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专题4 立体几何

2012 届高考数学压轴题预测 专题 4 立体几何

1. 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (I) 求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面 CDB1; 解析: (1)证明线线垂直方法有两类:一是通过三垂线定理或逆定理证明,二是通过线 面垂直来证明线线垂直; (2)证明线面平行也有两类:一是通过线线平行得到线面平行,二 是通过面面平行得到线面平行. 答案:解法一: 答案:解法一 (I)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4AB=5, ∴ AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,∴ AC⊥BC1; (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE,∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点, ∴ DE//AC1,∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1, ∴ AC1//平面 CDB1; 解法二: 解法二:∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC=3, z C B 为坐标原点,直线 CA、CB、C1C 分别为 x 轴、y 轴、z 轴, 建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0) A(3,0,0) C1 , , (0,0,4) B(0,4,0) B1(0,4,4) , , ,D( A E

BC=4,AB=5,∴AC、BC、C1C 两两垂直,如图,以 C

3 ,2,0) 2
A

C B x y

(1)∵ AC =(-3,0,0) BC1 =(0,-4,0) , , ∴ AC ? BC1 =0,∴AC⊥BC1. (2)设 CB1 与 C1B 的交战为 E,则 E(0,2,2).∵ DE =(- 0,2) AC1 =(-3,0,4) , ,∴ DE = 点评:2.平行问题的转化:

3 , 2

1 AC1 ,∴DE∥AC1. 2

面面平行

线面平行

线线平行;

主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理.? 2. 如图所示,四棱锥 P—ABCD 中,AB ⊥ AD,CD ⊥ AD,PA ⊥ 底面 ABCD,PA=AD=CD=2AB=2, M 为 PC 的中点。 (1)求证:BM∥平面 PAD;

(2)在侧面 PAD 内找一点 N,使 MN ⊥ 平面 PBD; (3)求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦。 解析:本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直, 二面角等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力. 答案: (1)Q M 是 PC 的中点,取 PD 的中点 E ,则

1 1 CD ,又 AB CD 2 2 ∴ 四边形 ABME 为平行四边形 ∴ BM ∥ EA , BM ? 平面 PAD EA ? 平面 PAD (4 分) ∴ BM ∥ 平面 PAD (2)以 A 为原点,以 AB 、 AD 、 AP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,如图,则 B(1,0,0) ) , C (2,2,0) , D (0,2,0) , P(0,0,2) , M (1,1,1) , E (0,1,1)
ME
在平面 PAD 内设 N (0, y, z ) , MN = (? 1, y ? 1, z ? 1) , PB = (1,0,?2 ) ,
?? → ?? →

DB = (1,?2,0 ) 由 MN ⊥ PB
由 MN ⊥ DB
?? → ?? →

?? →

?? →

?? →

∴ MN ? PB = ?1 ? 2 z + 2 = 0
?? → ?? →

?? →

?? →

∴z=

1 2

∴ MN ? DB = ?1 ? 2 y + 2 = 0

∴y=

1 2
(8 分)

? 1 1? ∴ N ? 0, , ? ∴ N 是 AE 的中点,此时 MN ⊥ 平面 PBD ? 2 2? (3)设直线 PC 与平面 PBD 所成的角为 θ ?? → ?? → ?? → ?? → 1 1? ? PC = (2,2,?2 ) , MN = ? ? 1,? ,? ? ,设 PC, MN 为 α 2 2? ?

cosα =

PC? MN
? ?→ ??→

?? →

?? →

=

?2 2 3? 6 2

=?

PC MN

2 3
2 3

sin θ = ? cos α =

2 3

故直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦为 解法二: (1)Q M 是 PC 的中点,取 PD 的中点 E ,则

(12 分)

1 1 CD ,又 AB CD 2 2 ∴ 四边形 ABME 为平行四边形 ∴ BM ∥ EA , BM ? 平面 PAD EA ? 平面 PAD (4 分) ∴ BM ∥ 平面 PAD (2)由(1)知 ABME 为平行四边形 PA ⊥ 底面 ABCD ∴ PA ⊥ AB ,又 AB ⊥ AD 同理 CD ⊥ 平面 PAD , AE ? 平面 PAD ∴ AB ⊥ 平面 PAD CD ∥ ME ,CD ⊥ PD ,又 PD ⊥ AE ∴ AB ⊥ AE ∴ ABME 为矩形 PD ? 平面 PBD ∴ ME ⊥ PD ∴ PD ⊥ 平面 ABME
ME

