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高中数学 2.3.1解三角形应用举例(第一课时)教案 北师大版必修5

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1.3.1 解三角形应用举例(第一课时)
教学目标:
知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际 问题,了解常用的测量相关术语 过程与方法 :首先通过巧妙的设疑,顺利地引导新课,为以后的几节课做良好铺垫。其次结 合学生的实际情况,采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练” 的教学过程,根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系,铺开例题,设计变式,同时通过 多媒体、图形观察等直观演示,帮助学生掌握解法,能够类比解决实际问题。对于例 2 这样 的开放性题目要鼓励学生讨论,开放多种思路,引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 情感与价值:激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数 学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 教学重点:由实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的解 教学难点:根据题意建立数学模型,画出示意图 学法:让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形,让学生尝试绘制 知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理,因此系统掌握前一节内容 是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路,引导学生寻求实际问题的 本质和规律,从一般规律到生活的具体运用,这方面需要多琢磨和多体会。 教学设想: 1、复习旧知:正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形? 2、设置情境:请学生回答完后再提问:前面引言第一章“解三角形”中,我们遇到这么一个 问题,“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已 经估算出了两者的距离,是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?我们知道,对于未知的距 离、高度等,存在着许多可供选择的测量方案,比如可以应用全等三角形、相似三角形的方 法,或借助解直角三角形等等不同的方法,但由于在实际测量问题的真实背景下,某些方法 会不能实施。如因为没有足够的空间,不能用全等三角形的方法来测量,所以,有些方法会 有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、 余弦定理在科学实践中的重要应用,首先研究如何测量距离。 3、 新课讲授:解决实际测量问题的过
程一般要充分认真理解题意,正确 做出图形,把实际问题里的条件和 所求转换成三角形中的已知和未 知的边、角,通过建立数学模型来 求解 例 1、如图,设 A、B 两点在河的两岸, 要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C,
测出 AC 的距离是 55m, ? BAC= 51? , ? ACB= 75? 。求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m) 启发提问 1: ? ABC 中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较适当?
启发提问 2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?请学生回答。 分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,题目条 件告诉了边 AB 的对角,AC 为已知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出
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AC 的对角,应用正弦定理算出 AB 边。 解:根据正弦定理,得

AB

=

AC

sin ?ACB

sin ?ABC

故 AB =

AC sin ?ACB =
sin ?ABC

55sin ?ACB sin ?ABC

=

55sin 75? = 55sin 75? ≈ 65.7(m)

sin(180? ? 51? ? 75?)

sin 54?

答:A、B 两点间的距离为 65.7 米

变式练习:两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ? ,

灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60 ? ,则 A、
B 之间的距离为多少? 画图,建立数学模型。

解略: 2 a km
例 2、(动画演示辅助点和辅助线) 如图,A、B 两点都在河的对岸(不 可到达),设计一种测量 A、B 两点 间距离的方法。 分析:这是例 1 的变式题,研究的 是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形,所以需要确定 C、D 两点。 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法,分别求出 AC 和 BC, 再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。 解:测量者可以在河岸边选定两点 C、D,测得 CD=a,并且在 C、D 两点分别测得
? BCA=? , ? ACD= ? , ? CDB= ? , ? BDA = ? ,在 ? ADC 和 ? BDC 中,

应用正弦定理得 AC =

a sin(? ? ? )

= a sin(? ? ? )

sin[180? ? (? ? ? ? ? )]

sin(? ? ? ? ? )

BC =

a sin ?

=

a sin ?

sin[180? ? (? ? ? ? ? )]

sin(? ? ? ? ? )

计算出 AC 和 BC 后,再在 ? ABC 中,应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离

AB = AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos?

分组讨论:还没有其它的方法呢?师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练:若在河岸选取相距 40 米的 C、D 两点,测得 ? BCA=60 ? ,? ACD=30 ? ,? CDB=45 ? ,

? BDA =60 ? .

(略解:利用例 2 推出的公式,得 AB=20 6 )

评注:可见,在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些 过程较繁复,如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选 择最佳的计算方式。 4、 课堂练习:课本第 59 页练习第 1、2 题 5、 归纳总结:解斜三角形应用题的一般步骤:

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(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图 (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立 一个解斜三角形的数学模型 (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解 (5)作业:课本第 62 页第 4 题

1、 思考题:某人在 M 汽车站的北偏西 20 ? 的方向上的 A

处,观察到点 C 处有一辆汽车沿公路向 M 站行驶。

公路的走向是 M 站的北偏东 40 ? 。开始时,汽车到 A

的距离为 31 千米,汽车前进 20 千米后,到 A 的距

离缩短了 10 千米。问汽车还需行驶多远,才能到达

M 汽车站?

解:由题设,画出示意图,设汽车前进 20 千米后到达 B

处。在 ? ABC 中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理得

cosC= AC 2 ? BC 2 ? AB 2 = 23 ,

2AC ? BC

31

则 sin 2 C =1- cos 2 C = 432 , sinC = 12 3 ,

312

31

所以 sin ? MAC = sin(120 ? -C)= sin120 ? cosC - cos120 ? sinC = 35 3
62 在 ? MAC 中,由正弦定理得

MC = AC sin ?MAC = 31 ? 35 3 =35

sin ?AMC

3 62

2

从而有 MB= MC-BC=15

答:汽车还需要行驶 15 千米才能到达 M 汽车站。

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