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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第八章 第四节空间点、直线、平面之间的位置关系 文

四节 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解可以作为推理依据的四个公理和空间 等角定理. 2.理解异面直线所成角的概念;会求异面直线所成的角. 知识梳理 一、平面的基本性质 1.公理 1:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在 这个平面内. 2.公理 2:经过________________的三点,有且只有一个平面. 3. 公理 3: 如果两个不重合的平面有________公共点, 那么它们有且只有一条________ 的公共直线. 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 二、直线与直线的位置关系 1.位置关系的分类. (1)共面直线:________或________; (2)异面直线:不在________一个平面内的两条直线. 2.异面直线所成的角. (1)定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′ 与 b′所成的__________________叫做异面直线 a,b 所成的角(或夹角). (2)范围:________. 3.直线与平面的位置关系有________、________、________三种情况. 4.平面与平面的位置关系有________、________两种情况. 5.平行公理:平行于同________的两条直线互相平行. 6.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角____________. 第 1 页 共 6 页 一、1.两点 2.不在同一条直线上 3.一个 经过该点 二、1.(1)相交 平行 (2)任何 2.(1)锐角或直角 (2)(0° ,90° ] 3.平行 相交 在平面 内 4.平行 相交 5.一条直线 6.相等或互补 基础自测 1.已知 A,B,C 为空间三点,经过这三点( A.能确定一个平面 B.能确定无数个平面 C.能确定一个或无数个平面 D.能确定一个平面或不能确定平面 ) 解析:由于题设中所给的三点 A,B,C 并没有指明这三点之间的位置关系,所以在应 用公理 3 时要注意条件“不共线的三点”. 当 A,B,C 三点共线时,经过这三点就不能确定平面;当 A,B,C 三点不共线时,经 过这三点就可以确定一个平面.故选 D. 答案:D 2.对于直线 m、n 和平面 α,下列命题中的真命题是( A.如果 m?α、n?α,m,n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m?α、n?α,m,n 是异面直线,那么 n 与 α 相交 C.如果 m?a、n∥α,m,n 是共面直线,那么 n∥m ) D.如果 m?α、n∥α,m,n 是共面直线,那么 n 与 m 相交 解析:对于选项 A、B,由条件可得 n∥α 或 n 与 α 相交,所以选项 A、B 错误;对于选 项 C、D,由 n∥α,m?α,可得,没有公共点,又 m,n 是共面直线,所以 n∥m;选项 D 错误.故选 C. 答案:C 3.若直线 l 上有两点到平面 α 的距离相等,则直线 l 与平面 α 的关系是________. 解析:当这两点在 α 的同侧时,l 与 α 平行;当这两点在 α 的异侧时,l 与 α 相交. 答案:平行或相交 第 2 页 共 6 页 4.(2013· 惠州二模)给出命题: ①异面直线是指空间上既不平行也不相交的直线;②两异面直线 a,b,如果 a 平行于 平面 α,那么 b 不平行平面 α;③两异面直线 a,b,如果 a⊥平面 α,那么 b 不垂直于平面 α;④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线. 上述命题中,真命题的序号是______. 解析: ②中 b 也可能与平面 α 平行; ④中两异面直线在同一平面内的射影也可能是两条 平行直线.所以①③正确. 答案:①③ 1.(2013· 江西卷)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD, 正方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 m,n,那么 m+n= ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 解析:观察知,直线 CE 与正方体的前后左右四个面相交,所以 m=4;直线 EF 与正方 体的上下前后四个面相交,所以 n=4,所以 m+n=8.故选 A. 答案:A 2.如图,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD =60° .若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值. 第 3 页 共 6 页 解析:连接 AC,BD,设 AC∩BD=O. ∵ABCD 是菱形且∠BAD=60° ,PA=AB=2, ∴BO=DO=1,AO=CO= 3. ∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AB,PA⊥AD,PB=PD= 22+22=2 2. 取 PD 的中点 E,连接 OE,AE,∵O,E 分别是 BD,PD 的中点,∴EO∥PB. ∴∠EOA 为异面直线 PB 与 AC 所成的角.在△AOE 中,AO= 1 EO= PB= 2. 2 AO2+OE2-AE2 3+2-2 6 ∴cos∠EOA= = = . 2AO· OE 2× 3× 2 4 1 3,AE= PD= 2, 2 1.(2013· 增城调研)给出三个命题: (1)若两直线和第三条直线所成的角相等,则这两直线互相平行. (2)若两直线和第三条直线垂直,则这两直线互相平行. 第 4 页 共 6 页 (3)若两直线和第三条直线平行,则这两直线互相平行. 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3 解析:(1)(2)都不成立,只有(3)是正确的. 答案:B 2.如图,已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆 O 上,AB 为圆 O 的直径,圆柱 OO1 的表面积 为 2

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