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2.湖北省武汉市2012届高三四月调考理科数学试题及答案[1]


武汉市 2012 届高三四月调研测试 数 学(理)

2012.4.19 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. → 1.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 为 CD 的中点,点 F 为 BC 上靠近点 B 的一个三等分点,则EF= 1→ 1 → (A) AB- AD 2 3 1→ 1 → (C) AB- AD 3 2 2→ 1 → (B) AB+ AD 3 2 1→ 2 → (D) AB- AD 2 3

a+i 2. “复数 (a∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限”是“a<-1”的 2+i (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

3.天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为 40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天 中恰有两天下雨的概率:先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,用 1,2,3,4 表示下雨, 用 5,6,7,8,9,0 表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表这三天的下雨情况.经随机模拟 试验产生了如下 20 组随机数: 907 431 966 257 191 393 925 027 271 556 932 488 812 730 458 113 569 537 683 989

据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为 (A)0.35 (B)0.25 (C)0.20 (D)0.15

4.一个体积为 12 3的正三棱柱的三视图如图所示, 则该三棱柱的侧视图 的面积为 (B)8 (C)8 3 (D)12 1 n 5.已知(3 x2- ) 的展开式中各项系数之和为 256,则展开式中第 7 项 x
3

(A)6 3

的系数是 (A)-24 (B)24 (C)-252 (D)252 6.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 9,则判断框内 m 的取值 范围是 (A)(42,56] (B)(56,72] (C)(72,90] (D)(42,90)

7.如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域,E 是 D 内位于函数 1 y= (x>0)图象下方的区域(阴影部分) ,从 D 内随机取一个点 M,则点 M 取自 E x 内的概率为

1

ln2 (A) 2

1-ln2 (B) 2

1+ln2 (C) 2

(D)

2-ln2 2

8.已知直线 l:Ax+By+C=0(A,B 不全为 0) ,两点 P1(x1,y1) 2(x2,y2) ,P ,若(Ax1+By1+C)( Ax2 +By2+C)>0,且|Ax1+By1+C|<|Ax2+By2+C|,则直线 l (A)与直线 P1P2 不相交 (B)与线段 P2P1 的延长线相交 (C)与线段 P1P2 的延长线相交 (D)与线段 P1P2 相交 9.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A、B 在此抛物线上,且∠AFB=90° ,弦 AB 的中点 M 在其准 |MM′| 线上的射影为 M′,则 的最大值为 |AB| (A) 2 2 (B) 3 2 (C)1 (D) 3

?ax+1,x≤0, ? 10.已知函数 f(x)=? 则下列关于函数 y=f(f(x))+1 的零点个数的判断正确的是 ? ?log2x, x>0。 (A)当 a>0 时,有 4 个零点;当 a<0 时,有 1 个零点 (B)当 a>0 时,有 3 个零点;当 a<0 时,有 2 个零点 (C)无论 a 为何值,均有 2 个零点 (D)无论 a 为何值,均有 4 个零点

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应 ..... 题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. .. (一)必考题(11—14 题) 11.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元) . x y 2 30 4 40 5 6 8 . . 60 t 70 ^ 根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为y=6.5x+17.5,则表中 t 的值为

π 3π 12.已知 α∈[ , ],点 A 在角 α 的终边上,且|OA|=4cosα,则点 A 的纵坐标 y 的取值范围是 12 8

13.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45° ,则棱锥 S-ABC 的体 积为 . 14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知三点 A(a,b) ,B(b,c) ,C(c,a) ,且直线 AB 的倾斜角与 AC 的 倾斜角互补,则直线 AB 的斜率为 . (结果中不含字母 a,b,c) (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后 的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 15. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,P 为圆 O 外一点,由 P 引圆 O 的切线 PA 与圆 O 切于 A 点,引圆 O 的割 线 PB 与圆 O 交于 C 点.已知 AB⊥AC,PA=2,PC=1,则圆 O 的面积为 . 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) π 1 π 在极坐标系下,已知直线 l 的方程为 ρcos(θ- )= ,则点 M(1, )到直线 l 的距离为 3 2 2 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 B=60° . 11 (Ⅰ)若 cos(B+C)=- ,求 cosC 的值; 14 → → (Ⅱ)若 a=5,AC·CB=5,求△ABC 的面积.

2

18. (本小题满分 12 分) 在等差数列{an}中,满足 3a5=5a8,Sn 是数列{an}的前 n 项和. (Ⅰ)若 a1>0,当 Sn 取得最大值时,求 n 的值; (Ⅱ)若 a1=-46,记 bn= Sn-an ,求 bn 的最小值. n