∴ 平面 PBD ⊥ 平面 ABME

作 MF ⊥ EB 故 MF ⊥ 平面 PBD

MF 交 AE 于 N ,在矩形 ABME 内, AB = ME = 1 , AE = 2 2 2 , NE = N 为 AE 的中点 ∴ MF = 2 3 (8 分) ∴ 当点 N 为 AE 的中点时, MN ⊥ 平面 PBD (3)由(2)知 MF 为点 M 到平面 PBD 的距离, ∠MPF 为直线 PC 与平面 PBD 所 MF 2 成的角,设为 θ , sin θ = = MP 3 2 ∴ 直线 PC 与平面 PBD 所成的角的正弦值为 3
点评: (1)证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可; (2)求斜线与平面 所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线,斜线和射影所成的角,即为所求角; (3) 证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地 体现出来 3. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底 面 ABCD 是 ∠ADC = 60o 的菱形, M 为 PB 的中点. (Ⅰ)求 PA 与底面 ABCD 所成角的大小; (Ⅱ)求证: PA ⊥ 平面 CDM ; (Ⅲ)求二面角 D ? MC ? B 的余弦值. 解析:求线面角关键是作垂线,找射影,求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的 大小也可应用面积射影法,比较好的方法是向量法 答案:(I)取 DC 的中点 O,由 ΔPDC 是正三角形,有 PO⊥DC. 又∵平面 PDC⊥底面 ABCD,∴PO⊥平面 ABCD 于 O. 连结 OA,则 OA 是 PA 在底面上的射影.∴∠PAO 就是 PA 与底面所成角. ∵∠ADC=60°,由已知 ΔPCD 和 ΔACD 是全等的正三角形,从而求得 OA=OP= 3 . ……6 分 ∴∠PAO=45°.∴PA 与底面 ABCD 可成角的大小为 45°. (II)由底面 ABCD 为菱形且∠ADC=60°,DC=2,DO=1,有 OA⊥DC. 建立空间直角坐标系如图,则 A( 3, 0, 0), P(0, 0, 3), D(0, ? 1, 0) , B( 3, 2, 0), C (0, 1, 0) . 由 M 为 PB 中点,∴ M (
uuuur 3 3 , 1, ). 2 2

∴ DM

=(

uuur r 3 3 uuu , 2, ), PA = ( 3, 0, ? 3), DC = (0, 2, 0) . 2 2
= 3 3 × 3 + 2× 0 + (? 3) = 0 , 2 2

∴ PA ? DM

uuu uuuur r

uuu uuur r PA ? DC = 0 × 3 + 2 × 0 + 0 × (? 3) = 0 .

∴PA⊥DM,PA⊥DC.

∴PA⊥平面 DMC.

……4 分

uuuu r uuu r r (III) CM = ( 3 , 0, 3 ), CB = ( 3, 1, 0) .令平面 BMC 的法向量 n = ( x, y, z ) , 2 2 r r r uuuu r uuu 则 n ? CM = 0 ,从而 x+z=0; ……①, n ? CB = 0 ,从而 3x + y = 0 . ……② r 由①、②,取 x=?1,则 y = 3, z = 1 . ∴可取 n = (?1, 3, 1) . uuu r 由(II)知平面 CDM 的法向量可取 PA = ( 3, 0, ? 3) , r r uuu r n r uuu uuu ∴ cos < n , PA >= r ? PAr = ?2 3 = ? 10 . ∴所求二面角的余弦值为- 10 . 5 5 | n | | PA | 5? 6

……6 分

法二: (Ⅰ)方法同上 (Ⅱ)取 AP 的中点 N ,连接 MN ,由(Ⅰ)知,在菱形 ABCD 中,由于 ∠ADC = 60o , 则 AO ⊥ CD ,又 PO ⊥ CD ,则 CD ⊥ 平面APO ,即 CD ⊥ PA , 又在 ?PAB 中,中位线 MN //

1 1 AB , CO // AB ,则 MN //CO ,则四边形 OCMN 为 ? , 2 2

所以 MC // ON , ?APO 中,AO = PO , ON ⊥ AP , AP ⊥ MC 而 MC I CD = C , 在 则 故 则 PA ⊥ 平面MCD (Ⅲ)由(Ⅱ)知 MC ⊥ 平面PAB ,则 ∠NMB 为二面角 D ? MC ? B 的平面角,在

Rt ?PAB 中,易得 PA = 6, PB = PA2 + AB 2 =

6 + 22 = 10 ,

2

cos ∠PBA =

2 10 AB = = , PB 5 10
10 10 故,所求二面角的余弦值为 ? 5 5

cos ∠NMB = cos(π ? ∠PBA) = ?

