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专题14 直线与圆

一、选择题 1. (文)l1: x+ay+6=0 与 l2: (a-2)x+3y+2a=0 平行, 则 l1 与 l2 间的距离为( A. 2
2

)

8 2 B. 3
2

C. 3

D.

8 3 3 )

(理)l 过圆 x +(y-3) =4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程是( A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0
2 2

D.x-y+3=0 )

2. (文)(2 安徽文, 8)直线 3x+4y=b 与圆 x +y -2x-2y+1=0 相切, 则 b 的值是( A.-2 或 12 B.2 或-12 C.-2 或-12 D.2 或 12

(理)(2015·辽宁葫芦岛市一模)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切, 圆心 在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( A.(x+1) +(y-1) =2 2.直线与圆的位置关系 直线 l: Ax+By+C=0(A +B ≠0)与圆: (x-a) +(y-b) =r (r>0)的位置关系如下表. 代数法: 几何法: 方法 位置关系 |Aa+Bb+C| 根据 d= A2+B2 与 r 的大小关系 相交 相切 相离
? ?Ax+By+C=0 ? 2 2 2 ??x-a? +?y-b? =r ?
2 2 2 2 2 2 2

)
2 2

B.(x-1) +(y+1) =2

消元得一元二次方程, 根据判别式 Δ 的符号

d<r d=r d>r

Δ >0 Δ =0 Δ <0

3.求圆的方程有两类方法:(1)几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置 关系,进而求得圆的半径和圆心,得出圆的方程;(2)代数法,求圆的方程必须具备三个独 立条件,利用“待定系数法”求出圆心和半径. 3.(文)(2014·安徽文,6)过点 P(- 3,-1)的直线 l 与圆 x +y =1 有公共点,则 直线 l 的倾斜角的取值范围是( π A. (0, ] 6 π B.(0, ] 3 ) π C. [0, ] 6 π D.[0, ] 3
2 2

1.求直线的方程常用待定系数法. 2.两条直线平行与垂直的判定可用一般式进行判定,也可以用斜率判定. (理)(2015·山东理,9)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y -2) =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( 5 3 A.- 或- 3 5 3 2 B.- 或- 2 3 5 4 C.- 或- 4 5
2 2

) 4 3 D.- 或- 3 4

1

4.(文,6)若圆 C1:x +y =1 与圆 C2:x +y -6x-8y+m=0 外切,则 m=( A.21 B.19 C.9 D.-11

2

2

2

2

)

[方法点拨] 圆与圆的位置关系 表现形式 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何表现:圆心距 d 与 r1、r2 的关 系 代数表现: 两圆方程联立组成的方 程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同实数解 一组实数解 无解

d>r1+r2 d=r1+r2
|r1-r2|<d<r1+r2

d=|r1-r2|(r1≠r2)
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

1 2 (理)一动圆过点 A(0,1),圆心在抛物线 y= x 上,且恒与定直线 l 相切,则直线 l 的 4 方程为( )A.x=1 1 B.x= 32 1 C.y=- 32
2 2

D.y=-1 )

5.(文)(哈三中一模)直线 x+y+ 2=0 截圆 x +y =4 所得劣弧所对圆心角为( A. π 6 π B. 3 2π C. 3 D. 5π 6
2 2

(理)(2014·福建理,6)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k 1 =1”是“△OAB 的面积为 ”的( 2 )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 1.直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解. 2.直线与圆相切时,一般用几何法体现,即使用 d=r,而不使用 Δ =0. 6.(2015·太原市一模)已知在圆 x +y -4x+2y=0 内,过点 E(1,0)的最长弦和最短 弦分别是 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( A.3 5 B.6 5 C.4 15 ) D.2 15
2 2 2 2

7.(2015·重庆理,8)已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对称轴.过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( A.2 B.4 2 C.6 D.2 10 ) )

8.过点 P(-2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 24 的直线共有( A.1 条 B.2 条 没 C.3 条 D.4 条

9.(文)(2014·江西理,9)在平面直角坐标系中,A、B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点, 若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( 4 A. π 5 3 B. π 4 C.(6-2 5)π 5 D. π 4
2

)

(理)两条平行直线和圆的位置关系定义为: 若两条平行直线和圆有四个不同的公共点, 则称两条平行线和圆“相交”;若两平行直线和圆没有公共点,则称两条平行线和圆“相 离”;若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点,则称两条平行线和圆“相 切”.已知直线 l1:2x-y+a=0,l2:2x-y+a +1=0 和圆:x +y +2x-4=0 相切,则
2 2 2

a 的取值范围是(
A.a>7 或 a<-3

) B.a> 6或 a<- 6 D.a≥7 或 a?-3

C.-3≤a≤- 6或 6≤a≤7

[方法点拨] 与圆有关的最值问题主要题型有: 1.圆的半径最小时,圆面积最小. 2.圆上点到定点距离最大(小)值问题,点在圆外时,最大值 d+r,最小值 d-r(d 是 圆心到定点距离);点在圆内时,最大值 d+r,最小值 r-d. 3.圆上点到定直线距离最值,设圆心到直线距离为 d,直线与圆相离,则最大值 d+r, 最小值 d-r;直线与圆相交,则最大值 d+r,最小值 0. 4.P(x,y)为⊙O 上一动点,求 x、y 的表达式(如 x+2y,x +y 等)的取值范围,一段 利用表达式的几何意义转化. 二、填空题 10. (文)设直线 mx-y+3=0 与圆(x-1) +(y-2) =4 相交于 A、 B 两点, 且弦长为 2 3, 则 m=________. 1 2 2 2 (理)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 sin A+sin B= sin C,则直 2 线 ax-by+c=0 被圆 x +y =9 所截得弦长为________. 11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y =4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c =0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. 12.已知过点 P(2,1)有且只有一条直线与圆 C:x +y +2ax+ay+2a +a-1=0 相切, 则实数 a=________. 三、解答题 13.(2015·福建文,19)已知点 F 为抛物线 E:y =2px(p>0)的焦点,点 A(2,m)在抛 物线 E 上,且|AF|=3. (1)求抛物线 E 的方程;(2)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

14.(文)已知圆 C:x +y =r (r>0)经过点(1, 3). (1)求圆 C 的方程; → (2)是否存在经过点(-1,1)的直线 l, 它与圆 C 相交于 A、 B 两个不同点, 且满足关系OM 1→ 3→ = OA+ OB(O 为坐标原点)的点 M 也在圆 C 上,如果存在,求出直线 l 的方程;如果不存 2 2 在,请说明理由. (理)已知圆 O:x +y =2 交 x 轴于 A、B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为
2 2

2

2

2

2 的 2

椭圆,其左焦点为 F.若 P 是圆 O 上一点,连接 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交直线 x=- 2 于点 Q.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切; (3)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A,B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的 位置关系?若是,请证明;若不是,请说明理由. 15.(文)(2014·石家庄市质检)已知动圆 C 过定点 M(0,2),且在 x 轴上截得弦长为 4. 设该动圆圆心的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 方程; (2)设点 A 为直线 l:x-y-2=0 上任意一点,过 A 作曲线 C 的切线,切点分别为 P、Q, 求△APQ 面积的最小值及此时点 A 的坐标. 3 (理)已知点 A(-2,0),B(2,0),直线 PA 与直线 PB 斜率之积为- ,记点 P 的轨迹为 4 曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; → → → → (2)设 M、N 是曲线 C 上任意两点,且|OM-ON|=|OM+ON|,是否存在以原点为圆心且与

MN 总相切的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.

4