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高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质互动课堂学案 (2)

古之学者 必有师 。师者 ,所以 传道受 业解惑 也。人 非生而 知之者 ,孰能 无惑? 惑而不 从师, 其为惑 也,终 不解矣 。生乎 吾前, 其闻道 也固先 乎吾, 吾从而 师之; 生乎吾 后,其 闻道也 亦先乎 吾,吾 从而师 之。吾 师道也 ,夫庸 知其年 之先后 生于吾 乎? 高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质互动课 堂学案 互动课堂 一、弦切角 1.定义:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切 角. 2.弦切角的特点:(1)顶点在圆周上;(2)一边与圆相交;(3)一边与圆 相切. 3.弦切角定义中的三个条件缺一不可.图 2-4-1 各图中的角都不是 弦切角.图(1) 中,缺少“顶点在圆上”的条件;图(2) 中,缺少“一边和 圆相交”的条件;图(3) 中,缺少“一边和圆相切”的条件;图(4) 中,缺 少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件 图 2-44.如图 2-4-2 所示,弦切角可分为三类:(1)圆心在角的外部;(2)圆心在 角的一边上;(3)圆心在角的内部 图 2-41.弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角. 2.定理的证明:由于弦切角可分为三类,即图 2-4-2 所示的情况,所 句读之不 知,惑 之不解 ,或师 焉,或 不焉, 小学而 大遗, 吾未见 其明也 。巫医 乐师百 工之人 ,不耻 相师。 士大夫 之族, 曰师曰 弟子云 者,则 群聚而 笑之。 问之, 则曰: “彼 与彼年 相若也 ,道相 似也。 位卑则 足羞, 官盛则 近谀。 1/7 古之学者 必有师 。师者 ,所以 传道受 业解惑 也。人 非生而 知之者 ,孰能 无惑? 惑而不 从师, 其为惑 也,终 不解矣 。生乎 吾前, 其闻道 也固先 乎吾, 吾从而 师之; 生乎吾 后,其 闻道也 亦先乎 吾,吾 从而师 之。吾 师道也 ,夫庸 知其年 之先后 生于吾 乎? 以在证明定理时分三种情况加以讨论:当弦切角一边通过圆心时〔图 24-3(1)〕,显然弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角 ;当圆心 O 在∠CAB 外时 〔图 2-4-3(2)〕,作⊙O 的直径 AQ,连结 PQ,则∠BAC =∠BAQ -∠1=∠APQ -∠2=∠APC;当圆心 O 在∠CAB 内时〔图 2-4-3 (3)〕,作⊙O 的直径 AQ,连结 PQ,则∠BAC=∠QAB +∠1=∠QPA+∠2 = 图 2-43.在证明弦切角定理的过程中,我们从特殊情况入手,通过猜想、分 析、证明和归纳,从而证明了弦切角定理.通过弦切角定理的证明过程, 要明确用运动变化的观点观察问题,进而理解从一般到特殊,从特殊到 一般的认识规律. 4.由弦切角定理,可以直接得出一个结论:若两弦切角所夹的弧相等, 则这两个弦切角也相等,我们把这一结论称为弦切角定理的推论,它也 是角的变换的依据. 5.弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的 一半.这就建立了弦切角与弧的数量之间的关系,它为直接依据弧进行 角的转换确立了基础 三、刨根问底 问题 到目前为止,对于圆中有关的角我们已学过圆心角、圆周角、 弦切角,它们各自有定义、定理及和它所对的弧的度数关系 ,这三种角 句读之不 知,惑 之不解 ,或师 焉,或 不焉, 小学而 大遗, 吾未见 其明也 。巫医 乐师百 工之人 ,不耻 相师。 士大夫 之族, 曰师曰 弟子云 者,则 群聚而 笑之。 问之, 则曰: “彼 与彼年 相若也 ,道相 似也。 位卑则 足羞, 官盛则 近谀。 2/7 古之学者 必有师 。师者 ,所以 传道受 业解惑 也。人 非生而 知之者 ,孰能 无惑? 惑而不 从师, 其为惑 也,终 不解矣 。生乎 吾前, 其闻道 也固先 乎吾, 吾从而 师之; 生乎吾 后,其 闻道也 亦先乎 吾,吾 从而师 之。吾 师道也 ,夫庸 知其年 之先后 生于吾 乎? 在证明题和计算题中经常用到,它们相互之间有哪些联系和区别? 探究:我们可用下表来分析它们的联系与区别. 名称 定义 图形 圆心角 顶点在圆心的角 圆周角 顶点在圆上 , 两边和圆 相交 弦切角 顶点在圆上 , 一边和圆 相交,另一边和圆相切 有关定 理 ①圆心角的度数等于它所对的 弧的度数 ②在同圆或等圆中相等的圆心 角所对的弧相等 , 所对的弦相 等,所对弦的弦心距相等 四者关系定理的推论 ∠AOB 的度数=AB 的度数 同弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的 一半 弦切角等于它所夹弧 所对的圆周角 有关推 论 角与弧 的关系 圆周角定理的推论 ①②③ ∠ACB 的度数 = 的度数 弦切角定理的推论 1 2 ∠ACB 的度数 = 的度数 1 2 活学巧用 【例 1】如图 2-4-4,AD 是⊙O 的切线,AC 是⊙O 的弦,过 C 作 AD 的垂线, 垂足为 B,CB 与⊙O 相交于点 E,AE 平分∠CAB,且 AE =2,求△ABC 各边的长 图 2-4-4 思路解析:∠BAE 为弦切角,于是∠BAE=∠C,再由 AE 平分∠CAB 和 △ABC 是直角三角形可得∠C 的度数,进而解直角三角形即可 解:∵AD 为⊙O 的切线 句读之不 知,惑 之不解 ,或师 焉,或 不焉, 小学而 大遗, 吾未见 其明也 。巫医 乐师百 工之人 ,不耻 相师。 士大夫 之族, 曰师曰 弟子云 者,则 群聚而 笑之。 问之, 则曰: “彼 与彼年 相若也 ,道相 似也。 位卑则 足羞, 官盛则 近谀。 3/7 古之学者 必有师 。师者 ,所以 传道受 业解惑 也。人 非生而 知之者 ,孰能 无惑? 惑而不 从师, 其为惑 也,终 不解矣 。生乎 吾前, 其闻道 也固先 乎吾, 吾从而 师之; 生乎吾 后,其 闻道也 亦先乎 吾,吾 从而师 之。吾 师道也 ,夫庸 知其年 之先后 生于吾 乎? ∵AE 平分 又 则有 BE =1,AB =3,BC =3,AC =23. 【例 2】如图