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高二立体几何试题(详细答案)


高二数学立体几何

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.) 1、已知 a ? (0,?1,1),b ? (1,2,?1), 则 a 与 b 的夹角等于 A.90° B.30° C.60° D.150°

2、设 M、O、A、B、C 是空间的点,则使 M、A、B、C 一定共面的等式是 A. OM ? OA ? OB ? OC ? 0 C. OM ? 1 OA ? 1 OB ? 1 OC
2 3 4

B. OM ? 2OA ? OB ? OC D. MA ? MB ? MC ? 0

3、下列命题不正确的是 A.过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直; B.如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直,则这条斜线必与这条直线垂直; C.两异面直线的公垂线有且只有一条; D.如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行。 4、若 m 、 n 表示直线, ? 表示平面,则下列命题中,正确的个数为 ①

m // n ? m ??? m ??? m // ? ? ?? n ?? ② ? ? m // n ③ ?? m ? n④ ?? n ?? m ??? n ?? ? n // ? ? m ? n?
B.2 个 C.3 个 D.4 个

A.1 个

5、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是 A.各侧面是正三角形 C.各侧面三角形的顶角为 45 度
2

B.底面是正方形 D.顶点到底面的射影在底面对角线的交点上

6、若点 A( ? ? 4 ,4-μ ,1+2γ )关于 y 轴的对称点是 B(-4λ ,9,7-γ ),则λ ,μ ,γ 的值依次为 A.1,-4,9 B.2,-5,-8 C.-3,-5,8 D.2,5,8

7、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱,则顶点数 V 与面数 F 满足的关系式是 A.2F+V=4 B.2F-V=4 C.2F+V=2 (D)2F-V=2

8、侧棱长为 2 的正三棱锥,若其底面周长为 9,则该正三棱锥的体积是 A.
9 3 2

B.

3 3 4

C.

3 3 2

D.

9 3 4

9、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 AB,BB1 的中点,A1E 与 C1F 所成的角是θ ,则
1

A.θ =600

B.θ =450

C. cos? ?

2 5

D. sin? ?

2 5

10、已知球面的三个大圆所在平面两两垂直,则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积 之比是 A.2∶π B.1∶2π C.1∶π D.4∶3π

11、设 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足 AB ? AC ? 0 , AC ? AD ? 0 , AB ? AD ? 0 ,则△BCD 是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 则折后

12、将 ? B =600,边长为 1 的菱形 ABCD 沿对角线 AC 折成二面角 ? ,若 ? ? [60°,120°], 两条对角线之间的距离的最值为 A.最小值为 4 , 最大值为 2 C.最小值为 4 , 最大值为 4
1
3

3

3

B.最小值为 4 , 最大值为 4 D.最小值为 4 , 最大值为 2
3
3

3

3

二、填空题:(本大题共 6 题,每小题 3 分,共 18 分) 13、 已知向量 a 、b 满足| a | =
1 ? , | b | = 6,a 与 b 的夹角为 , 则 3| a |-2 ( a ·b ) +4| b | =________; 3 3

14、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,E 为 CD 上的动点,四边形 ABCD 为
-AEB

时,体积 VP

恒为定值(写上你认为正确的一个答案即可).
P

D E A B C

15、 若棱锥底面面积为 150cm , 平行于底面的截面面积是 54cm , 底面和这个截面的距离是 12cm , 则棱锥的高为 ; .

2

2

16、一个四面体的所有棱长都是 2 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为 三、解答题:(本大题共 6 题,共 46 分) 17.在如图 7-26 所示的三棱锥 P—ABC 中,PA⊥平面 ABC, PA=AC=1,PC=BC,PB 和平面 ABC 所成的角为 30°。

(1)求证:平面 PBC⊥平面 PAC; (2)比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小;
2

(3)求 AB 的中点 M 到直线 PC 的距离。

18.如图 8-32,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E∈BB1,截面 A1EC⊥侧面 AC1。 (1)求证:BE=EB1; (2)若 AA1=A1B1,求平面 A1EC 与平面 A1B1C1 所成二面角(锐角)的度数。

19.已知边长为 a 的正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G(如图 7-28),将此三角形 沿 DE 折成二面角 A′—DE—B。

(1)求证:平面 A′GF⊥平面 BCED; (2)当二面角 A′—DE—B 为多大时,异面直线 A′E 与 BD 互相垂直?证明你的结论。 20.如图 7-29,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,∠BAD=60°,AB=4, AD=2,侧棱 PB= 15 ,PD= 3 。 (1)求证:BD⊥平面 PAD; (2)若 PD 与底面 ABCD 成 60°的角,试求二面角 P—BC—A 的大小。

3

21.如图 7-30,已知 VC 是△ABC 所在平面的一条斜线,点 N 是 V 在平面 ABC 上的射影,且 N 位于△ABC 的高 CD 上。AB=a,VC 与 AB 之间的距离为 h,M∈VC。 (1)证明∠MDC 是二面角 M—AB—C 的平面角; (2)当∠MDC=∠CVN 时,证明 VC⊥平面 AMB; (3)若∠MDC=∠CVN=θ (0<θ <

