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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第2章 第11节 变化率与导数、导数的计算


第二章 函数、导数及其应用

第十一节

变化率与导数、导数的

计算

第二章 函数、导数及其应用

[主干知识梳理]

一、导数的概念
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义: 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数、导数及其应用

(2)几何意义: 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 (x0,f(x0)) 处的 切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间t的导 数).相应地,切线方程为

y-f(x0)=f′(. x0)(x-x0)

第二章 函数、导数及其应用

2.函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)= f(x+Δ x)-f(x) 为 f(x)的导函数. Δx

第二章 函数、导数及其应用

二、基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f′(x)= 导函数 0

f′(x)= nxn-1 f′(x)= f′(x)= cos x -sin x axln a

f(x)=ax

f′(x)=

第二章 函数、导数及其应用

f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x

f′(x)= ex 1 f′(x)= xln a 1 f′(x)= x

第二章 函数、导数及其应用

三、导数的运算法则 1.[f(x)± g(x)]′= f′(x)± g′(x) ; 2.[f(x)· g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;
? f (x) ? ? 3.? ?g(x)?′= ? ?

f′(x)g(x)-f(x)g′(x) (g(x)≠0). 2 [g(x)]

第二章 函数、导数及其应用

4.复合函数的导数 复合函数 y = f(g(x)) 的导数和函数 y = f(u) , u = g(x) 的导数 yu′·ux′ 间的关系为yx′= ,即y对x的导数等于 y对u 的 导数 与 u对x 的导数的乘积.

第二章 函数、导数及其应用

[基础自测自评] 1.(教材习题改编)若 f(x)=xex,则 f′(1)= A.0 C.2e B.e D.e2 ( )

C [∵f′(x)=ex+xex,∴f′(1)=2e.]

第二章 函数、导数及其应用

2.曲线 y=xln x 在点(e,e)处的切线与直线 x+ay=1 垂直,则实 数 a 的值为 A.2 1 C.2 B.-2 1 D.-2 ( )

第二章 函数、导数及其应用

1 2 3.(教材习题改编)某质点的位移函数是 s(t)=2t - gt (g= 2
3

10 m/s2),则当 t=2 s 时,它的加速度是 A.14 m/s2 C.10 m/s2 B.4 m/s2 D.-4 m/s2

(

)

A [由 v(t)=s′(t)=6t2-gt,a(t)=v′(t)=12t-g, 得 t=2 时,a(2)=v′(2)=12×2-10=14(m/s2).]

第二章 函数、导数及其应用

4.函数y=xcos x-sin x的导数为________.

解析 y′=(xcos x)′-(sin x)′=x′cos x+x(cos x)′
-cos x =cos x-xsin x-cos x =-xsin x. 答案 -xsin x

第二章 函数、导数及其应用

5.(2014·湖北黄冈一模)已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3) (x-4)(x-5),则f′(0)=__________.

解析 f′(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1)
(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]′, ∴f′(0)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120. 答案 -120

第二章 函数、导数及其应用

[关键要点点拨]
1.函数求导的原则 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则, 求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意 求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须

注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.

第二章 函数、导数及其应用

2.曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0) 的切线”的区别与联系

(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,切线
斜率为k=f′(x0)的切线,是唯一的一条切线. (2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P 点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线 可能有多条.

第二章 函数、导数及其应用

利用导数的定义求函数的导数
[典题导入] 用定义法求下列函数的导数. 4 (1)y=x ; (2)y=x2.
2

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] 1.一质点运动的方程为 s=8-3t2. (1)求质点在[1,1+Δ t]这段时间内的平均速度; (2)求质点在 t=1 时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求 解) . 解析 (1)∵s=8-3t2,

∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2, Δs v= =-6-3Δt. Δt

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数、导数及其应用

导数的运算
[典题导入] 求下列函数的导数.
x e +1 2 (1)y=x sin x;(2)y= x ;(3)y=ln(2x-5). e -1

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录]

(1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′

=2xsin x+x2cos x. (ex+1)′(ex-1)-(ex+1)(ex-1)′ (2)y′= (ex-1)2 ex(ex-1)-(ex+1)ex -2ex = = x . (ex-1)2 (e -1)2 (3)令 u=2x-5,y=ln u, 1 2 则 y′=(ln u)′u′= ·2= , 2x-5 2x-5 2 即 y′= . 2x-5

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法] 求导时应注意: (1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少 运算量.