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为平行四边 形,∠ADB=90° ,AB=2AD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 为增强市民节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的 500 名志愿者中随机 抽取 100 名志愿者,他们的年龄情况如下表所示. (Ⅰ)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图) ,再根 据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数; (Ⅱ)在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣传活动,从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人,记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X,求 X 的分布 列及数学期望. 分组(单位:岁) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45] 合计 21. (本小题满分 13 分) x2 y2 如图, 已知椭圆 Γ: 2+ 2=1 (a>b>0) 的左、 右焦点分别是 F1(-c,0) 、 a b → F2(c,0) 是椭圆外的一个动点,满足|F1Q|=2a.点 P 是线段 F1Q 与该椭 ,Q → → → 圆的交点,点 M 在线段 F2Q 上,且满足PM·MF2=0,|MF2|≠0. (Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与轨迹 C 交于 A,B 两点,若直线 OA,AB,OB 的斜率依次成等比数列, 求△OAB 面积的取值范围; (Ⅲ)由(Ⅱ)求解的结果,试对椭圆 Γ 写出类似的命题. (只需写出类似的命题,不必说明理由) 频数 5 ① 35 30 10 100 频率 0.05 0.20 ② 0.30 0.10 1.00

3

22. (本小题满分 14 分) 1 已知函数 f(x)=ln(1+x)-ax 在 x=- 处的切线的斜率为 1. 2 (Ⅰ)求 a 的值及 f(x)的最大值; 1 1 1 (Ⅱ)证明:1+ + +?+ >ln(n+1)(n∈N*) ; 2 3 n (Ⅲ)设 g(x)=b(ex-x),若 f(x)≤g(x)恒成立,求实数 b 的取值范围.

武汉市 2012 届高三四月调研测试 数学(理)试题参考答案及评分标准
一、选择题:每小题 5 分,满分 50 分. 1.D 2.B 3.B 4.A 二、填空题:每小题 5 分,满分 25 分. 11.50 12.[1,2] 4 3 13. 3 5.D 6.B -1± 5 14. 2 7.C 9π 4 8.B 9.A 3-1 2 10.A

15.

16.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 17. (本小题满分 12 分) 11 解: (Ⅰ)在△ABC 中,由 cos(B+C)=- ,得 sin(B+C)= 1-cos2(B+C)= 14 11 5 3 1-(- )2= , 14 14

11 1 5 3 3 1 ∴cosC=cos[(B+C)-B]=cos(B+C) cosB+sin(B+C) sinB=- × + × = ?(6 分) 14 2 14 2 7 → → → → (Ⅱ)由AC·CB=5,得|AC|·|CB|cos(180° -C)=5,即 abcosC=-5, 又 a=5,∴bcosC=-1, ①

a b a b 由正弦定理 = ,得 = , sinA sinB sin60° sin(120° -C) ∴ 5 3 1 cosC+ sinC 2 2 = b ,即 3bcosC+bsinC=5 3, 3 2 ②

1 1 将①代入②,得 bsinC=6 3,故△ABC 的面积为 S= absinC= ×5×6 3=15 3.?(12 分) 2 2 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,则 2 由 3a5=5a8,得 3(a1+4d)=5(a1+7d),∴d=- a1. 23

n(n-1) 2 1 24 1 144 ∴Sn=na1+ ×(- a1)=- a1n2+ a1n=- a1(n-12)2+ a1. 2 23 23 23 23 23 ∵a1>0,∴当 n=12 时,Sn 取得最大值.?????????????(6 分) 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)及 a1=-46,得 d=- ×(-46)=4,∴an=-46+(n-1)×4=4n-50, 23

4

n(n-1) Sn-an 2n2-52n+50 50 Sn=-46n+ ×4=2n2-48n.∴bn= = =2n+ -52≥2 2 n n n

50 2n× -52=-32, n

50 当且仅当 2n= ,即 n=5 时,等号成立.故 bn 的最小值为-32.??(12 分) n 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由∠ADB=90° ,可得 BD⊥AD. 因为 PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥BD. 又 PD∩AD=D,所以 BD⊥平面 PAD, 因为 PA?平面 PAD,所以 BD⊥PA.?????(4 分) (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,设 AD=a,则 A(a,0,0) ,B(0, 3a,0) ,C(-a, 3a,0) ,P(0,0,a) , → → AB=(-a, 3a,0) BC=(-a,0,0) , , → → AP=(-a,0,a) PC=(-a, 3a,-a) , . 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) , → ?n· ? AB=0, ?-ax+ 3ay=0, 所以? 可得? → ?-ax+az=0。 ?n· ? AP=0。 设 y= 3,则 x=z=3,可得 n=(3, 3,3) . 同理,可求得平面 PBC 的一个法向量为 m=(0,-1,- 3) . m· n 2 7 所以 cos<m,n>= =- . 7 |m|· |n| 2 7 由图形知,二面角 A-PB-C 为钝角,因此二面角 A-PB-C 的余弦值是- .???(12 分) 7 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)①处填 20,②处填 0.35; 补全频率分布直方图如图所示.