? ),求四面体 MABC 的体积。 2

22.如图 7-31,已知矩形 ABCD,AB=2AD=2a,E 是 CD 边的中点,以 AE 为棱,将△DAE 向上 折起,将 D 变到 D′的位置,使面 D′AE 与面 ABCE 成直二面角(图 7-32)。 (1)求直线 D′B 与平面 ABCE 所成的角的正切值; (2)求证:AD′⊥BE; (3)求四棱锥 D′—ABCE 的体积; (4)求异面直线 AD′与 BC 所成的角。

4

高二数学立体几何 答案
一、选择题: 1、D 2、D 3、B 4、C 5、A 6、B 7、B 8、B 9、C 10、C 11、C 12、B 二、填空题: 13、23 14、AB∥CD 三、解答题 17.解 (1)由已知 PA⊥平面 ABC,PA=AC=1,得△PAC 为等腰直角三角形,PC=CB= 2 。 在 Rt△PAB 中,∠PBA=30°,∴PB=2,∴△PCB 为等腰直角三角形。 ∵PA⊥平面 ABC, ∴AC⊥BC,又 AC∩PC=C,PC⊥BC, ∴BC⊥平面 PAC,∵BC 平面 PBC,∴平面 PBC⊥平面 PAC。 15、30cm 16、3 ?

(2)三个侧面及底面都是直角三角形,求得侧面 PAC 的面积为

1 3 ,侧面 PAB 面积值为 ,侧面 2 2

PCB 面积值为 1,底面积值为

2 3? 3 。三个侧面面积的算术平均数为 。 2 6



3? 3 2 3? 3 ?3 2 = , 6 6 2

其中 3+ 3 - 3 2 =(3-2 2 )+( 3 - 2 )=( 9 - 8 )+( 3 - 2 )>0, ∴三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值。 (3)如图,过 M 作 MD⊥AC,垂足为 D。

∵平面 PAC⊥平面 ABC 且相交于 AC,∴MD⊥平面 PAC。 过 D 作 DE⊥PC,垂足为 E,连结 ME,则 DE 是 ME 在平面 PBC 上的射影, ∵DE⊥PC,∴ME⊥PC,ME 的长度即是 M 到 PC 的距离。
5

在 Rt△ABC 中,∵MD∥BC,∴MD=

1 2 2 BC= 。在等腰 Rt△PAC 中,DE=DCsin45°= , 2 2 4 1 2 2 BC= 。在等腰 Rt△PAC 中,DE=DCsin45°= , 2 2 4

在 Rt△ABC 中,∵MD∥BC,∴MD=

∴ME= MD2 ? DE 2 =

1 1 10 ,即点 M 到 PC 的距离为 ? = 4 2 8

10 。 4

18.解 (1)在截面 A1EC 内,过 E 作 EG⊥A1C,G 是垂足。∵面 A1EC⊥面 AC1,∴EG⊥侧 面 AC1,取 AC 的中点 F,连结 BF,FG,由 AB=BC 得 BF⊥AC。∵面 ABC⊥侧面 AC1,∴BF⊥侧 面 AC1,得 BF∥EG。由 BF,EG 确定一个平面,交侧面 AC1 于 FG。∵BE∥侧面 AC1,∴BE∥FG, 四边形 BEGF 是平行四边形,BE=FG。∵BE∥AA1,∴FG∥AA1。又△AA1C∽△FGC,且 AF=FC, ∴FG=

1 1 1 AA1= BB1,即 BE= BB1,故 BE=EB1。 2 2 2

1 1 BB1= CC1 ,∴ 2 2 1 1 DB1= DC1=B1C1=A1B1 。 ∵ ∠ B1A1C1= ∠ B1C1A1=60 ° , ∠ DA1B1= ∠ A1DB1= (180 ° - ∠ 2 2
( 2 )分别延长 CE 、 C1B1 交于点 D ,连结 A1D 。∵ EB1 ∥ CC1 , EB1= DB1A1)=30°, ∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°, 即 DA1⊥A1C1。 ∵CC1⊥平面 A1C1B1, 即 A 1C 1 是 A1C 在平面 A1C1D 上的射影, 根据三垂线定理得 DA1⊥A1C1, ∴∠CA1C1 是所求二面角的平面角。 ∵CC1= AA1=A1B1=A1C1, ∠A1C1C=90°,∴∠CA1C1=45°,即所求二面角为 45°。 19.解 (1)∵△ABC 是正三角形,AF 是 BC 边的中线, ∴AF⊥BC。 又 D、E 分别是 AB、AC 的中点, ∴DE∥

