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【高考数学一本通】2014届高中数学(理)一轮复习(课前热身)课件:第8章 第47讲 直线的斜率与直线的方程_图文

120? 1.直线 3x ? y ? 1 ? 0的倾斜角为 

  .

解析:将直线的方程化为y ? ? 3x ? 1, 则k ? tan? ? ?,所以? ? 120?.

2.直线l经过A ? 0,0 ?,B(1, )两点,则直线l的斜 ? 率k ? 3 ,倾斜角? ? ,直线l的方程 3 为y ? 3x   .
解析:由经过两点的斜率公式得k ? 3, 故倾斜角a ?

?

3 根据点斜式得直线l的方程为:y ? 3x.



3.经过点A ? ?5, 2 ? 且在两坐标轴上截距相等的直

2x ? 5y 线方程是  

? 0或x ? y ? 3 ? 0   .

解析: ?1? 截距相等为0时,设直线方程为y ? kx, 将点A ? ?5, 2 ? 代入得: 2x ? 5y ? 0;

? 2 ? 截距相等不为0时,设直线方程为x ? y ? C ? 0,将点A ? ?5, 2 ? 代入得:x ? y ? 3 ? 0.
综上知,所求直线方程为2x ? 5y ? 0或x ? y ? 3 ? 0.

4.设直线l的方程为? a ? 1? x ? y ? 2 ? a ? 0(a ? R),

(??, ? 1]   是   .

若直线l不经过第二象限,则实数a的取值范围
解析:将直线l的方程化为y ? ? ? a ? 1? x ? a ? 2. 因为直线l不经过第二象限, ??? a ? 1? ? 0 ??? a ? 1? ? 0 所以 ? 或? , ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 0 解得a ? ?1. 即实数a的取值范围是(??, ? 1].

1 5.已知直线l的斜率为 ,且和两坐标轴 6 围成面积为3的三角形,则直线l的方程 为

x ? 6y ? 6 ? 0或x ? 6y ? 6 ? 0  .

x y 解析:设直线l的方程为 ? ? 1,则有, a b ? b 1 ? ? ? ?a ? 6 ?a ? ?6 ? a 6 解? 得? 或? . ? 1 ? | ab |? 3 ?b ? ?1 ?b ? 1 ? ?2 故l的方程为x ? 6y ? 6 ? 0或x ? 6y ? 6 ? 0.

求直线的方程
【例1】

求分别满足下列条件的直线l的方程.
(1)直线l过点P(1,2),倾斜角是直线l1:3x+4y+5 =0的倾斜角的一半; (2)直线l过点M(0,1),且被两直线l1:x-3y+10= 0,l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M平分.

【解析】 ?1? 设直线l的斜率为k,倾斜角为? . 设直线l1: 3x+4y+5=0的倾斜角为?, 3 则tan?=- ,且?=2? . 4 2tan? 3 1 由tan?=tan2?= =- ,得tan?=- 或3 2 1 ? tan ? 4 3 1 若tan?=- ,则90? ? ? ? 180? 3 从而180? ? ? ? 360?,不合题意,所以k=tan?=3. 又直线l过点P ?1, 2 ?,由点斜式得直线l的方程为 y-2=3( x-1),即3x-y-1=0.

? 2 ? 设直线l与直线l1和直线l2分别交于
A(3y1-10,y1 )、B ( x2, 8-2x2 ). 因为线段AB的中点是M ,所以 ?(3 y1 ? 10) ? x2 ? 0 ? x2 ? 4 , 解得 ? ? ? y1 ? (8 ? 2 x2 ) ? 2 ? y1 ? 2 所以A、B的坐标分别为A(-4, 2)、B ? 4, 0 ?. y?0 x?4 由两点式得直线l的方程为 = 2 ? 0 ?4 ? 4 即x+4y-4=0.

本题考查直线方程的基础知识和基本方
法,主要考查点斜式和两点式.第 (1) 问已知 直线过一定点,倾斜角又是已知直线的倾斜

角的一半,用三角函数公式可以把它们的斜
率联系起来,故而想到设点斜式方便一 些.应该注意的是,倾斜角是另一直线的倾 斜角的一半,并不意味着斜率也是一半!第(2) 问解法很多,本解法是用中点方法再结合两

点式,这样解决比较简便一些.

