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广西贺州高级中学2015届高三第一次月考数学(理)试题

贺州高中 2015 届高三第一次月考试题



学(理)
命题者:赵文龙 审题者:欧远平

注意事项: 1.试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,分值 150 分,考试时间 120 分钟; 2.第Ⅰ卷为单项选择题,请将答题卷上选择题答案用 2B 铅笔涂黑,务必填涂规范; 3.第Ⅱ卷为填空题和解答题,请用 0.5mm 的黑色签字笔在答题卷上作答.

第Ⅰ 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.给出的四个答案中,只 有一个是符合题意.) 1 ? 2i 1.复数 的值是 ( ) 3 ? i3 1 1 5 5 1 3 1 7 (A) ? i (B) (C) ? i (D) ? i ? i 2 2 8 8 8 4 10 10
2.已知全集 U ? R ,集合 M ? x ?2 ? x ? 1 ? 2 和 N ? x x ? 2k ? 1, k ? 1, 2, 恩(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( (A)3 个 (B)2 个 (C)1 个 (D)无穷多个 )
(图 1)

?

?

?

? 的关系的韦

)

3.在下列四组函数中,表示同一函数的一组是( (A) y ? 1, y ?

x x

(B) y ?

x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1

(C) y ? x, y ? 5 x 5 4.函数 y ?

(D) y ?| x |, y ? ( x ) 2 )

x x
y

? x 的图象是(
y
O
x

y
1
x

y
1 O
x

O 1 -1O O -1

O

1

O -1 (C)

O

O (A) (B) 5.下列命题中,真命题是 ( ) (A) ?x ? R ,使得 sin x ? cos x ? 2

O

O

-1

x

O

(D)

(B) ?x ? (0, ? ) ,有 sin x ? cos x

(C) ?x ? R ,使得 x ? x ? ?2
2

(D) ?x ? (0, ??) ,有 e ? 1 ? x
x

6 .设集合 M ? {a, b, c} , N ? {0,1} ,映射 f : M ? N 满足 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则映射

理科数学

第 1 页(共 4 页)

f : M ? N 的个数为(
(A)1
2

) (B)2 (C)3 (D)4 )

7.设命题 p : ax ? 2ax ? 1 ? 0 的解集是实数集 R ;命题 q : 0 ? a ? 1 ,则 p 是 q 的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 8.已知 f ( x) ? ? 值是 ( ) (B) ?1,3?
x

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?a x ,

x? 0

?(a ? 3) x ? 4a , x ? 0

,对任意 x1 ? x2 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,则 a 的取 x1 ? x2

(A) (0,3)

(C) ? 0, ? 4

? ?

1? ?

(D) (??,3)

?1? 2 9. 已知函数 f ( x) ? ? ? , 函数 g ( x) 的图象与 f ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称, 则函数 g ( x ) 2 ? ?
是( ) (B)偶函数在 (0,??) 上单调递增 (D)偶函数在 (??,0) 上单调递增 (A)奇函数在 (0,??) 上单调递减 (C)奇函数在 (??,0) 上单调递减 10.若 ? ? (0,

?
2

) ,则函数 y ? logsin ? (1 ? x) ? 2 的解集是( )
2

(A) x ? (?1, sin

?)
1 2

(B) x ? (cos

2

? ,1)
2

2 (C) x ? (cos ? , )

(D) x ? (?1, cos

?)

11.函数 f ( x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R ,其导函数满足 f ?( x) ? 2 ,则不等式

f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为(
(A) ( ? 1 ,1)

) (B) ( ?1 ,+ ? ) (C ) ( ? ? , ? 1) (D) ( ? ? ,+ ? )

2 12. 已知函数 y ? f ( x) 对任意实数 x 都有 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 且当 x ? ?0, 2? 时, f ( x) ? ( x ? 1)

如果 g ( x) ? f ( x) ? log5 | x ?1| ,则函数 y ? g ( x) 的所有零点之和为(



(A)2

(B)4

(C)6

(D)8

理科数学

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

第 2 页(共 4 页)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分)
13.计算:

?

1

0

1 ? ( x ? 1)2 dx ?

. . .

14.函数 y ? log 0.5 ( x2 ? 2 x) 的单调递减区间是 15.若 f (? ) ?

