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【最新教材】北师大版高中数学必修四:第二、三章综合测试题(含答案)

新教材适用·北师大版数学 阶段性测试题五(第二、三章综合测试题)

本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分 150 分,时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 其中有且仅有一个是正确的.)
1.有下列四个命题: ①存在 x∈R,sin22x+cos22x=12; ②存在 x、y∈R,sin(x-y)=sinx-siny;

③x∈[0,π], 1-c2os2x=sinx;

④若 sinx=cosy,则 x+y=2π.

其中不正确的是( )

A.①④

B.②④

C.①③

D.②③

[答案] A

[解析] ∵对任意 x∈R,均有 sin22x+cos22x=1,

故①不正确,排除 B、D;又 x∈[0,π], C,故选 A.

1-c2os2x= sin2x=sinx,故③正确,排除

2.(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)若向量 a=(2cosα,-1),b=( 2,tanα),且 a∥b,则 sinα=( )

A.

2 2

B.-

2 2

C.±

2 2

[答案] B

D.-12

[解析] ∵a∥b,∴2cosα·tanα=- 2,即 sinα=- 22.

3.(2014·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)函数 y=2cos2x-1 是( )

A.最小正周期为 2π 的偶函数

B.最小正周期为 2π 的奇函数

C.最小正周期为 π 的偶函数

D.最小正周期为 π 的奇函数

[答案] C [解析] y=2cos2x-1=cos2x,故函数 y=2cos2x 是最小正周期为 π 的偶函数.

4.在△ABC 中,若 4sinA+2cosB=1,2sinB+4cosA=3 3,则 sinC 的大小是( )

A.-12

B.

3 2

C.12或

3 2

D.12

[答案] D [解析] 由条件,得(4sinA+2cosB)2=1,(2sinB+4cosA)2=27, ∴20+16sinAcosB+16sinBcosA=28.

∴sinAcosB+cosAsinB=12.

即 sin(A+B)=12.

∴sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=12. 5.函数 y=(sinx+cosx)2+1 的最小正周期是( )

A.π2

B.π

C.32π

D.2π

[答案] B [解析] y=(sinx+cosx)2+1 =1+2sinxcosx+1=2+sin2x. ∴最小正周期 T=π.

6.设 5π<θ<6π,cosθ2=a,则 sinθ4的值等于(

)

A.-

1+a 2

B.-

1-a 2

C.-

1+a 2

D.-

1-a 2

[答案] D [解析] ∵5π<θ<6π,∴54π<θ4<32π,

∴sinθ4<0,∴sinθ4=-

1-2cosθ2=-

1-a 2.

7.(2014·山东济宁梁山一中高一月考)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2, -4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )

A. 5

B. 10

C.2 5

D.10

[答案] B

[解析] ∵a⊥c,∴a·c=2x-4=0,∴x=2.

又∵b∥c,∴-4=2y,∴y=-2.

∴a=(2,1),b=(1,-2),

∴|a+b|= 32+?-1?2= 10. 8.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=( )

A. 3 C.4 [答案] B

B.2 3 D.12

[解析] ∵a=(2,0),∴|a|=2,|a+2b|= ?a+2b?2= a2+4a·b+4b2, ∵a·b=|a|·|b|cos60°=1,

∴|a+2b|= 4+4+4=2 3. 9.cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值为( )

A.

6 2

B.32

C.54

D.1+

3 4

[答案] C [解析] 原式=sin215°+cos215°+sin15°cos15°

=1+12sin30°=54.

10.设△ABC 的三个内角为 A、B、C,向量 m=( 3sinA,sinB),n=(cosB, 3cosA), 若 m·n=1+cos(A+B),则 C=( )

A.π6

B.π3

C.23π

D.56π

[答案] C

[解析] ∵m·n= 3sinAcosB+ 3cosAsinB

= 3sin(A+B)=1+cos(A+B),

∴ 3sin(A+B)-cos(A+B)=1,

∴ 3sinC+cosC=1,即 2sin??C+π6??=1,

∴sin??C+6π??=12,∴C+π6=56π,∴C=23π.

11.在△ABC 中,已知 sin2A+sin2B+sin2C=2,则△ABC 为( )

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

[答案] C

[解析] 由已知,得1-c2os2A+1-c2os2B+sin2C=2,

∴1-12(cos2A+cos2B)+sin2C=2,

∴cos2A+cos2B+2cos2C=0,

∴cos(A+B)·cos(A-B)+cos2C=0,

∴cosC[-cos(A-B)-cos(A+B)]=0,

∴cosA·cosB·cosC=0,

∴cosA=0 或 cosB=0 或 cosC=0.

∴△ABC 为直角三角形.

12.若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)=( )

A.3-cos2x

B.3-sin2x

C.3+cos2x

D.3+sin2x

[答案] C

[解析] f(sinx)=3-cos2x

=3-(1-2sin2x)=2+2sin2x,

∴f(x)=2+2x2

∴f(cosx)=2+2cos2x

=2+1+cos2x=3+cos2x.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每空 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上)

13.1-2tatann125105°0°的值为________.

[答案] - 3

[解析]

原式= 2×??- 1-??-

3? 3 ? =-2 3?2 3?

3

3·32=-

3.

14.已知向量 a、b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________.

[答案] 3 2

[解析] ∵|a|=1,〈a,b〉=45°,|2a-b|= 10,

∴4|a|2-4a·b+|b|2=10,∴4-4×1×|b|cos45°+|b|2=10,∴|b|2-2 2|b|-6=0,∴|b|

=3 2. 15.若11+ -ttaannαα=2 014,则co1s2α+tan2α=________.

