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11基本不等式1 (3)


§3.4 基本不等式(三)
学习目标:掌握基本不等式,并能利用其求最值;掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件 学习重点:对基本不等式的运用 学习难点:基本不等式的合理运用 学习过程: 基本不等式: 若 a

2、已知 x ? 2 ,求 y ?

x2 ? 4x ? 5 的最小值。 x?2

? 0, b ? 0 则 a ? b ? 2 ab 恒成立,当且仅当 a
时不等式取“=” (一正,二定,三相等)

?b
3、已知 x ? 0 ,求 y ?
x2 ? 4x ? 9 的最小值 x?2

说明:当 a ? 0, b ? 0 时 a ? b ? 2 ab 恒成立,可以直接利用,经常用来求最值,表现为下面两方面:

a+b 1、常见的不等式:1 1≤ ab≤ 2 ≤ a+b 2
2、双勾函数:

a2+b2 + 2 (a,b∈R )

a y ? x ? ,a ? 0 x
x2 ? 3 x2 ? 2
4、下列函数中最小值为 4 的是( 4 A.y=x+ x B.y=3x+4· 3-x ) 4 C.y=sinx+sinx(0<x<π) D.y=lg x+4logx10

例:求下列函数的最小值

(1) f ( x) ?

x2 ? 3 x2 ?1

(2) f ( x) ?

5、已知 a,b,c 为不全相等的正数,求证:a+b+c> ab+ bc+ ca 练习:1、求函数 f ( x) ?

x ( x ? 0) 的最大值。 x ?4
2

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课后作业: 1、已知 a,b,c 为任意的实数,求证:a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ca.

6、若 0<x≤

π 4 ,则 f(x)=sinx+ 的最小值。 2 sinx

a2+4 2、若 M= (a∈R,a≠0),求 M 的取值范围。 a
1 1 7、已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: a+b≥4.

2 5 3.已知 x>0,y>0,lgx+lgy=1,求 z= + 的最小值。

x y

8、设 0<x<2,求函数 y ? 2x(2 ? x) 的最大值。

4、下列各函数中,最小值为 2 的是 ( 1 A.y=x+ x C.y=

) B.y= sinx+ D.y=x+
2 x

1 ? ,x ? (0, ) sin x 2

x2 ? 3 x2 ? 2
x2 ? 5 x2 ? 4

?1

5、求下列函数的最小值。 (1) y ? (2) y ?

x2 ? 5 x2 ?1

9、已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求x+y的最小值。

3 4

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