【变式练习1】

求分别满足下列条件的直线l的方程. 3 ?1? 直线l过点A ? 0, 2 ?,它的倾斜角的正弦值为 ; 5 ? 2 ? 直线l过点A(-2, 4),分别交x轴、y轴于B、C ??? ? 1 ???? 两点,且满足 BA = AC 2

【解析】 ?1? 设直线l的斜率为k,倾斜角为?, 3 4 则由sin ?= ,得 cos ?= ? , 5 5 sin ? 3 所以k= tan ?= =? cos ? 4 3 由点斜式得直线l的方程为y-2= ? x 4 即3 x-4 y+8=0或3 x+4 y-8=0.

x y ? 2 ? 设直线l的方程为 + =1, a b 则B ? a, 0 ?,C (0,b), uur uuu r BA =(-2-a, 4), AC=(2,b-4). uur 1 uuu r ?2(?2 ? a) ? 2 ?a ? ?3 由BA = AC,得 ? , 解得 ? 2 ?8 ? b ? 4 ?b ? 12 x y 所以直线l的方程为 + =1, ?3 12 即4x-y+12=0.

基本不等式与直线方 程的综合问题
【例2】 已知直线l 过点 M(2,1) ,且与 x轴的正半轴交于 A 点,与 y 轴的正半轴交于 B 点, O 是坐标原点, 求:

(1) 当△ AOB 的面积取得最小值时,直线 l 的方
程; (2)当|MA|· |MB|取得最小值时,直线l的方程.

x y 【解析】 (1)依题意,设直线l的方程为 + =1 a b (a ? 0,b ? 0),则 OA =a, OB =b. 2 1 因为直线l过点M ? 2,1?,所以 + =1. a b 2 1 2 由1= + ? 2 , 得ab ? 8. a b ab 1 1 所以SV AOB= · OA · OB = ab ? 4, 2 2 2 1 1 当且仅当 = = ,即a=4,b=2时, a b 2 V AOB的面积取得最小值4. x y 所以直线l的方程为 + =1,即x+2y-4=0. 4 2

? 2 ? 设直线l的斜率为k .由题意知k ? 0. 因为直线l过点M ? 2,1?,
所以直线l的方程为y-1=k ( x-2). 1 当y=0时,得A点的坐标是(2- ,; 0) k 当x=0时,得B点的坐标是(0,1-2k ). 1 2 则 MA · MB = ? 2 ? 2 ? ? ? 1g 22 ? ?1 ? 1 ? 2k ? 2 k

1 1 2 2 = 4?1 ? 2 ??1 ? k ?=2 2 ? k ? 2 k k 1 ? 2 2 ? 2 k 2 =4, k 1 2 当且仅当k ? 2 ,即k=-1时, k MA · MB 取得最小值4.
2

所以直线l的方程为y-1=(-1)?( x-2), 即x+y-3=0.

直线方程的形式不只一种,因此设法很关

键.求过定点的直线方程往往用待定系数
法.本题第(1)问中,因△ABC是直角三角形, 面积显然与x轴、y轴上的截距关系密切,因而 将直线方程设为截距式较好;第(2)问如果选择 截距式,运算将非常繁杂,用点斜式或斜截式

会好很多.值得欣慰的是,本题两问都可以用
基本不等式较为快捷地解决.

【变式练习2】 求经过点A(-2,2)且在第二象限与两个坐标

轴围成的三角形面积最小时的直线的方
程.

x y 解析:解法一:设所求直线方程为 ? ? 1 a b (a ? 0,b ? 0), ?2 2 2b 因为 ? ? 1,所以a ? , a b 2?b 又a ? 0,所以b ? 2. 1 b 2b b 面积S ? ? ab ? ? ? ? 2 2 2?b b?2 4 4 ? ?b ? 2? ? ? [? b ? 2 ? ? ]? 4 b?2 b?2 4 ? 2 ?b ? 2? ? ? 4 ? 8. b?2
2

4 当且仅当b ? 2 ? ,即b ? 4时S最小. b?2 此时a ? ?4,b ? 4,故x ? y ? 4 ? 0为所求. 解法二:设所求直线方程为y ? 2 ? k ? x ? 2 ?, 显然k ? 0,由题意, 1 2 1 S ? 2k ? 2 ? | ? ? 2 |? 4 ? 2(k ? ) ? 8. 2 k k 当且仅当k ? 1时取等号, 故x ? y ? 4 ? 0为所求直线方程.