点评: 本题主要考查异面直线所成的角、 线面角及二面角的一般求法, 综合性较强 用 平移法求异面直线所成的角,利用三垂线定理求作二面角的平面角,是常用的方法. 4. 如图所示:边长为 2 的正方形 ABFC 和高为 2 的直角梯形 ADEF 所在的平面互相垂直且

DE= 2 ,ED//AF 且∠DAF=90°。 (1)求 BD 和面 BEF 所成的角的余弦; (2)线段 EF 上是否存在点 P 使过 P、A、C 三点的 求 EP 与 PF 的比值;若不存在,说明理由。

平面和直线 DB 垂直, 若存在,

解析:1.先假设存在,再去推理,下结论: 2.运用推理证明计算得出结论,或先利用 条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算。 答案: (1)因为 AC、AD、AB 两两垂直,建立如图坐标系, 则 B(2,0,0) ,D(0,0,2) , E(1,1,2) ,F(2,2,0) , 则 DB = (2,0,0), BE = (?1,1,2), BF = (0,2,0) 设平面 BEF 的法向量 n = ( x, y, z ), 则 ? x

+ y + 2 z = 0, y = 0 ,则可取 n = (2,1,0) ,
∴向量 DB和n = (2,0,1) 所成角的余弦为

2?2 + 0 ? 2 2 +1
2 2

2 + ( ? 2)
2

2

=

10 。 10 10 。 10

即 BD 和面 BEF 所成的角的余弦

(2)假设线段 EF 上存在点 P 使过 P、A、C 三点的平面和直线 DB 垂直,不妨设 EP 与 PF 的比值为 m,则 P 点坐标为 ( 则向量 AP = (

1 + 2 m 1 + 2m 2 , , ), 1+ m 1+ m 1+ m

1 + 2 m 1 + 2m 2 , , ), ,向量 1+ m 1+ m 1+ m



CP = (

1 + 2m 1 2 ,? , ), 1+ m 1+ m 1+ m

A

1 + 2m 1 + 2m 2 1 所以 2 +0 + ( ?2) = 0, 所以m = 。 1+ m 1+ m 1+ m 2

B D

点评:本题考查了线线关系,线面关系及其相关计算,本题采用探索式、开放式设问方 式,对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。 5. 已知正方形 ABCD

CD E 、 分别是 AB 、 的中点,将 ? ADE 沿 DE 折起,如图所示, F

记二面角 A ? DE ? C 的大小为 θ (0 < θ < π ) (I) 证明 BF // 平面 ADE ; (II)若 ? ACD 为正三角形,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上, 证明你的结论,并求角 θ 的余弦值 分析:充分发挥空间想像能力,重点抓住不变的位置和数量关系,借助模型图形得出结 论,并给出证明.
A

解: (I)证明:EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点,

∴ EB//FD,且 EB=FD, ∴ 四边形 EBFD 为平行四边形 ∴ BF//ED.
E

B G F D C

Q EF ? 平面AED, 而BF ? 平面AED ,∴ BF // 平面 ADE
(II)如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE, 垂足为 G,连结 GC,GD

Q ? ACD 为正三角形,∴ AC=AD.

∴ CG=GD.
Q G 在 CD 的垂直平分线上, ∴ 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,
过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH ⊥ DE ,所以 ∠AHD 为二面角 A-DE-C 的平面 角 即 ∠AHG = θ . 设原正方体的边长为 2a,连结 AF,在折后图的 ? AEF 中,AF= 3a ,EF=2AE=2a,即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF = AE ? AF .

∴ AG =

2 3 a. a 在 Rt ? ADE 中, AH ? DE = AE ? AD ∴ AH = 2 5 a 2 5
, cos θ =

∴ GH =

GH 1 = AH 4

点评:在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中,一般来说,位于同一平面内的几 何元素相对位置和数量关系不变: 位于两个不同平面内的元素, 位置和数量关系要发生变化, 翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。关键要抓不变的量. 6. 设棱锥 M-ABCD 的底面是正方形,且 MA=MD,MA⊥AB,如果ΔAMD 的面积为 1,试求能 够放入这个棱锥的最大球的半径. 分析:关键是找出球心所在的三角形,求出内切圆半径. 分析:关键是找出球心所在的三角形,求出内切圆半径. 解: ∵AB⊥AD,AB⊥MA, ∴AB⊥平面 MAD,

由此,面 MAD⊥面 AC. 记 E 是 AD 的中点,从而 ME⊥AD. ∴ME⊥平面 AC,ME⊥EF. 设球 O 是与平面 MAD、平面 AC、平面 MBC 都相切的球. 不妨设 O∈平面 MEF,于是 O 是ΔMEF 的内心. 设球 O 的半径为 r,则 r=

2 S △ MEF EF + EM + MF

设 AD=EF=a,∵SΔAMD=1.

∴ME=

2 2 2 2 .MF= a + ( ) , a a
2


r=

a+

2 2 + a2 + ( )2 a a

2 = 2 -1。 2+2 2

当且仅当 a=

2 ,即 a= 2 时,等号成立. a

∴当 AD=ME= 2 时,满足条件的球最大半径为 2 -1. 点评:涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空 间问题化归为平面问题, 再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。 注意多边形内切 圆半径与面积和周长间的关系;多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。


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