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2015秋高中数学 1.1.3集合的基本运算(第1课时)学案设计 新人教A版必修1


第一章

集合与函数概念 1.1 集合

1.1.3

集合的基本运算(第一课时)

学习目标 ①理解两个集合的并集与交集,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法 ,感受集合作 为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比的能力; ②通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的 作用,培养数形结合的思想. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题 1:实数有加法运算,两个实数可以相加,例如 5+3=8.类比实数的加法运算,集合是 否也可以“相加”呢?

问题 2:请同学们考察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A,B 之间的关系吗? (1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};

(2)A={x|x 是有理数},B={x|x 是无理数},C={x|x 是实数}.

二、自主探索,尝试解决 从以下几方面进行探究: ①通过问题 2 中集合 A,B 与集合 C 之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么?

②用文字语言来叙述问题 2 中集合 A,B 与集合 C 之间的关系.

③用数学符号来叙述问题 2 中集合 A,B 与集合 C 之间的关系.

④用 Venn 图来叙述问题 2 中集合 A,B 与集合 C 之间的关系.

三、信息交流,揭示规律 根据同学们的探究讨论结果,得出以下结论:

1.集合的并集 (1)文字语言:

(2)数学符号:

(3)Venn 图:

问题 3:请同学们考察下面的问题,集合 A,B 与集合 C 之间有什么关系? (1)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};

(2)A={等腰三角形},B={直角三角形},C={等腰直角三角形}.

2.集合的交集 问题 4:类比集合的并集,请给出交集其他语言表达形式. 符号表示: Venn 图表示:

四、运用规律,解决问题 【例 1】设 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求 A∪B,A∩B.

【例 2】设 A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∪B,A∩B.

【例 3】设集合 A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a+1)x+a -1=0,a∈R},若 A∩B=B,求 a 的值. 五、变式演练,深化提高 1.A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},则 A∩B,B∪C,A∩B∩C 分别是什么?

2

2

2

2.设 A={x|x=2 ,n∈N },B={x|x=2n,n∈N},求 A∩B,A∪B.

n

*

3.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合 B 的个数.

4.设 A={-4,2,a-1,a },B={9,a-5,1-a},已知 A∩B={9},求 a.

2

5.已知集合 A={x|-2≤x≤5},集合 B={x|m+1≤x≤2m-1},且 A∪B=A,试求实数 m 的取值 范围.

六、反思小结,观点提炼 同学们互相交流一下本节课学习了哪些知识,涉及了哪些数学思想方法? 七、作业精选,巩固提高 1.阅读课本 P8~11. 2.书面作业 必做题:课本 P11 习题 1.1 A 组第 6,7,8 题. 2 2 选做题 : 若关于 x 的方程 3x +px-7=0 的解集为 A, 方程 3x -7x+q=0 的解集为 B, 且 A∩B={-},求 A∪B. 参考答案 三、信息交流,揭示规律 1.集合的并集 (1)所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成了集合 C. (2)C={x|x∈A,或 x∈B}. (3)

2.集合的交集 符号表示:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. Venn 图表示:

四、运用规律,解决问题 【 例 1 】 解:A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.A∩B={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}. 点评:本题主要考查集合的并集和交集.用列举法表示的离散型元素的数的集合,运算时 常利用 Venn 图或直接观察得到结果.本题易错解为 A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8}.其原因是忽视 了集合元素的互异性.解决集合问题要遵守集合元素的三条性质. 【例 2】 解:将 A={x|-1<x<2}及 B={x|1<x<3}在数轴上表示出来.如图所示的阴影部分即 为所求.

由图得 A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}, A∩B={x|-1<x<2}∩{x|1<x<3}={x|1<x<2}. 点评:本题主要考查集合的并集和交集.用描述法表示的连续型元素的数的集合,运算时 常利用数轴来计算结果. 【例 3】解:由题意得 A={-4,0}.∵A∩B=B,∴B? A.∴B=? 或 B≠? . 2 2 当 B=? 时,即关于 x 的方程 x +2(a+1)x+a -1=0 无实数解, 2 2 则 Δ =4(a+1) -4(a -1)<0,解得 a<-1. 2 2 当 B≠? 时,若集合 B 仅含有一个元素,则 Δ =4(a+1) -4(a -1)=0,解得 a=-1, 2 此时,B={x|x =0}={0}? A,即 a=-1 符合题意. 若集合 B 含有两个元素,则这两个元素是-4,0, 2 2 即关于 x 的方程 x +2(a+1)x+a -1=0 的解是-4,0. 则有 解得 a=1,则 a=1 符合题意. 综上所得,a=1 或 a≤-1. 五、变式演练,深化提高 1.解:A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},在数轴上表示,如图所示,

所以 A∩B={x|0<x<5},B∪C={x|x>0},A∩B∩C=? . 点评 : 本题主要考查集合的交集和并集 . 求集合的并集和交集时,①明确集合中的元 素;②依据并集和交集的含义,借助直观图(数轴或 Venn 图)写出结果. n n-1 * * n-1 2.解:对任意 m∈A,则有 m=2 =2·2 ,n∈N ,因 n∈N ,故 n-1∈N,有 2 ∈N,那么 m∈B, 即对任意 m∈A 有 m∈B,所以 A? B. 而 10∈B 但 10?A,即 A? B,则有 A∩B=A,A∪B=B. 3.解:满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合 B 一定含有元素 3,有{3},还可含 1 或 2 其中一个, 有{1,3},{2,3};还可含 1 和 2,即{1,2,3},那么共有 4 个满足条件的集合 B. 2 4.解:因 A∩B={9},则 9∈A,a-1=9 或 a =9, a=10 或 a=±3, 当 a=10 时,a-5=5,1-a=-9; 当 a=3 时,a-1=2,不合题意. 当 a=-3 时,a-1=-4,不合题意. 故 a=10,此时 A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},满足 A∩B={9}. 5.分析:由 A∪B=A 得 B? A,则有 B=? 或 B≠? ,因此对集合 B 进行分类讨论. 解:∵A∪B=A,∴B? A. 又∵A={x|-2≤x≤5}≠? ,∴B=? 或 B≠? . 当 B=? 时,有 m+1>2m-1,∴m<2. 当 B≠? 时,观察图:

由数轴可得解得 2≤m≤3. 综上所述,实数 m 的取值范围是 m<2 或 2≤m≤3,即 m≤3. 点评:本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想,以及集合间关系的应用.已知两个集 合的运算结果,求集合中参数的取值范围时、 由集合的运算结果确定它们的关系,通过深刻理 解集合表示法的转换,把相关问题化归为其他常见的方程、 不等式等数学问题,这称为数学的

化归思想,是数学中的常用方法.要学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.


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