根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 [30,35)的人数为 500×0.35=175. 分) (4 (Ⅱ)用分层抽样的方法,从中选取 20 人,则其中“年龄低于 30 岁”的有 5 人,“年龄不低于 30 岁” 的有 15 人. C2 21 C1C1 15 C2 2 1 15 5 15 5 由题意知,X 的可能取值为 0,1,2,且 P(X=0)= 2 = ,P(X=1)= 2 = ,P(X=2)= 2 = = . C20 38 C20 38 C20 38 19 ∴X 的分布列为: X P 0 21 38 1 15 38 2 1 19

21 15 2 1 ∴E(X)=0× +1× +2× = .???????????????(12 分) 38 38 38 2

5

21. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设 M(x,y)为轨迹 C 上的任意一点. → 当|PM|=0 时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹 C 上. → → → → → → 当|PM|≠0 且|MF2|≠0 时,由PM·MF2=0,得PM⊥MF2. → → 又|PQ|=|PF2|(如图) ,所以 M 为线段 F2Q 的中点. 1 → → 在△QF1F2 中,|OM|= |F1Q|=a,所以有 x2+y2=a2. 2 综上所述,点 M 的轨迹 C 的方程是 x2+y2=a2.??????????(4 分) (Ⅱ)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠0) ,A(x1,y1),B(x2,y2),
? ?y=kx+m, 由? 2 2 消去 y 并整理,得 (1+k2)x2+2kmx+m2-a2=0, 2 ?x +y =a . ?

-2km m2-a2 则△=4k2m2-4(1+k2)(m2-a2)=4(k2a2+a2-m2)>0,且 x1+x2= . 2 ,x1x2= 1+k 1+k2 ∴y1 y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
2 2 y1 y2 k x1x2+km(x1+x2)+m ∵直线 OA,AB,OB 的斜率依次成等比数列,∴ · = =k2, x1 x2 x1x2



-2k2m2 +m2=0,又 m≠0,∴k2=1,即 k=±1. 1+k2 |m|

设点 O 到直线 l 的距离为 d,则 d=

, k2+1 |m| 1 1 1 1 ∴S△OAB= |AB|d= 1+k2|x1-x2 |· 2 = |x1-x2 ||m|= m2(2a2-m2). 2 2 2 2 k +1 由直线 OA,OB 的斜率存在,且△>0,得 0<m2<2a2 且 m2≠a2, m2+(2a2-m2) 2 1 ∴0< m2(2a2-m2)< =a .故△OAB 面积的取值范围为(0, a2) .?(10 分) 2 2 (Ⅲ)对椭圆 Γ 而言,有如下类似的命题: “设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 Γ 交于 A,B 两点,若直线 1 OA,AB,OB 的斜率依次成等比数列,则△OAB 面积的取值范围为(0, ab)”?(13 分) . 2 22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(-1,+∞) . 求导数,得 f ′(x)= 1 -a. 1+x -a=1,∴a=1. 1 1+(- ) 2 1

1 由已知,得 f ′(- )=1,即 2

-x 1 此时 f(x)=ln(1+x)-x,f ′(x)= -1= , 1+x 1+x 当-1<x<0 时,f ′(x)>0;当 x>0 时,f ′(x)<0. ∴当 x=0 时,f(x)取得极大值,该极大值即为最大值,∴f(x)max=f(0)=0.??(4 分) (Ⅱ)法(一) :由(Ⅰ) ,得 ln(1+x)-x≤0,即 ln(1+x)≤x,当且仅当 x=0 时,等号成立. k+1 1 1 1 1 令 x= (k∈N*) ,则 >ln(1+ ),即 >ln , k k k k k

6

1 ∴ >ln(k+1)-lnk(k=1,2,?,n) . k 将上述 n 个不等式依次相加,得 1 1 1 1+ + +?+ >(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+?+[ln(n+1)-lnn], 2 3 n 1 1 1 ∴1+ + +?+ >ln(n+1)(n∈N*) .?????????????(10 分) 2 3 n 法(二) :用数学归纳法证明. (1)当 n=1 时,左边=1=lne,右边=ln2,∴左边>右边,不等式成立. 1 1 1 (2)假设当 n=k 时,不等式成立,即 1+ + +?+ >ln(k+1). 2 3 k 1 1 1 1 1 那么 1+ + +?+ + >ln(k+1)+ , 2 3 k k+1 k+1 由(Ⅰ) ,知 x>ln(1+x)(x>-1,且 x≠0) . 令 x= k+2 1 1 1 ,则 >ln(1+ )=ln , k+1 k+1 k+1 k+1

k+2 1 ∴ln(k+1)+ >ln(k+1)+ln =ln(k+2), k+1 k+1 1 1 1 1 ∴1+ + +?+ + >ln(k+2). 2 3 k k+1 即当 n=k+1 时,不等式也成立.?????????????(10 分) 根据(1) ,可知不等式对任意 n∈N*都成立. (2) (Ⅲ)∵f(0)=0,g(0)=b,若 f(x)≤g(x)恒成立,则 b≥0. 由(Ⅰ) ,知 f(x)max=f(0)=0. (1)当 b=0 时,g(x)=0,此时 f(x)≤g(x)恒成立; (2)当 b>0 时,g′(x)=b(ex-1), 当 x∈(-1,0)时,g′(x)<0,g(x)单调递减; 当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增. ∴g(x)在 x=0 处取得极小值,即为最小值, ∴g(x)min=g(0)=b>0≥f(x),即 f(x)≤g(x)恒成立. 综合(1) (2)可知,实数 b 的取值范围为[0,+∞) .??????(14 分)

7


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