直线方程的应用
【例3】
某房地产公司要在荒地 ABCDE( 如 图 ) 上划出一块长方形地面 ( 不改变

方位 ) 建造一幢商业住宅.已知 BC
=70 m,CD=80 m,DE=100 m, EA=60 m,问如何设计才能使住宅 楼占地面积最大?并求出最大面积 (精确到1 m2).

【解析】如图建立直角坐标系, 则A ? 0, 20 ?,B ? 30, 0 ?. 故线段AB所在的直线方程为 x y + =1. 30 20 2 设线段AB上一点P的坐标为( x,y ),则y=20- x. 3 由P分别向CD、DE作垂线,垂足分别为F、G,则得到长 2 方形PFDG,其边长分别为(100-x)m和[80-(20- x)]m 3

则长方形PFDG的面积 2 S=(100-x)[80-(20- x)] 3 2 2 20 =- x + x+6000 3 3 2 50 2 =- ( x-5) +6000+ (0 ? x ? 30). 3 3 50 所以,当x=5,y= 时,其面积最大,为6017 m 2 . 3 50 2 即当P(5, )时,长方形的面积最大,为6017 m . 3

本题是一个生活实际问题,解法不只一
种.像上面这样利用直线方程来解决是比较 好的一种方法.因为要使得占地面积尽可能 地大,线段AB上不取点是不现实的,而线段 AB所在的直线方程可以用截距式很方便地写 出,P点的横、纵坐标x、y满足 x + y =1 30 20 ,就可以消去一个未知量了,何乐而不为呢?

【变式练习3】 已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).

(1)证明:直线l过定点;
(2) 若直线 l 不经过第四象限,求实数 k 的取值范 围; (3) 若直线 l 与 x 轴的负半轴交于 A 点,与 y 轴的正 半轴交于B点,O是坐标原点,△AOB的面积为

S,求S的最小值,并求此时直线l的方程.

【解析】 ?1? 证明:将直线l的方程化为 ( x+2) ? k+(1-y )=0 ?x ? 2 ? 0 ? x ? ?2 令? , 解得 ? ?1 ? y ? 0 ?y ?1 即直线l过定点(-2,1). (2)将直线l的方程化为:y=kx+2k+1. 欲使直线l不经过第四象限, ?k ? 0 必须 ? ,即k ? 0. ? 2k ? 1 ? 0 所以实数k的取值范围是[0,+?).

1 ? 2k ; k 1 ? 2k ? ?0 ? x=- 当x=0时,y=1+2k .由题意, ,所以k ? 0. k ? ? ? y=1+2k ? 0

? 3? 显然k 存在且不为0.当y=0时,x=-

1 ? 2k 所以 OA = , OB =1+2k . k 1 4k 2 ? 4k ? 1 1 1 所以S= OA ? OB = =2k+ +2 ? 2 2k ? +2=4 2 2k 2k 2k 1 1 当且仅当2k= ,即k= 时,上式等号成立. 2k 2 所以此时直线l的方程为x-2y+4=0

1.m 为任意实数时,直线 (m - 1)x + (2m - 1)y (9,-4) =m-5必经过定点_____________.
【解析】由直线得:m( x+2y-1)+(-x-y+5)=0, ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?x ? 9 所以有 ? ,解得 ? ?? x ? y ? 5 ? 0 ? y ? ?4 故直线必经过定点(9,-4).

2.若直线2mx+3y+1=0的倾斜角? ? [ , ],则 6 4 3 3 [   - ,- ]   实数m的取值范围是_____________ 2 2 .

? ?

3 【解析】因为? ? [ , ],所以 ? k=tan? ? 1, 6 4 3 3 2m 3 3 即 ?- ? 1,所以- ? m ? - 3 3 2 2

? ?

