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文科一轮学案9.6 双曲线


第九章

解析几何

学案 9.6
【双基梳理】 1.双曲线定义 平面内与两个定点 F1,F2 的 做 ,两焦点间的距离叫做

双曲线
自主复习 夯实基础

自主预习案

等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫 .

集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a,c 为常数且 a>0,c>0. (1)当 (2)当 (3)当 时,P 点的轨迹是双曲线; 时,P 点的轨迹是两条射线; 时,P 点不存在.

2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

图形

范围 对称性 顶点 渐近线 性质 离心率

x≥a 或 x≤-a,y∈R 对称轴: A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a c e= ,e∈ a

x∈R,y≤-a 或 y≥a 对称中心: A1(0,-a),A2(0,a) a y=± x b ,其中 c= a2+b2

线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做双曲 实虚轴 线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲 线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2= (c>a>0,c>b>0)

【知识拓展】 巧设双曲线方程 x2 y2 x2 y2 (1)与双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为 2- 2=t (t≠0). a b a b x2 y2 (2)过已知两个点的双曲线方程可设为 + =1 (mn<0). m n
-1-

第九章

解析几何

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( x y (2)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( m n
2 2

)

) )

x2 y2 x2 y2 x y (3)双曲线方程 2- 2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是 2- 2=0,即 ± =0.( m n m n m n (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( )

x2 y2 x2 y2 1 1 (5)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率分别是 e1,e2,则 2+ 2=1(此结论中 a b b a e1 e2 两条双曲线称为共轭双曲线).( )

考点探究案
考点一 双曲线的定义及标准方程

典例剖析 考点突破

命题点 1 双曲线定义的应用 例 1 已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,则动 圆圆心 M 的轨迹方程为____________________.

命题点 2 利用待定系数法求双曲线方程 例 2 根据下列条件,求双曲线的标准方程: 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12); (3)经过两点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7).

1 变式训练:(1)(2015· 课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的标准 2 方程为__________________.
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第九章

解析几何

5 (2)设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距 13 离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为________.

考点二 双曲线的几何性质 x2 y2 例 3 (1)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为点 A,与另一条渐 a b → → 近线交于点 B,若FB=2FA,则此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C.2 D. 5 )

x2 y2 (2)(2015· 山东)过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C 于点 P. a b 若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为________.

变式训练: x2 y2 (1)(2015· 重庆)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左,右顶点分别是 A1,A2,过 F 作 A1A2 a b 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( 1 2 A.± B.± 2 2 C.± 1 D.± 2 )

(2)(2015· 湖北)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时增加 m(m>0)个单位长度, 得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则( A.对任意的 a,b,e1<e2 B.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2 C.对任意的 a,b,e1>e2 D.当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 )

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第九章

解析几何

考点三:直线与双曲线综合问题 例4 y2 (1)(2015· 四川)过双曲线 x2- =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线, 交该双曲线的两条渐近线于 A, 3 ) B.2 3 D.4 3

B 两点,则|AB|等于( 4 3 A. 3 C.6

x2 (2)若双曲线 E: 2-y2=1(a>0)的离心率等于 2,直线 y=kx-1 与双曲线 E 的右支交于 A,B 两点. a ①求 k 的取值范围; → → → ②若|AB|=6 3,点 C 是双曲线上一点,且OC=m(OA+OB),求 k,m 的值.

变式训练: 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A、B 两点,求 k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m),求 m 的取值范围.

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第九章

解析几何

当堂达标:
x2 y2 1.(教材改编)若双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长, a b 则该双曲线的离心率为( A. 5 B.5 C. 2
2

)

D.2 )
2

2.(2015· 安徽)下列双曲线中,渐近线方程为 y=± 2x 的是( y A.x2- =1 4 y2 C.x2- =1 2 x B. -y2=1 4 x2 D. -y2=1 2

x2 y2 x2 y2 3.(2014· 广东)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 - =1 与曲线 - =1 的( 25 9-k 25-k 9 A.焦距相等 C.虚半轴长相等 B.实半轴长相等 D.离心率相等

)

4.(2015· 北京朝阳区模拟)已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近 线的距离为________. 5.(教材改编)经过点 A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.

