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如何求解析几何中参数的取值范围


羹  求解 何中 数的 范围 如何 析几 参 取值  
麓  ≮0  奏
口 孙亦器 ( 级教师 ) 舒金 根  特

解析 几何是高 中数学 的重 要 内容 , 是历年  关 的问题 . 也   高考 的重 点. 观 近几 年 的高 考试 题 , 析 几何  纵 解 解析 几何 中求参 变量 的取值 范围问题 , 由于  的 内容 在试 卷 中所 占的 比例一 直稳 定在 2%左  涉及 的变量 多 , 0 知识 面广 , 合性强 , 综 因此 它一直  右 , 型也基 本保持 “ 选一填 一解答 ”的格 局. 是解析几何 的重点 与难点 . 题 二   本文主要介 绍解析几  同时 , 圆锥 曲线作 为解 析 几何 的核 心 内容 , 往  何 中求参数 的取值 范围的一些常用方法 . 往  
又是 “ 压轴 题”的首选 , 分析近几 年 的高考试题 ,   解析 几何 的解答 题基本上是 以下 三种情形之一 :  

1 用函数思想方 法. . 应 根据 条件 。 把参变量表 
示成某个变量 的 函数 。 问题 转化 为求 函数的值  将
域.  

( )求 曲线 的方 程 ( 1 或轨迹 ) .   ( 2)直线 与 圆锥 曲线 的综 合 问题 , 且 往  并
往与 向量 知识相 结合.  

例 l 给定抛 物线 c =4 , : x F是 c的焦点 ,   过 F的直线 Z C相 交于 _、 与 4  两点 , 设 


=  

( 3)与 圆锥 曲线 最值 , 变量取 值 范 围 有  参

若 ∈[,]求 z , 49, 在   轴上 截距 的变化范 围.  

5  0

l  0

n∈ ,有   

与 

共线 ;由 s: + ,孔    

d  

: = : 1 二 而一 可求出 S " 口求出 O J l i 
=  

得:  

= 一 =( 一1     m ,  

d) 理 , = 同    

6 0( ). ?? ‘ 1 亩  
提示 : 解法一 直接迭代使下标逐渐减小至 l ;  

( -    1  n , 。
c( 1  
,  

d) 以P ∥ P d)所 以 l ∥   ;  ) 在 以  .    l (m 存 (
最小半 径是  的圆.  

解 二 对。 亩 。 边 对 化 g 法   : 取 数 为l  两 a


1 ) 圆心 为


2 一 , 令 b l . 6 =2  1 先求 出  l l 聃 再 .g ,   = a得 b , -

且  

中(I) n 3 一 ( 一 3 )结合题  1. 0  设-     2  p  , 1 上   

6,  再求 %  . 7 n+ n l 提示 : . 。2 + 2 假设 G 内的整数点 个数   

中 给 推 系 解 p , 数 {  所 递 关 可 得= 所 列 一 } 以  1  
q, =

『 I 是公 比为一 , 2 首项 为 (-0 的等 比数列 , 1  1 求得  为  , a ., 考虑 当 n增加 到 n l 可得 到  3】 则 l5 再 - + 时
递推关 系 : l + ( + )     4n 1 .   1 1 +( 1  1   一 ). n  3 一 ) .]   2 +( 1 n2 。.  
(I 提 示 : I)  -n n   2


8提示 : 规思路 为 : . 常 根据递 推关系求出数列  { 的前几项 ,  】 然后算 出 n6 再作严格 证 明. 、, 也可  用 极 限思想 解决 , 。 存 在 的话 , 由 o-a   若 、 则 . -

, , -1
, 

+( 1 ” ?  ,再把 n分奇偶 数进 行讨论 , - )? 2 3 得 
∈( , ) 0丁 1
. 

6 争) 到 极 值 n 对 + (    的 限 为 ,  - 一 得 再 =  
两边取极 限 , a O或 3 再分类讨论 即可. 得 = ,  

9(1)=3 ( ) . q ; Ⅱ 提示 : 只需证 明对任 意m,  

( 江 省 龙 游 县 龙 游 中学 浙

34 0   2 4 0】



 

tj 蕊0£嚣。    葑 薄《   { 一  } | {   s
解 : A( ,1 , X, ) 因 为 F( , , 设  l )B( 2 Y   , 10)  


式 【 J把 I 转化 为 解 不 等 式 ( ) 组 , 司题 组 .  

