检验,x= 是原方程的根;

(2) 解:由①得:x≤3, 由②得:x>﹣2, 则此不等式组的解集为﹣2<x≤3. 【点评】此题考查了解分式方程,以及解一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 21.在 3×3 的方格纸中,点 A、B、C、D、E、F 分别位于如图所示的小正方形的顶点上. (1)从 A、D、E、F 四个点中任意取 一点,以所取的这一点及点 B、C 为顶点画三角形,则所画三 角形是等腰三角形的概率是 ;
9

(2)从 A、D、E、F 四个点中先后任意取两个不同的点,以所取的这两点及点 B、C 为顶点画四边 形,求所画四边形是平行四边形的概率是 (用树状图或列表法求解).

【考点】列表法与树状图法;等腰三角形的判定;平行四边形的判定. 【分析】(1)根据从 A、D、E、F 四个点中任意取一点,一共有 4 种可能,只有选取 D 点时,所画 三角形是等腰三角形,即可得出答案; (2)利用树状图得出从 A、D、E、F 四个点中先后任意取两个不同的点,一共有 12 种可能,进而 得出以点 A、E、B、C 为顶点及以 D、F、B、C 为顶点所画的四边形是平行四边形,即可求出概率. 【解答】解:(1)根据从 A、D、E、F 四个点中任意取一点,一共有 4 种可能,只有选取 D 点时, 所画三角形是等腰三角形, 故 P(所画三角形是等腰三角形)= ; (2)用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果:

∵以点 A、E、B、C 为顶点及以 D、F、B、C 为顶点所画的四边形是平行四边形, ∴所画的四边形是平行四边形的概率 P= = .

故答案为:(1) ,(2) . 【点评】此题主要考查了利用树状图求概率,根据已知正确列举出所有结果,进而得出概率是解题 关键. 22.如图 AB 是半圆的直径,图 1 中,点 C 在半圆外;图 2 中,点 C 在半圆内,请仅用无刻度的直 尺按要求画图.

(1)在图 1 中,画出△ABC 的三条高的交点; (2)在图 2 中,画出△ABC 中 AB 边上的高. 【考点】作图—复杂作图.
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【分析】(1)根据圆周角定理:直径所对的圆周角是 90°画图即可; (2)与(1)类似,利用圆周角定理画图. 【解答】解:(1)如图所示:点 P 就是三个高的交点; (2)如图所示:CT 就是 AB 上的高.

【点评】此题主要考查了复杂作图,关键是掌握三角 形的三条高交于一点,直径所对的圆周角是 90°. 23.“校园手机”现象越来越受到社会的关注.“寒假”期间,某校小记者随机调查了某地区若干 名学生和家长对中学生带手机现象的看法,统计整理并制作了如下的统计图: (1)求这次调查的家长人数,并补全图 1; (2)求图 2 中表示家长“赞成”的圆心角的度数; (3)已知某地区共 6500 名家长,估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长?

【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 【分析】(1)根据认为无所谓的家长是 80 人,占 20%,据此即可求得总人数; (2)利用 360 乘以对应的比例即可求解; (3)利用总人数 6500 乘以对应的比例即可求解. 【解答】解:(1)这次调查的家长人数为 80÷20%=400 人,反对人数是:400﹣40﹣80=280 人,

; (2)360°× =36°;
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(3)反对中学生带手机的大约有 6500× =4550(名). 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到 必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映 部分占总体的百分比大小. 24.2014 年 3 月 8 日凌晨,马来西亚航空公司吉隆坡飞北京的 MH370 航班在起飞一个多小时后在雷 达上消失,至今没有被发现踪迹.飞机上有 239 名乘客,其中 154 名是中国同胞.中国政府启动了 全面应急和搜救机制,派出多艘中国舰船在相关海域进行搜救.如图,某日在南印度洋海域有两艘 自西向东航行的搜救船 A,B,B 船在 A 船的正东方向,且两船保持 20 海里的距离,某一时刻两船 同时测得在 A 的东北方向,B 的北偏东 15°方向有疑似物 C,求此时疑似物 C 与搜救船 A,B 的距离 各是多少(结果保留根号)

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题. 【分析】首先过点 B 作 BD⊥AC 于 D,由题意可知,∠BAC=45°,∠ABC=90°+15°=105°,则可求 得∠ACB 的度数,然后利用三角函数的知识求解即可求得答案. 【解答】解:过点 B 作 BD⊥AC 于 D. 由题意可知,∠BAC=45°,∠ABC=90°+15°=105°, ∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°. 在 Rt△ABD 中,AD=BD=AB?sin∠BAD=20× =10 (海里),

在 Rt△BCD 中,BC=

=

=20

(海里),

DC= ∴AD+CD=10

= +10

=10 =10(

(海里), + )(海里). + )海里,与搜救船 B 的距离是 20 海里.