3.已知直线l被坐标轴截得线段中点是 (1,- 3x-y-6=0 3),则直线l的方程是__________________.
【解析】直线l与坐标轴的交点坐标为? 2, 0 ?、 (0,-6), x y 故由截距式可求直线l的方程是 + =0, 2 ?6 即3x-y-6=0.

4. 过点 (4 ,- 3) 的直线 l 在两坐标轴上的截

距的绝对值相等,求直线l的方程.
【解析】(1) 当直线 l 过原点时,它在 x 轴、 y 轴上的截距都是0. 故满足条件的直线方程是3x+4y=0.

x y ? 2 ?当直线l不过原点时,方程可设为 + =1. a b 4 3 因为直线l过点(4,-3),所以 - =1 a b 又 a=b 1 故当a=b时, =1,所以a=b=1, a 则直线l的方程为x+y-1=0; 7 当a=-b时, =1,所以a=7,b=-7, a 则直线l的方程为x-y-7=0.

5.在△ABC中,已知点A(5 ,-2) 、 B(7,3) ,且边 AC的中点M在y轴上,边BC的中点N在x轴上. (1)求点C的坐标; (2)求直线MN的方程.

5? x 【解析】 =0, ?1? 设点C ( x,y ),由题意得 2 3? y =0,得x=-5,y=-3. 2 故所求点C的坐标是(-5,-3). 5 ? 2 ? 点M的坐标是(0,- ),点N的坐标是 ?1, 0 ?, 2 y?0 x ?1 直线MN的方程是 ? ,即5x-2y-5=0. 5 0 ? 1 ? ?0 2

本节内容主要从两个方面考查: 一是如何利用题目给出的条件求直线方程,

多用待定系数法,需要仔细审题,判明设直线方
程的哪一种形式更为方便,并且要分类讨论,考 虑周全,以免漏解; 二是直线方程的应用,包括用直线方程解决 实际问题,也包括给出一个含参数的直线方程,

根据条件讨论参数的取值范围等.

1 .用待定系数法求直线方程时,要考虑 特殊情形,以防丢解.下面列出直线方程的形 式及注意事项: 名称 条件 方程 注意事项

点斜
式 斜截 式

已知直线的
斜率为k且过 点(x0,y0) 已知直线的

y-y0=k(x 记得把直线x=
-x0) x0“捡回来” 记得把k不存在 的直线“捡回

斜率为k、纵 y=kx+b

截距为b

来”

名称

条件 已知直线过

方程

注意事项 记得把直线x= x1和直线y= y1“捡回来” 记得把过原点 的直线及平行

两点

两点(x1,y1)、 y ? y1 = x ? x1 式 y2 ? y1 x2 ? x1 (x ,y )
2 2

截距

直线在x、y 轴上的截距


一般 式

x y ? ?1 a b

分别是a、b Ax+By+C=0

于坐标轴的直
线“捡回来” 注意B=0和A= 0的陷阱

2.用待定系数法求直线方程的步骤:

(1)根据判断,设所求直线方程的一种形式;
(2)由条件建立所求参数的方程;

(3)解方程(组)求出参数;
(4)把参数值代入所设直线方程,最后将直线 方程化为一般式.

3.求斜率一般有两种方法:其一,已知直线上 y2 ? y1 两点,根据斜率公式k= ( x2 ? x1 )求斜率;其二, x2 ? x1 已知直线的倾斜角? 或?的三角函数值,根据k=tan? (? ?

?
2

)求斜率,此类问题常与三角函数知识联系在

一起.当倾斜角? ? [0, )时,斜率k随?的增大而增 2 大,当倾斜角? ? ( ,? )时,斜率k 仍随?的增大而 2 增大.

?

?

4.在确定直线的倾斜角、斜率时,

要注意倾斜角的范围、斜率存在的条件;
在利用直线方程的几种特殊形式时要注意 它们各自的适用范围,特别是在利用直线 的点斜式与斜截式解题时,要防止由于 “无斜率”而漏解,在解与截距有关的问

题时,要防止“零截距”漏解现象.


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