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高中数学1.2.2同角三角函数的基本关系(2)学案新人教A版必修4


1.2.2 同角三角函数的基本关系(二) 【学习要求】 1.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的化简和恒等式的证明. 2.通过同角三角函数的基本关系的学习,培养三角函数恒等变形的能力,体验化归的思想. 【学法指导】 1.三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形.化简时,要善于观察待化简式子的结构特征,如果待化简的三角函数是分式,应想办法去 掉分母;如果出现高次,则应设法灵活运用平方关系化高次为低次;如果待化简式子中含有根号,则应将根号下化为完全平方式,再去掉根号. 2.在三角恒等式证明的过程中,要注意三角公式的灵活运用.由于三角公式多,因此要“盯住目标”选择恰当公式.在同时含有弦函数和切函数的三 角函数式中,常“化切为弦” ,统一为弦函数后,再化简. 1.同角三角函数的基本关系 2 2 (1)平方关系: =1. 变形:1-sin α = ;1-cos α = . sin α (2)商数关系:tan α = . 变形:sin α = ;cos α = . cos α 2 2 2.(sin α +cos α ) = ;(sin α -cos α ) = . 3.若设 sin α +cos α =t,则 sin α cos α = ; 若设 sin α -cos α =t,则 sin α cos α = . 3 3 4.若设 sin α +cos α =t,则 sin α +cos α = ; 3 3 若设 sin α -cos α =t,则 sin α -cos α = . 探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式,其基本要求:尽量减少角的种数,尽量减少三角函数的种数,尽量化为同角且同名的三角 函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角 公式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时,这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的运用也具有较高的要求,因此在平常 学习时要注意经验的积累. 化简三角函数式时,在题设的要求下,应合理利用有关公式,常见的化简方法:异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角的三角函数与特殊值互化 等. 请按照上述标准化简下列三角函数式: 已知 α 是第三象限角,化简: 答 原式= = 1+sin α - 1-sin α 2 1-sin α . 1+sin α ?1-sin α ? ?1+sin α ??1-sin α ? 2 ?1+sin α ? - ?1-sin α ??1+sin α ? 2 ?1+sin α ? - 2 cos α ?1-sin α ? 2 cos α 2 1+sin α 1-sin α 2sin α = - = . |cos α | |cos α | |cos α | 2sin α ∵α 是第三象限角,∴cos α <0.∴原式= =-2tan α . -cos α 即 1+sin α - 1-sin α 1-sin α =-2tan α . 1+sin α 探究点二 三角恒等式的证明 证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活,常用的有以下几种: ①直接法:从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比较复杂、繁杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性; ②综合法:由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想; ③中间量法:证明等式左右两式都等于同一

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