巩固提高案

日积月累 提高自我

x2 y2 5 1.(2015· 广东)已知双曲线 C: 2- 2=1 的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线 C 的方程为 a b 4 ( ) x2 y2 B. - =1 9 16 x2 y2 D. - =1 3 4 x2 y2 A. - =1 4 3 x2 y2 C. - =1 16 9

2.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的 实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 C.2 B. 3 D.3 )

x2 y2 3.(2014· 江西)过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C a b 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为( x y A. - =1 4 12 x2 y2 C. - =1 8 8
2 2

)

x y B. - =1 7 9 x2 y2 D. - =1 12 4
-5-

2

2

第九章

解析几何

x2 → → 4. (2015· 课标全国Ⅰ)已知 M(x0, y0)是双曲线 C: -y2=1 上的一点, F1, F2 是 C 的两个焦点, 若MF1· MF2 2 <0,则 y0 的取值范围是( A.?- ) B.?-

?

3 3? , 3 3?

?

3 3? , 6 6?

2 2 2 2? C.?- ? 3 , 3 ?

2 3 2 3? D.?- ? 3 , 3 ?

x2 y2 x2 y2 5.已知椭圆 2+ 2=1 (a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列,离心率为 e1;双曲线 2- 2=1 a1 b1 a2 b2 (a2>0,b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列,离心率为 e2.则 e1e2 等于( A. 2 B.1 C. 3 2 D.2 )

x2 6.(2015· 北京)已知双曲线 2-y2=1(a>0)的一条渐近线为 3x+y=0,则 a=________. a x2 y2 y2 x2 7.已知双曲线 - =1 的一个焦点是(0,2),椭圆 - =1 的焦距等于 4,则 n=________. m 3m n m x2 8.若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一 a → → 点,则OP· FP的取值范围为______________. x2 y2 9.(2014· 浙江)设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点 A, a b B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.

10.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上; (3)在(2)的条件下求△F1MF2 的面积.

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第九章

解析几何

学案 9.6
【双基梳理】 1.双曲线定义

双曲线
自主复习 夯实基础

自主预习案

平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定 点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a,c 为常数且 a>0,c>0. (1)当 2a<|F1F2|时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 2a=|F1F2|时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 2a>|F1F2|时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

图形

范围 对称性 顶点 渐近线 性质 离心率

x≥a 或 x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a 或 y≥a

对称轴:坐标轴 对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a A1(0,-a),A2(0,a) a y=± x b

c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做双曲

实虚轴

线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲 线的虚半轴长

a、b、c 的关系

c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)

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第九章

解析几何

【知识拓展】 巧设双曲线方程 x2 y2 x2 y2 (1)与双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为 2- 2=t (t≠0). a b a b x2 y2 (2)过已知两个点的双曲线方程可设为 + =1 (mn<0). m n 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( × x2 y2 (2)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × m n ) )

x2 y2 x2 y2 x y (3)双曲线方程 2- 2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是 2- 2=0,即 ± =0.( √ ) m n m n m n (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( √ ) x2 y2 x2 y2 1 1 (5)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率分别是 e1,e2,则 2+ 2=1(此结论中 a b b a e1 e2 两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )

考点探究案
考点一 双曲线的定义及标准方程

典例剖析 考点突破

命题点 1 双曲线定义的应用 例 1 已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,则动 圆圆心 M 的轨迹方程为____________________. y2 答案 x2- =1(x≤-1) 8 解析 如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|= |MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|=6. 又根据双曲线的定义,得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大,与 C1 的距离小),
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第九章

解析几何

其中 a=1,c=3,则 b =8. y2 故点 M 的轨迹方程为 x2- =1(x≤-1). 8 命题点 2 利用待定系数法求双曲线方程 例 2 根据下列条件,求双曲线的标准方程: 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12); (3)经过两点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7). 解 (1)设双曲线的标准方程为 x2 y2 y2 x2 2- 2=1 或 2- 2=1(a>0,b>0). a b a b c 5 由题意知,2b=12,e= = . a 4 ∴b=6,c=10,a=8. x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36 (2)∵双曲线经过点 M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在 y 轴上,且 a=12. 又 2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25. y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 144 25 (3)设双曲线方程为 mx2-ny2=1(mn>0).
? ?9m-28n=1, ∴? 解得 ?72m-49n=1, ?