[答案] 2 014 [解析] co1s2α+tan2α=co1s2α+csoins22αα=1+cossi2nα2α=?ccooss2αα+-ssiinnα2α?2=ccoossαα+ -ssiinnαα=11+ -ttaannαα

=2 014.
16.在△ABC 中,cos??π4+A??=153,则 cos2A 的值为________.

[答案]

120 169

[解析] 在△ABC 中,cos??π4+A??=153>0,

∴sin??π4+A??= 1-cos2??π4+A??=1132.

∴cos2A=sin??π2+2A??=sin2??π4+A??

=2sin??4π+A??cos??π4+A??

=2×1123×153=112609.

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 12 分)求值(tan5°-cot5°)·1+cossi7n07°0°.

[解析] 解法一:原式=??tan5°-tan15°??·1+cossi7n07°0°

=tanta25n°5-°1·1+sinco2s02°0° =-2·1-2tatann52°5°·1+sinco2s02°0° =-2cot10°·tan10°=-2.
解法二:原式=??csoins55°°-csoins55°°??·1+sinco2s02°0°
=sinsi2n55°°-·ccooss52°5°·1+sinco2s02°0° =-1cos10°·2sin21c0o°s·2c1o0s°10°=-2.
2sin10°
解法三:原式=????1-sinco1s01°0°-1+sinc1o1s01°0°????·1+sinco2s02°0° =??1-sinco1s01°0°-1+sinco1s01°0°??·1+sinco2s02°0°
=-s2inco1s01°0°·2sin21c0o°s·2c1o0s°10°=-2. 18.(本小题满分 12 分)(2014·山东烟台高一期末测试)已知向量 a、b 满足|a|=2,|b|=1, 且 a 与 b 的夹角为23π,求: (1)a 在 b 方向上的投影; (2)(a-2b)·b. [解析] (1)a 在 b 方向上的投影为|a|cos〈a,b〉=2×cos23π=2×(-12)=-1. (2)(a-2b)·b=a·b-2b2 =2×1×cos23π-2×1 =-1-2=-3. 19.(本小题满分 12 分)(2014·山东济宁梁山一中高一月考)已知 α 为锐角,且 tan(π4+α) =2. (1)求 tanα 的值; (2)求 2sin?2α+coπ4s2?cαosα-sinα的值. [解析] (1)tan(π4+α)=11+ -ttaannαα=2, ∴tanα=13.

(2)∵α 为锐角,tanα=13,

∴sinα=

1100,cosα=3

10 10 .

∴sin2α=2sinαcosα=2× 1100×3 1010=35,

cos2α=1-2sin2α=1-2×110=45.



2sin?2α+π4?cosα-sinα cos2α

=?sin2α+cocso2sα2?αcosα-sinα

=?35+45?×341010-

10 10

5

=2

10 5.

20.(本小题满分

12

分)已知

cos??α-β2??=-19,sin??α2-β??=23,且2π<α<π,0<β<π2,求

α+β tan 2

的值.

[解析] ∵π2<α<π,0<β<π2,∴π4<α-β2<π.

∵cos??α-β2??=-19,∴sin??α-β2??=4

9

5 .

又∵π4<α2<π2,

∴-π4<α2-β<π2.

∵sin??α2-β??=23,∴cos??α2-β??=

5 3.

故 sinα+2 β=sin????α-β2??-??α2-β????

=sin??α-β2??cos??α2-β??-cos??α-β2??sin??α2-β??

=4 9 5× 35-??-19??×23=2227, cosα+2 β=cos????α-β2??-??α2-β???? =cos??α-β2??cos??α2-β??+sin??α-β2??sin??α2-β??

=??-19??× 35+49 5×23=7275,

α+β

∴tanα+2 β=

sin

2 α+β

cos 2

22 =7275=2235 5.
27

21.(本小题满分 12 分)设平面内两向量 a⊥b,且|a|=2,|b|=1,k、t 是两个不同时为

零的实数.

(1)若 x=a+(t-3)b 与 y=-ka+tb 垂直,求 k 关于 t 的函数关系式 k=f(t);

(2)求函数 k=f(x)的最小值. [解析] (1)∵x⊥y,∴x·y=0,

即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0, ∴-ka2+t(t-3)b2-k(t-3)a·b+ta·b=0.

由|a|=2,|b|=1,a·b=0,

可得-4k+t(t-3)=0.

∵k、t 不同时为 0,则 t≠0,∴k=t?t-4 3?,

即 f(t)=t?t-4 3?(t≠0).
(2)f(t)=t2-4 3t=14????t-32??2-94??.

故当 t=32时,f(t)min=-196.

22.(本小题满分 14 分)已知向量 a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2).

(1)若 a∥b,求 tanθ 的值;

(2)若|a|=|b|,0<θ<π,求 θ 的值.

[解析] (1)∵a∥b,∴2sinθ=cosθ-2sinθ,

∴4sinθ=cosθ,∴tanθ=14.

(2)由|a|=|b|,得 sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5, ∴1-2sin2θ+4sin2θ=5.

∴-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,

即 sin2θ+cos2θ=-1,

∴sin??2θ+π4??=-

2 2.

又∵0<θ<π,∴π4<2θ+4π<94π,∴2θ+π4=54π或74π. ∴θ=π2或 θ=34π.