答:疑似物 C 与搜救船 A 的距离是 10(

12

【点评】此题考查了方向角问题.此题难度适中,注意能借助于方向角构造直角三角形,并利用解 直角三角形的知识求解是解此题的关键.

25.如图,以 O 为圆心的弧 (1)求 的值;

度数为 60°,∠BOE=45°,DA⊥OB,EB⊥OB.

(2)若 OE 与

交于点 M,OC 平分∠BOE,连接 CM.说明 CM 为⊙O 的切线;

(3)在(2)的条件下,若 BC=1,求 tan∠BCO 的值.

【考点】切线的判定;全等三角形的判定与性质;勾股定理;解直角三角形. 【分析】(1)求出 OB=BE,在 Rt△OAD 中,sin∠AOD= = ,代入求出即可; (2)求出∠BOC=∠MOC,证△BOC≌△MOC,推出∠CMO=∠OBC=90°,根据切线的判定推出即可; (3) 求出 CM=ME, MC=BC, 求出 BC=MC=ME=1, 在 Rt△MCE 中, 根据勾股定理求出 CE= 解直角三角形得出 tan∠BCO= +1,即可得出答案. , 求出 OB= +1,

【解答】解:(1)∵EB⊥OB,∠BOE=45°, ∴∠E=45°, ∴∠E=∠BOE, ∴OB=BE, 在 Rt△OAD 中,sin∠AOD= ∵OD=OB=BE, ∴ = = ; = ,

(2)∵OC 平分∠BOE, ∴∠BOC=∠MOC, 在△BOC 和△MOC 中,

∴△BOC≌△MOC(SAS),
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∴∠CMO=∠OBC=90°, 又∵CM 过半径 OM 的外端, ∴CM 为⊙O 的切线; (3)由(1)(2)证明知∠E=45°,OB=BE,△BOC≌△MOC,CM⊥ME, ∵CM⊥OE,∠E=45°, ∴∠MCE=∠E=45° , ∴CM=ME, 又∵△BOC≌△MOC, ∴MC=BC, ∴BC=MC=ME=1, ∵MC=ME=1, ∴在 Rt△MCE 中,根据勾股定理,得 CE= ∴OB=BE= +1, ,

∵tan∠BCO= ∴tan∠BCO=

,OB= +1.

+1,BC=1,

【点评】本题考查了切线的性质和判定,全等三角形的性质和判定,勾股定理,切线长定理等知识 点的应用,综合性比较强,难度偏大. 26.机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦,某企业加工一台大型机械设备润滑用油 90 千克,用 油的重复利用率为 60%,按此计算,加工一台大型机械设备的实际耗油为 36 千克.为了建设节约型 社会,减少油耗,该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关. (1)甲车间通过技术改革后,加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70 千克,用油的重复利用 率仍为 60%,问甲车间技术革新后,加工一台大型机械设备实际耗油量是多少千克? (2)乙车间通过技术改革后,不仅降低了润滑用油量,同时也提高了用油的重复利用率,并且发 现在技术革新的基础上,润滑用油量每减少 1 千克,用油量的重复利用率将增加 1.6%,这样乙车间 加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到 19.2 千克,问乙车间通过技术改革后,加工一台大型 机械设备润滑用油量是多少千克?拥有的重 复利用率是多少? 【考点】一元二次方程的应用. 【分析】(1)根据题意可得 70×(1﹣60%),计算即可求解; (2)设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为 x 千克,由“实际耗油量下降到 19.2 千克”列 方程得 x×[1﹣(90﹣x)×1.6%﹣60%]=19.2,解方程求解即可. 【解答】解:(1)由题意,得 70×(1﹣60%)=70×40%=28(千克). 答:甲车间技术革新后,加工一台大型机械设备的实际耗油量是 28 千克; (2)设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为 x 千克,由题意得 x?[1﹣(90﹣x)×1.6%﹣60%]=19.2, 2 整理,得 x ﹣65x﹣1200=0, 解得:x1=80,x2=﹣15(舍去), (90﹣80)×1.6%+60%=76%.
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答:乙车间通过技术革新后,乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是 80 千克,用油的重复利 用率是 76%. 【点评】此题考查了列一元二次方程在实际中的应用;同时考查了学生分析问题、解决问题的能 力.分析数量关系、探究等量关系是列方程解应用题的关键. 27.(2015?大庆模拟)【问题情境】如图 1,在△ABC 中,AB=AC,点 P 为边 BC 上的任一点,过点 P 作 PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为 D、E,过点 C 作 CF⊥AB,垂足为 F.求证:PD+PE=CF. 【结论运用】如图 2,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠,使点 D 落在点 B 上,点 C 落在点 C′处,点 P 为折 痕 EF 上的任一点,过点 P 作 PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为 G、H,若 AD=8,CF=3,求 PG+PH 的值; 【迁移拓展】图 3 是一个航模的截面示意图.在四边形 ABCD 中,E 为 AB 边上的一点, ED⊥AD,EC⊥CB,垂足分别为 D、C,且 AD?CE=DE?BC,AB=8,AD=3,BD=7;M、N 分别为 AE、BE 的 中点,连接 DM、CN,求△D EM 与△CEN 的周长之和.