2

?m=-75, ? 1 ?n=-25.

1

y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 25 75

1 变式训练:(1)(2015· 课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的标准 2 方程为__________________. 5 (2)设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距 13 离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为________.
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第九章

解析几何

答案 解析

x2 x2 y2 (1) -y2=1 (2) - =1 4 16 9 1 x2 (1)由双曲线渐近线方程为 y=± x,可设该双曲线的标准方程为 -y2=λ(λ≠0),已知该双曲线 2 4

42 过点(4, 3),所以 -( 3)2=λ,即 λ=1, 4 x2 故所求双曲线的标准方程为 -y2=1. 4 (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0),设曲线 C2 上的一点 P,则||PF1|-|PF2||=8. 由双曲线的定义知:a=4,b=3. x2 y2 故曲线 C2 的标准方程为 2- 2=1. 4 3 即 x2 y2 - =1. 16 9

考点二 双曲线的几何性质 x2 y2 例 3 (1)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为点 A,与另一条渐 a b → → 近线交于点 B,若FB=2FA,则此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C.2 D. 5 )

x2 y2 (2)(2015· 山东)过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C 于点 P. a b 若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为________. 答案 解析 (1)C (2)2+ 3 (1)如图,

→ → ∵FB=2FA, ∴A 为线段 BF 的中点, ∴∠2=∠3. 又∠1=∠2,∴∠2=60° , b ∴ =tan 60° = 3, a
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第九章

解析几何

b ∴e2=1+( )2=4,∴e=2. a x2 y2 (2)把 x=2a 代入 2- 2 =1 a b 得 y=± 3b. 不妨取 P(2a,- 3b).又∵双曲线右焦点 F2 的坐标为(c,0), 3b 3b b ∴kF2P= .由题意,得 = . c-2a c-2a a c ∴(2+ 3)a=c.∴双曲线 C 的离心率为 e= =2+ 3. a

变式训练: x2 y2 (1)(2015· 重庆)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左,右顶点分别是 A1,A2,过 F 作 A1A2 a b 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( 1 2 A.± B.± 2 2 C.± 1 D.± 2 )

(2)(2015· 湖北)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时增加 m(m>0)个单位长度, 得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则( A.对任意的 a,b,e1<e2 B.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2 C.对任意的 a,b,e1>e2 D.当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 答案 解析 (1)C (2)B x2 y2 (1)如图, 双曲线 2- 2=1 的右焦点 F(c,0), 左, 右顶点分别为 A1(- a b a,0) , )

A2(a,0), b2 b2 c, ?,C?c,- ?, 易求 B? a? ? a? ? b2 b2 a a 则 kA2C= ,kA1B= , a-c a+c 又 A1B 与 A2C 垂直, b2 b2 a a 则有 kA1B· kA2C=-1,即 · =-1, a+c a-c
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第九章

解析几何

b4 a2 ∴ 2 =1,∴a2=b2,即 a=b, c -a2 b ∴渐近线斜率 k=± =± 1. a (2)e1= b2 1+ 2,e2= a ?b+m?2 b b+m 1+ .不妨令 e1<e2,化简得 < (m>0),得 bm<am,得 b<a.所以当 a a+m ?a+m?2

b b+m b b+m b>a 时,有 > ,即 e1>e2;当 b<a 时,有 < ,即 e1<e2.故选 B. a a+m a a+m

考点三:直线与双曲线综合问题 例4 y2 (1)(2015· 四川)过双曲线 x2- =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线, 交该双曲线的两条渐近线于 A, 3 ) B.2 3 D.4 3