所 以 ( _1) )  ( -x,31 ,  2 ,一 : 1 l- ") 即  2

例 3 椭 圆  +  

l a b O) ( > > 的一个 顶点 

{  
【  一   ,  Y ). 1

又因为 y- x, l- l 2-2y- x   ̄4  ̄ '4 , -
) ( , 或    

为 I( , , 4 0 b) 当此 椭圆上有三个 以 A为直 角顶点  的内接 等腰 三角形 A C时 ,求 椭 圆离 心率 的取  B
值范 围.  

所以 X 2一  , 以 B ( ,   所   2\
_2 v  ) .  

解: 不妨设 - 4 B的斜 率 为 , k OA 且 > , B的方  程为 ) k+ , - x b 与椭 圆方程联 立 , : /+ 。 + 得 ()   )    

1 的方 程 为 : ; 1 y 2 (t )= v  ( - ) (   - x 1 或  —
1)一  、  ( 1) , /   .  

f y 在 轴上 的截距=  

或一  

(    ∈

2b0 以 ( a 浙 B   ,器 )  ̄: k 一 I 1 ) 一 .   同可 : 善   理 得c  ,  ) (   一 .  
由 ll I k a b   一j  }   =4 得: ( ̄ 2 ) /       c +k   . +  
即 ( -1 【2 -(J k )bk4 f   L ) +  =0  - k b】 . 由题 意知 : 于 k的方程 I +( _  ) + 。 关 I )   I ) 2 k b  _


[,】 ? 49 )  
由  
丑 

2  
V 

知 

在 [' 4  

9 上 是递减 的 . ]  

0 两个不等 实根 , 以 A> , : ̄ 3  有 所 o 得 a> b 即  . 以椭 圆离心 率 的  所

所  ≤ ≤ 或 争 一 以   3 争 一 ≤ 
≤ 一  .  

> a-  , 得 :> 3( ̄- ) 解 - c e  取 值范 围是 (  

一1 . . ,)    

所以 , Y 在 轴上 截距 的变化 范 围为 I  ,  _ 一 -
3J 【      u 3
,  

例 已 椭 c4+ l 直 ,   4 知 圆 : 手一和 线 : - -   一
4+ 若椭 圆 C上有两个不 同的点 关于直线 l x m, 对  称 , m 的取 值范围. 求  

4】
.  

解 : A( , )B( 2 2 是 椭 圆 上关 于 Z 设   ) , X y)       (,)点 P Q在双 曲线 的右 支上 , M( 0到直  对 称 的两 点 , 1 0, 、 点 m,) 直线 B的方程 是=一 1 +   6   将 其  线. 4 P的 距 离 为 l 若 直 线  P的 斜 率 为 k 且  , ,


例 2 已知 双曲线的 中心 在原点 , 右顶点 为A  

…∈  【

,/ , 、 ]求实数 m的取值范围.  

代 入椭 圆方程 并整理 得 :3 L8  l (  l  6 + 6 6

)o = 

因为直线与椭 圆相交 , 所以 A 9 ( 34    =12 1- 6 )
> , 得一  0解 <6 <  .  

解: 由条 件 知 - 4 P的方 程 为 :=k x 1, y ( - )所 

以  


_所 I/ ∈   l  一  [ ’ 、 + 竽
+ ≤小≤3或一1 1   ≤1 丁 3 一2 - C ̄
.  

因为 。 一百 h  8 b


2, 】解得 :  
为(  


可得线段  B的中点坐标  4
+m .  

6 , 2 ) 所 以百 b= 1 b 百b 1 1 2 百

所 以 m 的取 值范 围是 :  
或一 ≤m≤l   l 一 .  