(2)对于商式的函数若在求导之前变形,则可以避免使用商的
导数法则,减少失误. (3)复合函数求导的关键是分清函数的复合形式,其导数为两 层导数的积,必要时可换元处理.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] 2.求下列函数的导数. (1)y=e ·ln
x

? 2 1 1? x;(2)y=x?x +x +x3?; ? ?

(3)y= 3-x.

第二章 函数、导数及其应用

解析 (1)y′=(ex·ln x)′ 1? 1 x? =e ln x+e ·x=e ?ln x+x ?. ? ?
x x

1 2 2 (2)∵y=x +1+x2,∴y′=3x -x3.
3

第二章 函数、导数及其应用

(3)设 u=3-x,则 y= 3-x由 y=u 与 u=3-x 复合而成. 故 y′=f′(u)· u′(x)=(u )′(3-x)′ 1 =2u 1 (-1)=-2u
1 2

1 2

3-x 1 =- = . 2 3-x 2x-6

第二章 函数、导数及其应用

导数的几何意义
[典题导入] (2014·济南模拟)已知函数f(x)=mx3+2nx2-12x的减 区间是(-2,2).

(1)试求m、n的值;
(2)过点A(1,t)是否存在与曲线y=f(x)相切的3条切线,若存 在,求实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录] (-2,2),

(1)由题意知:f′(x)=3mx2+4nx-12<0 的解集为

所以-2 和 2 为方程 3mx2+4nx-12=0 的两个根, -12 4n 由根与系数的关系知 0=- ,-4= , 3m 3m 即 m=1,n=0.

第二章 函数、导数及其应用

(2)存在满足条件的三条切线. 设点 P(x0,f(x0))是曲线 f(x)=x3-12x 的切点, 则在 P 点处的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),
3 即 y=3(x2 0-4)x-2x0.

因为其过点 A(1,t),
3 3 2 所以 t=3(x2 - 4) - 2 x =- 2 x + 3 x 0 0 0 0-12,

因为有三条切线,所以方程应有 3 个实根, 设 g(x)=2x3-3x2+t+12,故只要使此曲线有 3 个零点即可.

第二章 函数、导数及其应用

令 g′(x)=6x2-6x=0,∴x=0 或 x=1 分别为 g(x)的极值点,当 x∈(-∞,0)和(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(-∞,0)和(1,+∞) 上单调递增, 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减, 所以,x=0 为极大值点,x=1 为极小值点. 所以要使曲线与 x 轴有 3
? ?g(0)>0, 个交点,当且仅当? ? ?g(1)<0,

? ?t+12>0, 即? 解得-12<t<-11. ? ?t+11<0,

第二章 函数、导数及其应用

[互动探究] 在 本例条件下,求过点 A(1 ,- 11) 且与曲线 y = f(x) 相切的切 线方程.

解析 由例3知m=1,n=0.
∴f(x)=x3-12x. ∴f′(x)=3x2-12,∵f(1)=13-12×1=-11, ∴当A为切点时,k=f′(1)=-9. ∴切线方程为9x+y+2=0. 当A不为切点时,设切点P(x0,f(x0)), ∴k=f′(x0)=3x-12.

第二章 函数、导数及其应用

∴切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),
3 即 y=3(x2 - 4) x - 2 x 0 0. 2 ∵切线过点 A(1,-11),代入得 2x3 - 3 x 0 0+1=0,

∴(x0-1)2(2x0+1)=0, 1 ∴x0=1 或 x0=-2, 1 47 1 45 即 P(-2, 8 ).k=f(-2)=- 4 . ∴切线方程为 45x+4y-1=0. 所以过 A(1,-11)的切线为 9x+y+2=0 或 45x+4y-1=0.