B 两点,则|AB|等于( 4 3 A. 3 C.6 答案 D

y2 解析 右焦点 F(2,0),过 F 与 x 轴垂直的直线为 x=2,渐近线方程为 x2- =0,将 x=2 代入渐近线方 3 程得 y2=12,∴y=± 2 3, ∴A(2,2 3),B(2,-2 3),∴|AB|=4 3. x2 (2)若双曲线 E: 2-y2=1(a>0)的离心率等于 2,直线 y=kx-1 与双曲线 E 的右支交于 A,B 两点. a ①求 k 的取值范围; → → → ②若|AB|=6 3,点 C 是双曲线上一点,且OC=m(OA+OB),求 k,m 的值. c 2 ? ? ?a= 2, ?a =1, ? 解 ①由? 得 2 ?c =2, ? ? ?a2=c2-1 故双曲线 E 的方程为 x2-y2=1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

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第九章 ?y=kx-1, ? 由? 2 2 ? ?x -y =1,

解析几何

得(1-k2)x2+2kx-2=0.(*) ∵直线与双曲线右支交于 A,B 两点,
? ?k>1, 故? 2 2 ?Δ=?2k? -4?1-k ?×?-2?>0, ?

?k>1, 即? 所以 1<k< 2. ?- 2<k< 2,
故 k 的取值范围是{k|1<k< 2}. 2k 2 ②由(*)得 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k -1 k -1 ∴|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 =2 ?1+k2??2-k2? =6 3, ?k2-1?2

5 5 整理得 28k4-55k2+25=0,∴k2= 或 k2= , 7 4 又 1<k< 2,∴k= 5 , 2

所以 x1+x2=4 5,y1+y2=k(x1+x2)-2=8. → → → 设 C(x3,y3),由OC=m(OA+OB), 得(x3,y3)=m(x1+x2,y1+y2)=(4 5m,8m). ∵点 C 是双曲线上一点. 1 ∴80m2-64m2=1,得 m=± . 4 故 k= 5 1 ,m=± . 2 4

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第九章

解析几何

变式训练: 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A、B 两点,求 k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m),求 m 的取值范围. 解 x2 y2 (1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b

由已知得:a= 3,c=2,再由 a2+b2=c2,得 b2=1, x2 ∴双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3 (2)设 A(xA,yA),B(xB,yB), x2 将 y=kx+ 2代入 -y2=1, 3 得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0.

?Δ=36?1-k ?>0, ? 6 2k 由题意知?x +x = <0, 1-3k -9 ? ?x x =1-3k >0,
2 A B 2 A B 2

1-3k2≠0,

解得 ∴当

3 <k<1. 3 3 <k<1 时,l 与双曲线左支有两个交点. 3

6 2k (3)由(2)得:xA+xB= , 1-3k2 ∴yA+yB=(kxA+ 2)+(kxB+ 2) =k(xA+xB)+2 2= 2 2 . 1-3k2

3 2k 2 ∴AB 的中点 P 的坐标为( ). 2, 1-3k 1-3k2 1 设直线 l0 的方程为:y=- x+m, k 4 2 将 P 点坐标代入直线 l0 的方程,得 m= . 1-3k2 ∵ 3 <k<1,∴-2<1-3k2<0. 3

∴m<-2 2.∴m 的取值范围为(-∞,-2 2).

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第九章

解析几何

当堂达标:
x2 y2 1.(教材改编)若双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长, a b 则该双曲线的离心率为( A. 5 B.5 C. 2 答案 A 解析 由题意得 b=2a,又 a2+b2=c2,∴5a2=c2. c2 ∴e2= 2=5,∴e= 5. a 2.(2015· 安徽)下列双曲线中,渐近线方程为 y=± 2x 的是( y2 A.x2- =1 4 y2 C.x2- =1 2 答案 A y2 解析 由双曲线渐近线方程的求法知:双曲线 x2- =1 的渐近线方程为 y=± 2x,故选 A 4 x2 y2 x2 y2 3.(2014· 广东)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 - =1 与曲线 - =1 的( 25 9-k 25-k 9 A.焦距相等 C.虚半轴长相等 答案 A 解析 因为 0<k<9,所以两条曲线都表示双曲线.双曲线 x2 y2 - =1 的实半轴长为 5,虚半轴长为 25 9-k B.实半轴长相等 D.离心率相等 ) x2 B. -y2=1 4 x2 D. -y2=1 2 ) D.2 )