2 1 ? 2 sin ? cos 2 ?

(? ?

k? , k ? Z ) ,则 f (? ) 的最小值为 2

2 16.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1.若 f (m) ? 0 ,比较大小 f (m ? 2) ____1(填“ ? ” 、

“ ? ”或“ ? ” ) .

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤)
17. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? 2mx ? m ? 4 ? 0, x ? R, m ? R .
2 2 2

?

?

?

?

(1)若 A

B ? ?0,3? ,求实数 m 的值;

(2)若 A ? ?R B ,求实数 m 的取值范围

18. (本小题满分 12 分) 设 a ? R ,且 a ? 2 ,函数 f ( x) ? lg (1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)讨论函数 f ( x ) 的单调性.

1 ? ax 是奇函数. 1? 2x

19. (本小题满分 12 分) 理科数学 第 3 页(共 4 页) 某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨,同时蓄水池又向居民 小区不间断供水, t 小时内供水总量为 120 6t 吨, ( 0 ? t ? 24 ) . (1)从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的 24 小时内,有几 小时出现供水紧张现象.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0) . 2

(1)若 a ? 2 ,求 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 f ( x ) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,求 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ?

2x ? a ( x ? R ) 在区间[-1,1]上是增函数. x2 ? 2 1 的两根为 x1 、 x2 ,试问:是否存在实数 m ,使得不等式 x

(1)求实数 a 的值所组成的集合 A ; ( 2 )设关于 x 的方程 f ( x) ?

m 2 ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 | 对 ?a ? A 及 ?t ?? ?1,1? 恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存
在,请说明理由.

22. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | .

(1)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x ?1 ? x ? 5 ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

?

?

参考答案及评分标准 理科数学 第 4 页(共 4 页)
一、选择题:

1 ? 5 BBCCD

2D 6? 1 0 C B C B B 1 1? 1 B
14. ? 2, ?? ? 15. 3 ? 2 2 16. ?

二、填空题:13.

? 4

2 三、解答题 17.解: (1)由 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 3

∴ A ? x ?1 ? x ? 3 ??????????????????????????????2 分 由 x2 ? 2mx ? m2 ? 4 ? 0 ? ? x ? (m ? 2)?? x ? (m ? 2)? ? 0 ,解之得 m ? 2 ? x ? m ? 2 ∴ B ? x m ? 2 ? x ? m ? 2 ???????????????????????????4 分

?

?

?

?

∵A

?m ? 2 ? 0 ,得 m ? 2 ???????????????????6 分 B ? ?0,3? ,则有 ? ?m ? 2 ? 3
B ??
????????????????????????9 分

(2)∵ A ? ?R B ,∴ A

则有 m ? 2 ? 3 或 m ? 2 ? ?1 ,??????????????????????????11 分 解之得 m ? 5 或 m ? ?3 ????????????????????????????12 分

1 ? ax 是奇函数,则有 f (? x) ? ? f ( x) ????????2 分 1? 2x 1 ? ax 1 ? ax 1 ? ax 1? 2x ? ? lg ? lg 即 lg ,得 lg ,所以 a ? ?2 ???????????4 分 1? 2x 1? 2x 1? 2x 1 ? ax 1? 2x 1? 2x 1 1 ?0?? ? x? 所以 f ( x ) ? lg ,由 1? 2x 1? 2x 2 2
18.解: (1)∵函数 f ( x) ? lg 即函数 f ( x) 的定义域为 ? ?

? 1 1? , ? ????????????????????????6 分 ? 2 2?

(2)令 u ( x) ?

1? 2x ?2(1 ? 2 x) ? (1 ? 2 x)2 ?4 ? ,则 u?( x) ? ????????8 分 2 1? 2x (1 ? 2 x) (1 ? 2 x) 2

则 u?( x) ? 0 在 ? ?

? 1 1? ? 1 1? , ? 上恒成立,所以 u ( x) 在 x ? ? ? , ? 为单调减函数, ? 2 2? ? 2 2?

又 y ? lg u 在 u ? ? 0, ??? 上为增函数???????????????????????10 分 所以 f ( x) ? lg u ( x) 在 x ? ? ?