+ ≤m≤一   l Ⅲ

所一   学 . 以学  
3利用有 界性 建立 不等 式 . 设 P( 。 。  . 如   。 )  

是椭圆 + - 上一点 ,   =1 则有  1 , ≤b又  ?   I 4n ,
2应用方程理论 . . 根据条件 。 立一元二次方  建
程 . 用 判 别 式 或 根 的 分 布 建 立 含 参 变 最 的 不 等  利

如 P ?? 椭 内 点则 等+ 1 设 ( , ) 圆 一 ,有  <    是  

等.  

所以 、 一 / ≤I II I / , P P   P —踞 ≤、 A 面 当 在 l  
例 5 ( 目同例 4) 题   解 : A( 。 , ,   ,2 是 椭 圆 上关 于 l 设   ,。 B( y ) ))  

时取到最大值 , P在  时取 到最小值 . 当  

所以I II I   + 的取值范围是[ .   1- o 
、万 】 / .  

,+ 1   0

对称 的两点 ,B的 中点 M(o o , A   , )则有  y

f 手- 孚+ l '   I 手 孚+  
两式相减得 :   y


5 用题 目中给定的条件范 围建立不 等式 . . 利  

例 8 已知梯形 A C B D中, B 2 D ,点 E I I I l A = C  
分 有 向线 段 A 所  C
, 

成的 比为  ,双 曲  线 过 C、 E三点 , D、   且 以 A、 B为焦 点 ,  
~  

l ?=生lo    等 一 ,y3 - y 2   3 ̄ = P  

又因为 y=4 om, 以  一 y=- m  o x+ 所 m,o - . 3

0 

口 

因  (,) 椭 等 争 l , 以 当  ≤   为 x o 圆 + = 内 所   手≤  时, o 在 Y
求 双 曲线的离 心率 

A  \  /   \

e的取值范 围.   孚 -以 辱<所一 ,   簪 .   解: 以直线 A B为  轴 , 以线段 A B的垂直平  例 已椭 c2 = >)长 分线为 )轴 , 直角 坐标 系 , ∞ 上)轴 , 6 知 圆 :+ 1 0    鲁 ( 其 X , 建立 则 , 易知  轴两端 为 A、 ,若 C上存在一点 Q,使 厶4 s   C D关于 ) B Q= 、 , 轴对称.   1 0 求椭 圆 C的离心率的取值 范围. 2  ̄   设 A(-, )C( , , 孙,o , 中 c   _ 0 .   h)E( Y )其 c = 解 : Q( o o , 不妨 设  设   , )并 Y , tn2 。 则 a 10 




X -.  Xo- o- -   a -a t  
=  

= 2o =   研 a y 一
1, _   _c - 





B I 为双曲线的半焦距 , 是梯形的高. h  
由定 比分点 公式得  ,   .  

1 + 
2b a 

.  



~ … 一 

解得 :  

‘ 

设 曲 方 为 一 l则 点  的 双 线 程   吾=, 将 c   E
c 所 以 42 _   ≤3 坐标代人双 曲线方程并整理得 : , 仃( _ )     c   , 以椭 圆  所
P  .  

由y≤6 :a ≤ n 得 2b  
c4


所 以 3 4 : e + L 4≥o 所 以 P   , ≥

C的离心率的取值范 围是 [  

,) 1 

f 一     {  

,  

4数形 结合法 . 用数 形结 合确定 参 变量 的  . 利
取值 范围.  

一  

(   等
解  =一 ? 得: 1斋  

-1 h  b.  ̄ - =

例 已椭 砉+= 右 点 ,   7 知 圆 手l 焦  且 的 有
的取 值 范 围.  

因 }   }所 詈 ? ≤ , 为 ≤≤ ,以 ≤ 斋 } 一  
.  
( 浙江省衙州第二 中学 34 0   2 0 0)

定点 A( , )又 P 11 , 为椭圆上任一点 , P ̄ I l 所 以、  ≤P   求I IP   F+ A / ≤

y  J   ~

解 :设椭 圆的左 

/一   ~ 
l   /   ~  

焦 点 为  , I + 则 P    l I IX+ A- F . P  ̄ O I II i A P P l   而I H矾 I     I     I ≤

R  ,  


/  

P 

I ,  A l r=

.  

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警》 一一  

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一  


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