9-k, 焦距为 2 25+?9-k?=2 34-k, 离心率为

34-k x2 y2 .双曲线 - =1 的实半轴长为 25-k, 5 25-k 9 34-k ,故两曲线只有焦距相等.故选 A. 25-k

虚半轴长为 3,焦距为 2 ?25-k?+9=2 34-k,离心率为

4.(2015· 北京朝阳区模拟)已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近 线的距离为________. 答案 3

x2 y2 m 解析 双曲线 C 的标准方程为 - =1(m>0),其渐近线方程为 y=± x,即 my=± x,不妨选取右 3m 3 m 焦点 F( 3m+3,0)到其中一条渐近线 x- my=0 的距离求解,得 d=
- 15 -

3m+3 m+1

= 3.

第九章

解析几何

5.(教材改编)经过点 A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 答案 x2 y2 - =1 8 8

x2 y2 x2 y2 解析 设双曲线的方程为 2- 2=± 1(a>0),把点 A(3,-1)代入,得 a2=8,故所求方程为 - =1. a a 8 8

巩固提高案

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x2 y2 5 1.(2015· 广东)已知双曲线 C: 2- 2=1 的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线 C 的方程为 a b 4 ( ) x2 y2 B. - =1 9 16 x2 y2 D. - =1 3 4 x2 y2 A. - =1 4 3 x2 y2 C. - =1 16 9 答案 C c 5 解析 因为所求双曲线的右焦点为 F2(5,0)且离心率为 e= = ,所以 c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所 a 4 x2 y2 以所求双曲线方程为 - =1,故选 C. 16 9 2.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的 实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 C.2 答案 B x2 y2 解析 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直,因此 a b x2 y2 c2 b4 b2 2b2 直线 l 的方程为:x=c 或 x=-c,代入 2- 2=1 得 y2=b2( 2-1)= 2,∴y=± ,故|AB|= ,依题 a b a a a a 意 2b2 =4a, a B. 3 D.3 )

c2-a2 2 b2 ∴ 2=2,∴ 2 =e -1=2,∴e= 3. a a x2 y2 3.(2014· 江西)过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C a b 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为( x2 y2 A. - =1 4 12 x2 y2 C. - =1 8 8 答案 A
- 16 -

)

x2 y2 B. - =1 7 9 x2 y2 D. - =1 12 4

第九章

解析几何

x=a, ? ?x=a, ? ? 解析 由? 得? ∴A(a,-b). b ?y=-b, y=- x, ? ? a ? 由题意知右焦点到原点的距离为 c=4, ∴ ?a-4?2+?-b?2=4,即(a-4)2+b2=16. 而 a2+b2=16,∴a=2,b=2 3. x2 y2 ∴双曲线 C 的方程为 - =1. 4 12 x2 → → 4. (2015· 课标全国Ⅰ)已知 M(x0, y0)是双曲线 C: -y2=1 上的一点, F1, F2 是 C 的两个焦点, 若MF1· MF2 2 <0,则 y0 的取值范围是( A.?- ) B.?-

?

3 3? , 3 3?

?

3 3? , 6 6?

2 2 2 2? C.?- ? 3 , 3 ? 答案 A

2 3 2 3? D.?- ? 3 , 3 ?

