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2019版高考一轮总复习数学(理科)课件:第六章 不等式、推理与证明 第二节 一元二次不等式及其解法_图文

第六章 第二节 不等式、推理与证明 一元二次不等式及其解法 解下列不等式: (1)3+2x- x2≥0; (2)x2-(a+1)x+a<0. 解:(1)原不等式化为 x2-2x-3≤0, 即(x-3)(x+1)≤0, 故所求不等式的解集为{x|-1≤x≤3}. (2)原不等式可化为(x-a)(x-1)<0, 当 a>1 时,原不等式的解集为(1,a); 当 a=1 时,原不等式的解集为?; 当 a<1 时,原不等式的解集为(a,1). 1.解一元二次不等式的步骤:(1)使一端为 0 且把二次项系数化 为正数; (2)先考虑因式分解法,再考虑求根公式法或配方法或判别 式法;(3)写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式的步骤: (1)二次项系数若含有参数应讨论是等于 0, 小于 0, 还是大于 0, 然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程的根的个数,讨论判别式 Δ 与 0 的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论 两根的大小关系,从而确定解集形式. 1 1 (1)若不等式 ax +bx+2>0 的解为- <x< ,则不等式 2x2+bx 2 3 2 +a<0 的解集是________. x-1 (2)不等式 ≤0 的解集是________. 2x+1 1 1 解析: (1)由题意, 知- 和 是一元二次方程 ax2+bx+2=0 的两 2 3 根且 a<0, 1 1 b ? ?-2+3=-a , ? ?a=-12, 所以? 解得? 1 1 2 ?b=-2. ? ? - × = , ? 2 3 a 则不等式 2x2+bx+a<0 即 2x2-2x-12<0, 其解集为{x|-2<x<3}. ? ?(x-1)(2x+1)≤0, (2)原不等式等价于? (*) ? ?2x+1≠0, 1 由(*)解得- <x≤1. 2 答案:(1)(-2,3) 1 (2)(- ,1] 2 (1)(2016· 衡水模拟)若 a∈R,且对一切实数 x 都有 ax2+ ax+a+3>0,那么 a 的取值范围是( A.(0,+∞) C.(-∞,-4) ) B.[0,+∞) D.(-∞,-4]∪(0,+∞) 2 ? 1? (2)(2016· 郑州质检)若不等式 x +ax+1≥0 对一切 x∈?0,2?都成 ? ? 立,则 a 的最小值是________. 解析:(1)当 a=0 时,不等式化为 3>0,满足题意. 当 a≠0 时,需满足 ? ? ?a>0, ?a>0, ? 即? 2 2 ?Δ=a -4a(a+3)<0, ? ?a +4a>0, ? 解得 a>0.综上可知 a≥0. (2)法一 ? 1? 1 由于 x>0,则由已知可得 a≥-x- 在 x∈ ?0,2?上恒 x ? ? ? 1? ? 1? 5 成立,而当 x∈?0,2?时,?-x- x? =- , 2 ? ? ? ?max 5 5 ∴a≥- ,故 a 的最小值为- . 2 2 法二 a 设 f(x)= x +ax+1,则其对称轴为 x=- . 2 2 ? 1? a 1 ? ①若- ≥ ,即 a≤-1 时,f(x)在 0,2 ?上单调递减,此时应有 2 2 ? ? ?1 ? 5 f?2 ?≥0,从而- ≤a≤-1. 2 ? ? ? 1? a ②若- <0,即 a>0 时,f(x)在?0,2?上单调递增,此时应有 f(0) 2 ? ? =1>0 恒成立,故 a>0. ? a? a2 a2 a 1 ③若 0≤- < ,即-1<a≤0 时,则应有 f?-2?= - +1=1 2 2 2 ? ? 4 a2 - ≥0 恒成立,故-1<a≤0. 4 5 5 综上可知 a≥- ,故 a 的最小值为- . 2 2 答案:(1)B 5 (2)- 2 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地, 知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数. 2.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次 函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方, 恒小于 0 就是相应的二 次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方. 另外常转化为求二次 函数的最值或用分离参数法求最值. (1)若不等式 x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的取值范围为( A.[-1,4] C.(-∞,-1]∪[4,+∞) ) B.(-∞,-2]∪[5,+∞) D.[-2,5] 解析: x2-2x+5=(x-1)2+4 的最小值为 4, 所以 x2-2x+5≥a2 -3a 对任意实数 x 恒成立,只需 a2-3a≤4,解得-1≤a≤4. 答案:A x2+2x+a (2)已知函数 f(x)= ,若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. x2+2x+a 解析:因为 x∈[1,+∞)时,f(x)= >0 恒成立,即 x2 x +2x+a>0 恒成立.即当 x≥1 时,a>-(x2+2x)恒成立.设 g(x)=- (x2+2x), 而 g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1 在[1, +∞)上单调递减, 所以 g(x)max=g(1)=-3,故 a>-3. 所以,实数 a 的取值范围是{a|a>-3}. 答案:{a|a>-3} 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆, 出 厂价为 12 万元/辆,年销售量为 10 000 辆.本年度为适应市场需求, 计划提高产品质量, 适度增加投入成本. 若每辆车投入成本增加的比 例为 x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为 0.75x,同时预计年销售 量增加的比例为 0.6x, 已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系 式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入

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