? 1 1? , ? 为单调减函数.????????????????12 分 ? 2 2?

t ) ,依题意有 19.解: (1)设 t 小时后,蓄水池中的存水量为 理科数学参考答案 第f1(页(共 3 页)

f (t ) ? 400 ? 60t ?120 6t ( 0 ? t ? 24 )?????????????????????2 分
? 60( t ? 6)2 ? 40
显然 f (t ) 最小值为 f (6) ? 40 ??????????????????????????5 分 即从供水开始到第 6 小时,蓄水池中的存水量最少,最少水量是 40 吨.????????6 分 (2)由 f (t ) ? 80 ,即 400 ? 60t ?120 6t ? 80 化简得:??????????????7 分

3t ? 6 6t ?16 ? 0 ? ( 3t ? 2 2)( 3t ? 4 2) ? 0
得 2 2 ? 3t ? 4 2 ? 由

8 32 ?t ? ???????????????????????10 分 3 3

32 8 ? ? 8 ,得在一天的 24 小时内,有 8 个小时出现供水紧张现象.????????12 分 3 3 a 20.解: (1)由已知得 f ?( x ) ? x ? x 1 若 a ? 2 时,有 f ?(1) ? 1 ? 2 ? ?1 , f (1) ? ???????????????????3 分 2 1 ∴在 (1, f (1)) 处的切线方程为: y ? ? ?( x ? 1) ,化简得 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 ???????5 分 2
(2)由(1)知 f ?( x) ?

( x ? a )( x ? a ) , x

因为 a ? 0 且 x ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

a ???????????????????7 分

所以当 x ? 0, a 时,有 f ?( x) ? 0 ,则 0, a 是函数 f ( x) 的单调递减区间; 、

? 当 x ??

?

?

?

a , ?? 时,有 f ?( x) ? 0 ,则

?

?

a , ?? 是函数 f ( x) 的单调递增区间.???9 分

?

?1 ?2 ? 0 ? f (1) ? 0 ? ? e2 ?a 若 f ( x ) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,只需 ? f ( a ) ? 0 ,即 ? ? a ln a ? 0 ? e ? a ? 2 ?2 ? f ( e) ? 0 2 ? ?e ? ?a ?0 ?2
所以当 e ? a ?

e2 时, f ( x ) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点.?????????????12 分 2
理科数学参考答案 第 2 页(共 3 页)

?2 x 2 ? 2ax ? 4 21.解: (1)由已知得 f ?( x) ? ??????????????????2 分 ( x 2 ? 2)2
∵ f ( x) 在区间[-1,1]上是增函数
2

∴ f ?( x) ? 0 在 ??1,1? 上恒成立

2 即 ?2 x ? 2ax ? 4 ? 0 ,令 t ( x) ? ?2 x ? 2ax ? 4 ??????????????????4 分

则只需 ?

?t (?1) ? 0 ??2a ? 2 ? 0 ?? ? ?1 ? a ? 1 ?t (1) ? 0 ?2a ? 2 ? 0

即 A ? a ?1 ? a ? 1 ??????????????????????????????6 分 (2)由方程 f ( x ) ?

?

?

1 2 ,可化为 x ? ax ? 2 ? 0 ,其两根为 x1 、 x 2 x

有 x1 ? x2 ? a , x1 ? x2 ? ?2 ∴ | x1 ? x2 |?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? a 2 ? 8 ? 3

????????????????8 分
2

2 若对 ?a ? A , m ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 | 都成立,则有 m ? tm ? 1 ? 3 ?????????9 分

令 g (t ) ? m ? tm ? 1,则 g (t ) ? 3 对 ?t ? ? ?1,1? 都成立,有 ?
2

? g (?1) ? 3 ? g (1) ? 3

??????11 分

解之得 m ? 2 或 m ? ?2 ?????????????????????????????12 分 22.解: (1)由 f ( x) ? 3 ,即 | x ? a |? 3 ? a ? 3 ? x ? a ? 3 ????????????2 分

所以有 ?

?a ? 3 ? ?1 ? a ? 2 ???????????????????????????5 分 ?a ? 3 ? 5

(2)由(1)知 f ( x) ?| x ? 2 | 则 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m ,即 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? m ?????????????????6 分 由 | x ? 2 | ? | x ? 3|?| ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 ?????????????????????8 分 所以 m ? 5 ??????????????????????????????????10 分

理科数学参考答案

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