解析 由题意知 a= 2,b=1,c= 3, ∴F1(- 3,0),F2( 3,0), → → ∴MF1=(- 3-x0,-y0),MF2=( 3-x0,-y0). → → ∵MF1· MF2<0,∴(- 3-x0)( 3-x0)+y2 0<0,
2 即 x2 0-3+y0<0.∵点 M(x0,y0)在双曲线上, 2 x0 2 2 ∴ -y2 0=1,即 x0=2+2y0, 2 2 ∴2+2y0 -3+y2 0<0,∴-

3 3 <y < .故选 A. 3 0 3

x2 y2 x2 y2 5.已知椭圆 2+ 2=1 (a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列,离心率为 e1;双曲线 2- 2=1 a1 b1 a2 b2 (a2>0,b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列,离心率为 e2.则 e1e2 等于( A. 2 B.1 C. 3 2 D.2 )

答案 B 5-1 c1 2 2 解析 由 b2 . 1=a1c1,得 a1-c1=a1c1,∴e1= = a1 2 5+1 c2 2 2 由 b2 . 2=a2c2,得 c2-a2=a2c2,∴e2= = a2 2 ∴e1e2= 5-1 5+1 × =1. 2 2

x2 6.(2015· 北京)已知双曲线 2-y2=1(a>0)的一条渐近线为 3x+y=0,则 a=________. a
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第九章

解析几何

答案

3 3

x2 x 解析 双曲线 2-y2=1 的渐近线为 y=± ,已知一条渐近线为 3x+y=0,即 y=- 3x,因为 a>0, a a 1 3 所以 = 3,所以 a= . a 3 x2 y2 y2 x2 7.已知双曲线 - =1 的一个焦点是(0,2),椭圆 - =1 的焦距等于 4,则 n=________. m 3m n m 答案 5 y2 x2 解析 因为双曲线的焦点是(0,2),所以焦点在 y 轴上,所以双曲线的方程为 - =1,即 a2=- -3m -m y2 2 3m,b =-m,所以 c =-3m-m=-4m=4,解得 m=-1.所以椭圆方程为 +x =1,且 n>0,椭圆 n
2 2

的焦距为 4,所以 c2=n-1=4 或 1-n=4,解得 n=5 或-3(舍去). x2 8.若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一 a → → 点,则OP· FP的取值范围为______________. 答案 [3+2 3,+∞)

解析 由条件知 a2+1=22=4,∴a2=3, x2 ∴双曲线方程为 -y2=1, 3 → → 设 P 点坐标为(x,y),则OP=(x,y),FP=(x+2,y), x2 ∵y2= -1, 3 x2 → → ∴OP· FP=x2+2x+y2=x2+2x+ -1 3 4 4 3 7 = x2+2x-1= (x+ )2- . 3 3 4 4 又∵x≥ 3(P 为右支上任意一点), → → ∴OP· FP≥3+2 3. x2 y2 9.(2014· 浙江)设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点 A, a b B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________. 答案 5 2

x2 y2 b 解析 双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x. a b a b ? ?y=ax, am bm 由? 得 A( , ), 3b-a 3b-a ?x-3y+m=0 ?
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第九章

解析几何

b ? ?y=-ax, -am bm 由? 得 B( , ), a+3b a+3b ? ?x-3y+m=0 a2m 3b2m 所以 AB 的中点 C 的坐标为( 2 ). 2, 2 9b -a 9b -a2 设直线 l:x-3y+m=0(m≠0), 因为|PA|=|PB|,所以 PC⊥l, 所以 kPC=-3,化简得 a2=4b2. 在双曲线中,c2=a2+b2=5b2, c 5 所以 e= = . a 2 10.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上; (3)在(2)的条件下求△F1MF2 的面积. (1)解 ∵离心率 e= 2,∴双曲线为等轴双曲线,

可设其方程为 x2-y2=λ(λ≠0), 则由点(4,- 10)在双曲线上,可得 λ=42-(- 10)2=6,∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明 ∵点 M(3,m)在双曲线上, ∴32-m2=6,∴m2=3, 又双曲线 x2-y2=6 的焦点为 F1(-2 3,0),F2(2 3,0), → → ∴MF1· MF2=(-2 3-3,-m)· (2 3-3,-m) =(-3)2-(2 3)2+m2=9-12+3=0, ∴MF1⊥MF2,∴点 M 在以 F1F2 为直径的圆上. (3)解 1 S△F1MF2= ×4 3×|m|=6. 2

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