【考点】相似形综合题;等腰三角形的判定与性质;勾股定理;矩形的判定与性质. 【专题】压轴题;探究型. 【分析】【问题情境】连接 AP,如图 1,只需运用面积法(S△ABC=S△ABP+S△ACP)即可解决问题. 【结论运用】 易证 BE=BF, 过点 E 作 EQ⊥BF, 垂足为 Q, 如图 2, 利用问题情境中的结论可得 PG+PH=EQ, 易证 EQ=DC,BF=DF,只需求出 BF 即可. 【迁移拓展】如图 3,由条件 AD?CE=DE?BC 联想到三角形相似,从而得到∠A=∠ABC ,进而补全等腰 三角形,△DEM 与△CEN 的周长之和就可转化为 AB+BH,而 BH 是△ADB 的边 AD 上的高,只需利用勾 股定理建立方程,求出 DH,再求出 BH,就可解决问题. 【解答】【问题情境】证明:连接 AP,如图 1, ∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB, 且 S△ABC=S△ABP+S△ACP, ∴AB?CF=AB?PD+AC?PE. ∵AB=AC,∴CF=PD+PE; 【结论运用】解:过点 E 作 EQ⊥BC,垂足为 Q,如图 2, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD=BC,∠C=∠ADC=90°. ∵ AD=8,CF=3, ∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5. 由折叠可得:DF=BF=5,∠BEF=∠DEF. ∵∠C=90°,∴DC= ∵EQ⊥BC,∠C=∠ADC=90°, ∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC.
15

=

=4.

∴四边形 EQCD 是矩形, ∴EQ=DC=4. ∵AD∥BC, ∴∠DEF=∠EFB. ∵∠BEF=∠DEF, ∴∠BEF=∠EFB. ∴BE=BF. 由问题情境中的结论可得:PG+PH=EQ. ∴PG+PH=4. 即 PG+PH 的值为 4; 【迁移拓展】解:延长 AD、BC 交于点 F,作 BH⊥AF,垂足为 H,如图 3. ∵ED⊥AD,EC⊥CB, ∴∠ADE=∠BCE=90°. 又∵AD?CE=DE?BC,即 = , ∴△ADE∽△BCE, ∴∠A=∠CBE, ∴FA=FB. 由问题情境中的结论可得:ED+EC=BH. 设 DH=x,则 AH=AD+DH=(3+x). ∵BH⊥AF, ∴∠BHA=90°. 2 2 2 2 2 ∴BH =BD ﹣DH =AB ﹣AH . ∵AB=8,AD=3,BD=7, 2 2 2 2 ∴7 ﹣x =8 ﹣(3+x) . 解得:x=1. 2 2 2 ∴BH =BD ﹣DH =49﹣1=48, ∴BH=4 , .

∴ED+EC=BH=4

∵∠ADE=∠BCE=90°, 且 M、N 分别为 AE、BE 的中点, ∴DM=AM=EM=AE,CN=BN=EN=BE. ∴△DEM 与△CEN 的周长之和 =DE+DM+EM+CN+EN+EC =DE+AE+BE+EC=DE+AB+EC =DE+EC+AB=8+4 . .