1 BC。 2

∴AF⊥DE,又 AF∩DE=G, ∴A′G⊥DE,GF⊥DE, ∴DE⊥平面 A′FG, 又 DE 平面 BCED, ∴平面 A′FG⊥平面 BCED。

(2)∵A′G⊥DE,GF⊥DE, ∴∠A′GF 是二面角 A′—DE—B 的平面角。 ∵平面 A′GF∩平面 BCED=AF,
6

作 A′H⊥AG 于 H , ∴A′H⊥平面 BCED。 假设 A′E⊥BD,连 EH 并延长 AD 于 Q,则 EQ⊥AD。 ∵AG⊥DE, ∴H 是正三角形 ADE 的重心,也是中心。 ∵AD=DE=AE=

a 1 3 3 ,∴A′G=AG= a,HG= AG= a。 2 3 4 12 HG 1 = . A' G 3 1 1 ,∴∠A′GF=arcos(- ), 3 3

在 Rt△A′HG 中,cos∠A′GH=

∵∠A′GF =π -∠A′GH, ∴cos∠A′GF= 即当∠A′GF=arcos(-

1 )时,A′E⊥BD。 3 1 =12。 2

20.解 (1)由已知 AB=4,AD=2,∠BAD=60°, 得 BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos60° =4+16-2×2×4× ∴AB2=AD2+BD2, ∴△ABD 是直角三角形,∠ADB=90°, 即 AD⊥BD。 在△PDB 中,PD= 3 ,PB= 15 ,BD= 12 , ∴PB2=PD2+BD2,故得 PD⊥BD。 又 PD∩AD=D,∴BD⊥平面 PAD。 (2)∵BD⊥平面 PAD,BD 平面 ABCD,

∴平面 PAD⊥平面 ABCD。 作 PE⊥AD 于 E,又 PE 平面 PAD,∴PE⊥平面 ABCD, ∴∠PDE 是 PD 与底面 BCD 所成的角,∴∠PDE=60°, ∴PE=PDsin60°= 3 ·

3 3 = 。 2 2

作 EF⊥BC 于 F,连 PF,则 PF⊥BC,∴∠PFE 是二面角 P—BC—A 的平面角。 又 EF=BD= 12 ,∴在 Rt△PEF 中,

7

3 PE 3 tan∠PFE= = 2 = 。 EF 2 3 4
故二面角 P—BC—A 的大小为 arctan

3 。 4

21.解 (1)由已知,VN⊥平面 ABC,N∈CD,AB 平面 ABC,

得 VN⊥AB。又∵CD⊥AB,DC∩VN=N ∴AB⊥平面 VNC。 又 V、M、N、D 都在 VNC 所在平面内, 所以,DM 与 VN 必相交,且 AB⊥DM,AB⊥CD, ∴∠MDC 为二面角 M—AB—C 的平面角。 (2)由已知,∠MDC=∠CVN, 在△VNC 与△DMC 中,∠NCV=∠MCD,且∠VNC=90°, ∴∠DMC=∠VNC=90°,故有 DM⊥VC。又 AB⊥VC, ∴VC⊥平面 AMB。 (3)由(1)、(2)得 MD⊥AB,MD⊥VC,且 D∈AB,M∈VC, ∴MD=h。又∵∠MDC=θ . ∴在 Rt△MDC 中,CM=h·tanθ 。 ∴V 四面体 MABC=V 三棱锥 C—ABM= =

1 CM·S△ABM 3

1 1 1 h·tanθ · ah = ah2tanθ 3 2 6

22.解 (1)∵D′—AE—B 是直二面角, ∴平面 D′AE⊥平面 ABCE。 作 D′O⊥AE 于 O,连 OB,则 D′O⊥平面 ABCE。 ∴∠D′BO 是直线 D′B 与平面 ABCE 所成的角。 ∵D′A=D′E=a,且 D′O⊥AE 于 O,∠AD′E=90° ∴O 是 AE 的中点, AO=OE=D′O=

2 a, ∠D′AE=∠BAO=45°。 2

8

∴在△OAB 中,OB= OA2 ? AB2 ? 2 ? OA ? ABcos45 ? = (

10 2 2 2 2 = a。 a) ? (2· a) 2 ? 2 ? ( a)(2a) 2 2 2 2
D' O 5 = 。 OB 5

∴在直角△D′OB 中,tan∠D′BO= (2)如图,连结 BE, ∵∠AED=∠BEC=45°, ∴∠BEA=90°, 即 BE⊥AE 于 E。 ∵D′O⊥平面 ABCE, ∴D′O⊥BE, ∴BE⊥平面 AD′E, ∴BE⊥AD′。 (3)四边形 ABCE 是直角梯形, ∴SABCE=

1 3 (a+2a)·a= a2。 2 2

∵D′O 是四棱锥的高且 D′O=

2 a, 2

∴VD′—ABCE=

1 3 2 2 3 ( a)·( a2)= a。 3 2 2 4

(4)作 AK∥BC 交 CE 的延长线于 K, ∴∠D′AK 是异面直线 AD′与 BC 所成的角, ∵四边形 ABCK 是矩形, ∴AK=BC=EK=a。 连结 OK,D′K, ∴OK=D′O=

2 a, ∠D′OK=90°, ∴D′K=a, AK=AD′=D′K=a。 2

∴△D′AK 是正三角形,∴∠D′AK=60°, 即异面直线 AD′与 BC 成 60°

9


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