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法] 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几 个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0); (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k; (3)已知切线过某点 M(x1,f(x1))(不是切点)求切点,设出切点 A(x0, f(x1)-f(x0) f(x0)),利用 k= =f′(x0)求解. x1-x0

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练]
3.(1)(2012·新课标全国卷)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处 的切线方程为________. 解析 y′=3ln x+1+3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜

率为4,所以切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.

答案 y=4x-3

第二章 函数、导数及其应用

1 1 (2)(2014· 乌鲁木齐诊断性测验)直线 y=2x+b 与曲线 y=-2x+ln x 相切,则 b 的值为 A.-2 1 C.-2 B.-1 D.1 ( )

第二章 函数、导数及其应用

B

? 1 设切点的坐标为?a,-2a+ln ?

? a?,依题意,对于曲线 ?

1 y=-2x

1 1 +ln x,有 y′=-2+x , 1 1 1 所以-2+a=2,得 a=1.
? 1? 又切点?1,-2? ? ?

1 在直线 y=2x+b 上,

1 1 故-2=2+b,得 b=-1.

第二章 函数、导数及其应用

【创新探究】 忽视判断点是否为切点而致误 (2014· 上海徐汇摸底 ) 已知函数 f(x) = x3 - 3x ,过 点 P( - 2 , - 2) 作 曲 线 y = f(x) 的 切 线 , 则 切 线 的 方 程 为

__________.
【错解】 由f(x)=x3-3x知f′(x)=3x2-3, ∴k=f′(-2)=3×4-3=9. ∴切线方程为y+2=9(x+2), ∴y=9x+16.

第二章 函数、导数及其应用

【错因】

上述解法中易认为P(-2,2)是曲线切线的切点,

从而导致解答中缺少一种解的可能性.
【解析】 ①当P(-2,-2)为切点时, 切线方程为y=9x+16; ②当P(-2,-2)不是切点时, 设切点为(a,b),则b=a3-3a,由于y′=3x2-3,

所以切线的斜率k=3a2-3,

第二章 函数、导数及其应用

故切线方程为 y-b=(3a2-3)(x-a), 又切线过点(-2,-2), 所以-2-b=(3a2-3)· (-2-a),
? ?a=1, ? ?a=-2, 解得? 或? (舍去),所以切线方程为 ? ? ?b=-2 ?b=-2,

y=-2.

综上,所求的切线方程为 y=9x+16 或 y=-2. 【答案】 y=9x+16 或 y=-2

第二章 函数、导数及其应用

【高手支招】 求曲线的切线方程时要注意过某点的切线问 题中此点不一定是切点,此点也可能不在曲线上,所以要先 判断再去解决,切忌盲目地认为给出点就是切点.

第二章 函数、导数及其应用

[体验高考] 1 (2012· 安徽高考)设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax+ax+ b(a>0). (1)求 f(x)的最小值; 3 (2)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=2x, 求 a,b 的值.

第二章 函数、导数及其应用

解析

1 (1)解法一:由题设和均值不等式可知,f(x)=ax+ax+b≥2

+b,其中等号成立时当且仅当 ax=1, 1 即当 x=a时,f(x)取最小值为 2+b.
2 2 1 a x -1 解法二:f(x)的导数 f′(x)=a-ax2= ax2 ,

?1 ? 1 当 x>a时,f′(x)>0,f(x)在?a,+∞?上递增; ? ?

第二章 函数、导数及其应用
? 1? 1 当 0<x<a时,f′(x)<0,f(x)在?0,a?上递减. ? ?

1 所以当 x=a时,f(x)取最小值为 2+b. 1 1 3 (2)f′(x)=a- 2,由题设知,f′(1)=a-a= , ax 2 1 解得 a=2 或 a=- (不合题意,舍去). 2 1 3 将 a=2 代入 f(1)=a+a+b= ,解得 b=-1. 2 所以 a=2,b=-1.

第二章 函数、导数及其应用

课时作业


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