即△DEM 与△CEN 的周长之和为 8+4

16

【点评】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、相 似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定 理等知识,考查了用面积法证明几何问题,考查了运用已有的经验解决问题的能力,体现了自主探 究与合作交流的新理念,是充分体现新课程理念难得的好题. 28.(2013?宜昌)如图 1,平面直角坐标系中,等腰直角三角形的直角边 BC 在 x 轴正半轴上滑动, 点 C 的坐标为(t,0),直角边 AC=4,经过 O,C 两点做抛物线 y1=ax(x﹣t)(a 为常数,a>0), 该抛物线与斜边 AB 交于点 E,直线 OA:y2=kx(k 为常数,k>0)

17

(1)填空:用含 t 的代数式表示点 A 的坐标及 k 的值:A (t,4) ,k= (2)随着三角板的滑动,当 a= 时:

(k>0) ;

①请你验证:抛物线 y1=ax(x﹣t)的顶点在函数 y= 的图象上; ②当三角板滑至点 E 为 AB 的中点时,求 t 的值; (3) 直线 OA 与抛物线的另一个交点为点 D, 当 t≤x≤t+4, |y2﹣y1|的值随 x 的增大而减小, 当 x≥t+4 时,|y2﹣y1|的值随 x 的增大而增大,求 a 与 t 的关系式及 t 的取值范围. 【考点】二次函数综合题. 【专题】压轴题. 【分析】(1)根据题意易得点 A 的横 坐标与点 C 的相同,点 A 的纵坐标即是线段 AC 的长度;把点 A 的坐标代入直线 OA 的解析式来求 k 的值; (2)①求得抛物线 y1 的顶点坐标,然后把该坐标代入函数 y= ,若该点满足函数解析式

y= ,即表示该顶点在函数 y= 图象上;反之,该顶点不在函数 y= 图象上; ②如图 1,过点 E 作 EK⊥x 轴于点 K.则 EK 是△ACB 的中位线,所以根据三角形中位线定理易求点 E 的坐标,把点 E 的坐标代入抛物线 y1= x(x﹣t)即可求得 t=2; (3)如图 2 ,根据抛物线与直线相交可以求得点 D 横坐标是 +4.则 t+4= 与 t 的关系式. 【解答】解:(1)∵点 C 的坐标为(t,0),直角边 AC=4, ∴点 A 的坐标是(t,4). 又∵直线 OA:y2=kx(k 为常数,k>0), ∴4=kt,则 k= (k>0). +4,由此可以求得 a

(2)①当 a= 时,y1= x(x﹣t),其顶点坐标为( ,﹣

).

对于 y=

来说,当 x= 时,y=

×

=﹣

,即点( ,﹣

)在抛物线 y=

上.

故当 a= 时,抛物线 y1=ax(x﹣t)的顶点在函数 y= ②如图 1,过点 E 作 EK⊥x 轴于点 K. ∵AC⊥x 轴, ∴AC∥EK. ∵点 E 是线段 AB 的中点, ∴K 为 BC 的中点, ∴EK 是△ACB 的中位线,

的图象上;

18

∴EK= AC=2,CK= BC=2, ∴E(t+2,2). ∵点 E 在抛物线 y1= x(x﹣t)上, ∴ (t+2)(t+2﹣t)=2, 解得 t=2.

(3)如图 2,

,则 x=ax(x﹣t),

解得 x=

+t,或 x=0(不合题意,舍去). +t. +t,

故点 D 的横坐标是

当 x= +t 时,|y2﹣y1|=0,由题意得 t+4= ∴at=1.
2

∵y2﹣y1= x﹣ax(x﹣t)=﹣ax +(at+ )x=﹣a[x ﹣(t+ =﹣a[x﹣( + ∴当 x= + 又∵当 x= )] +a( +
2

2

)x+( +

) ]+a( +

2



2



2

时,y2﹣y1 取得最大值, +t 时,|y2﹣y1|=0,

∴当 + ≤x≤ +t 时,|y2﹣y1|随 x 的增大而减小;当 x≥ +t 时,|y2﹣y1|随 x 的增大而增大. 根据题意需要满足当 t≤x≤t+4,|y2﹣y1|的值随 x 的增大而减小,当 x≥t+4 时,|y2﹣y1|的值随 x 的增大而增大, ∴t≥ + 可满足条件, ∵at=1, ∴解得 t≥4. 综上所述,a 与 t 的关系式及 t 的取值范围为 at=1(t≥4).

19

【点评】本题考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数交点 坐标等知识点.解题时,注意“数形结合”数学思想的应用.

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